曹建明 侯婕

(長安大學(xué) 汽車學(xué)院, 西安 710064)

引言

噴嘴噴射出的實心液柱稱為液體圓射流,如孔式噴嘴的噴霧,它是車輛、航空航天等載運工具以及鍋爐燃燒室中噴霧的主要形式之一.圓射流碎裂過程的理論研究是發(fā)動機噴霧研究的重要環(huán)節(jié),是國際流體與燃燒學(xué)界的熱點研究課題[1].目前,國際上對圓射流碎裂過程的理論研究多采用線性穩(wěn)定性理論.線性穩(wěn)定性理論是以氣、液體質(zhì)量、動量守恒為基礎(chǔ),代入邊界條件,考慮到氣液體速度、密度、氣體可壓縮性及液體的表面張力和粘性影響,從而得到色散關(guān)系式.該理論的核心和關(guān)鍵點就在于色散關(guān)系式的推導(dǎo).色散關(guān)系式的推導(dǎo)要求研究者具有扎實的流體力學(xué)和數(shù)學(xué)知識,對各種邊界條件的正確確定和數(shù)學(xué)推導(dǎo)的嚴(yán)密性要求很高,有時甚至需要反復(fù)研討才會有所進展.當(dāng)圓射流以連續(xù)液體的形式從噴嘴噴出時,受外界氣體的擾動作用,在其表面會形成一定模式的表面波.從噴霧液束的形態(tài)來看,有截面呈圓形的單股狀圓射流,也有像由二股、三股、甚至多股細繩扭轉(zhuǎn)在一起而形成的一股粗繩狀.階數(shù)n=0的表面波對應(yīng)于單股狀對稱波形的圓射流,階數(shù)n=1的表面波對應(yīng)單股狀非對稱波形的圓射流,階數(shù)n=2、3、4…時的表面波對應(yīng)二股狀、三股狀和四股狀的圓射流,其中二股狀和四股狀圓射流為對稱表面波形,三股狀圓射流為非對稱波形.早期,Reitz等人推導(dǎo)出了粘性圓射流噴射進入不可壓縮氣流中零階色散關(guān)系式[2],此關(guān)系式被大型發(fā)動機工作過程數(shù)值計算程序KIVA中的圓射流碎裂模型所采用,該程序被國內(nèi)外許多名牌大學(xué)和研究機構(gòu)廣泛使用,是目前國內(nèi)各高校和研究機構(gòu)培養(yǎng)發(fā)動機工作過程方向博士研究生的重要研究工具之一.1999年,Li推導(dǎo)出了粘性圓射流噴射進入不可壓縮氣流中零階色散關(guān)系式及n階色散關(guān)系式[3],據(jù)作者所知，此后國際上再也沒有這方面的進一步研究發(fā)表.經(jīng)作者推導(dǎo)比較,由于Reitz和Li所采用的線性運動學(xué)邊界條件不同,Reitz的運動學(xué)邊界條件簡化得更多,使得二式略有差別.如果Reitz采用了Li的運動學(xué)邊界條件或者Li采用了Reitz的運動學(xué)邊界條件,則以上兩個色散關(guān)系式完全相同.2010年,作者推導(dǎo)出了粘性圓射流噴射進入不可壓縮氣流中零階量綱一色散準(zhǔn)則關(guān)系式[4].

(1)

其中:k為表面波數(shù)；Eul為液體歐拉數(shù)；I0、I1分別為第一類0階、1階修正貝塞爾函數(shù)；ω為圓頻率,其實部ωr為表面波增長率；Rel為液體雷諾數(shù)；s2=k2+Rel(ω+ik)；P為氣液壓力比；γ為絕熱指數(shù)；Mag為氣體馬赫數(shù)；K0、K1分別為第二類0階、1階修正貝塞爾函數(shù)；U為氣液流速比；Wel為液相韋伯?dāng)?shù).

由于Reitz和Li的推導(dǎo)均采用了有量綱形式的控制方程和邊界條件,其色散關(guān)系式也是有量綱形式的,經(jīng)過推導(dǎo),如果將Li等人的零階色散關(guān)系式量綱一化,則與作者的零階量綱一色散準(zhǔn)則關(guān)系式是一致的.

n階色散關(guān)系式比零階色散關(guān)系式適用的范圍更廣,我們可以對階數(shù)n選取不同的數(shù)值來研究圓射流的多種形態(tài)的表面波,可以說n階色散關(guān)系式將圓射流的線性穩(wěn)定性分析推導(dǎo)到了極致.但是由于Li對n階色散關(guān)系式的推導(dǎo)采用了有量綱形式的控制方程和邊界條件,因此其色散關(guān)系式也是有量綱形式的.這樣一來,在根據(jù)他的色散關(guān)系式編制數(shù)值計算程序而得到的分析結(jié)果中,僅能夠分析維伯?dāng)?shù)We、氣液流速比、液體粘性和氣體馬赫數(shù)Ma等因素對圓射流碎裂過程的影響.根據(jù)相似理論,量綱一的準(zhǔn)則關(guān)系式要比有量綱形式的關(guān)系式包含更多的信息量,適用范圍更廣,具有更大的優(yōu)越性.本文從質(zhì)量守恒和動量守恒的最原始方程式入手,首先推導(dǎo)出了液、氣相的線性化納維斯托克斯量綱一控制方程組,再將線性運動學(xué)和動力學(xué)邊界條件量綱一化,進而推導(dǎo)出了n階量綱一形式色散準(zhǔn)則關(guān)系式,能夠分析多種形態(tài)表面波的維伯?dāng)?shù)We、雷諾數(shù)Re、歐拉數(shù)Eu、氣體馬赫數(shù)Ma、氣液流速比、氣液壓力比等諸多因素對圓射流碎裂過程的影響.

1 模型的建立

圖1所示為圓射流表面波的示意圖,圖中參數(shù)已經(jīng)量綱一化.考慮一個三維圓柱射流,初始半徑為1,密度為ρl,以壓力Pl,速度Ul,噴射進入密度為ρg,壓力為Pg,速度為Ug的氣體介質(zhì)中.

圖1 圓射流表面波Fig.1 Surface wave of circular liquid jet

液流被看作是牛頓流體,并且質(zhì)量力忽略不計,這是由于對于實際的噴霧應(yīng)用來說Froude數(shù)是非常大的.液流經(jīng)擾動后,合流參數(shù)值為:

ui,tot=Ui+ui,pi,tot=Pi+pi

其中:ui=(ur,uθ,uz)i,pi=pi(r,θ,z)分別指擾動速度和擾動壓力,基流速度和基流壓力為Ui=(Ur,Uθ,Uz)i=(0,0,1)i=const,Pl=Pl(0,0,1)=const.下標(biāo)i=l代表液相,i=g代表氣相.在動量守恒控制方程中,可將擾動速度項線性化.下標(biāo)r,θ,z代表柱坐標(biāo)(r,θ,z).

線性化的量綱一納維-斯托克斯控制方程組,其形式如下:

液相、氣相連續(xù)性方程:

(2)

液相動量方程:

(3)

氣相動量方程:

(4)

方程中的量綱一參數(shù)為液體歐拉數(shù)Eul,液體雷諾數(shù)Rei,氣體馬赫數(shù)Mag,氣液流速比U和絕熱指數(shù)γ.

量綱一納維-斯托克斯控制方程組(2)～(4)的解必須滿足流動運動學(xué)邊界條件和流動動力學(xué)邊界條件.在線性穩(wěn)定性理論中,我們采用氣液交界面處,即r=1時的線性化的邊界條件.液相和氣相的量綱一運動學(xué)邊界條件方程分別表示為:

(5)

和

(6)

液相和氣相的量綱一附加邊界條件和動力學(xué)邊界條件方程為：

(7)

(8)

(9)

(10)

2 液相推導(dǎo)

(11)

(12)

令:

pi=pi(r)exp(ωt+ikz+inθ)

(13)

ui=ui(r)exp(ωt+ikz+inθ)

(14)

將方程(13)代入方程(11)得:

(15)

方程(15)為n階修正貝塞爾方程,其解為:

pl(r)=a1In(kr)+a2Kn(kr)

(16)

其中:In和Kn分別為第一類和第二類n階修正貝塞爾函數(shù).

將方程(16)代入方程(3),得:

r-方向動量方程:

(17)

θ-方向動量方程:

(18)

z-方向動量方程:

RelEulik[a1In(kr)+a2Kn(kr)]

(19)

其中:

s2=k2+Rel(ω+ik)

(20)

方程(17)、(18)、(19)的通解分別為:

(21)

(22)

ul,z(r)=c1In(sr)+c3Kn(sr)+c2In(kr)+c4Kn(kr)

(23)

其中:b1,b2,b3,b4,b5,b6；c1,c2,c3,c4；d1,d2,d3,d4,d5,d6為積分常數(shù),且具有以下關(guān)系:

由于在圓柱中心線上r方向速度分量等于零,根據(jù)In、Kn曲線圖(圖2所示)可知,作為邊界條件,當(dāng)r→0 時,Kn→∞,因此,有a2=0,b4=0,b5=0,b6=0,c3=0,c4=0,d4=0,d5=0,d6=0.

圖2 第一類、第二類修正貝塞爾函數(shù) In、Kn曲線圖Fig.2 1st and 2nd order modified Bessel functions In and Kn

方程(17)、(18)、(19)的通解變成:

(24)

(25)

(26)

將方程(24)、(25)、(26)代入方程(14),再代入運動學(xué)邊界條件方程和動力學(xué)邊界條件方程(5)和(7)、(8)、(9),并將圓射流的量綱一初始半徑r=1代入,可得到積分常數(shù)a1,b1,c1和d1的解:

將方程(16)和a1,b1,c1,d1代入方程(13),得液相壓力為:

(27)

3 氣相推導(dǎo)

將方程(13)代入方程(11)得:

(28)

方程(28)為n階修正貝塞爾方程,其解為:

pg(r)=e1In(kr)+e2Kn(kr)

(29)

將方程(29)代入方程(4)得:

r-方向動量方程:

(30)

由于在r→∞方向上氣流的速度分量等于零,根據(jù)In、Kn曲線圖(圖2所示)可知,作為邊界條件,當(dāng)r→∞時,In→∞,因此,e1=0.

根據(jù)與液相推導(dǎo)相同的步驟,可以得到氣相的積分常數(shù)e2的解:

和氣相壓力:

(31)

4 量綱一色散準(zhǔn)則關(guān)系式

將方程(27)和方程(31)代入動力學(xué)邊界條件方程(10),可得到n階量綱一色散準(zhǔn)則方程式:

(32)

經(jīng)過驗證,當(dāng)n=0時,方程(32)變成:

(33)

由于:

方程(33)變成:

(34)

顯然,方程(34)與之前推導(dǎo)的零階量綱一色散準(zhǔn)則方程式(1)是一致的,也可以說是與Reitz和Li等人的零階色散關(guān)系式是一致的,從而說明了推導(dǎo)出的n階量綱一色散準(zhǔn)則方程式(32)的正確性.從方程(32)我們還可以看出,n階量綱一色散準(zhǔn)則方程只與量綱一參數(shù):維伯?dāng)?shù)We、雷諾數(shù)Re、歐拉數(shù)Eu、馬赫數(shù)Ma、氣液流速比U、氣液壓力比P等有關(guān).

5 結(jié)論

本文從質(zhì)量守恒和動量守恒的最原始方程式入手,首先推導(dǎo)出了液、氣相的線性化納維斯托克斯量綱一控制方程組,再將線性運動學(xué)和動力學(xué)邊界條件量綱一化,采用對動量方程點乘哈密頓算子的方法,推導(dǎo)出了粘性圓射流噴射進入不可壓縮氣流中的n階量綱一色散準(zhǔn)則關(guān)系式.結(jié)論如下:

(1)對于n階量綱一色散準(zhǔn)則關(guān)系式,將n取不同的值,可以得到圓射流不同形態(tài)表面波的量綱一色散準(zhǔn)則關(guān)系式,其適用范圍更廣,具有更大的優(yōu)越性.

(2)n階量綱一色散準(zhǔn)則方程式只與無量綱參數(shù)——韋伯準(zhǔn)則We、歐拉準(zhǔn)則Eu、雷諾準(zhǔn)則Re、氣體馬赫準(zhǔn)則Mag、氣液流速比U及氣液壓力比P有關(guān).經(jīng)過編程和數(shù)值計算,可以得到這些量綱一參數(shù)對圓射流碎裂過程的影響.