王劍龍 冷小磊 劉先斌

(南京航空航天大學 機械結(jié)構(gòu)力學及控制國家重點實驗室, 南京 210016)

引言

由于生產(chǎn)誤差或者制造需要,機械裝置各部件間普遍存在間隙,這些間隙將導致零部件之間產(chǎn)生碰撞振動. 汽車、飛機、火箭、高速列車等機械系統(tǒng)在運行過程中會受到各種不確定載荷的作用而發(fā)生碰撞振動,對系統(tǒng)的動力學特性、可靠性和壽命產(chǎn)生重要的影響. 因此研究碰撞振動系統(tǒng)在隨機載荷下的響應(yīng),具有重要的工程實際意義.

半個世紀以來,國內(nèi)外學者對碰撞振動進行了廣泛的研究.目前,國內(nèi)外關(guān)于該領(lǐng)域的研究主要集中在用現(xiàn)代分析方法研究在確定性激勵作用下碰撞系統(tǒng)的響應(yīng)和穩(wěn)定性.謝建華[1,2],丁旺才[3,4]等基于Poincaré映射研究了確定性載荷作用下的碰撞振動系統(tǒng)的對稱性,分岔及混沌.對于隨機載荷下的碰撞振動系統(tǒng)的響應(yīng)的研究還相對較少.Dimentberg[5]用隨機平均法研究了高斯白噪聲激勵下單自由度碰撞振動系統(tǒng)的隨機響應(yīng). 黃志龍[6]等發(fā)展了適用于強非線性系統(tǒng)的隨機平均法,研究了寬帶隨機激勵下單自由度碰撞振動系統(tǒng)的隨機響應(yīng).吳禹[7]通過攝動法求解泊松白噪聲激勵下多自由度碰撞振動系統(tǒng)的FPK方程,得到系統(tǒng)的近似平穩(wěn)響應(yīng).以上幾位學者所用的碰撞模型主要是彈性碰撞模型,對于剛性碰撞模型,楊貴東[8]等基于等效非線性系統(tǒng)方法和突變理論,分析了隨機參激下Duffing-Rayleigh碰撞振動系統(tǒng)的P-分岔.李超[9]通過非光滑變換把原系統(tǒng)化為新的系統(tǒng),應(yīng)用能量包線隨機平均法分析了相關(guān)高斯白噪聲激勵下的Duffing-Van der Pol碰撞振子的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),并分析了不同參數(shù)下發(fā)生的隨機分岔.迄今,對于采用彈性阻尼碰撞模型雙邊非對稱約束的碰撞振動系統(tǒng)隨機響應(yīng),目前可見的文獻還鮮有報道.

本文采用廣義Hertz接觸碰撞模型,基于廣義諧和函數(shù)的隨機平均法研究了在寬帶隨機外激勵下雙邊非對稱約束的單自由度碰撞振動系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng).此外,將廣義胞映射法應(yīng)用到此類碰撞振動系統(tǒng),得到系統(tǒng)的近似穩(wěn)態(tài)響應(yīng).最后用蒙特卡羅模擬驗證上述兩種方法的有效性.

1 動力學模型

將含間隙的復雜碰撞振動系統(tǒng)簡化為如圖1所示的動力學模型.簡化為由剛度系數(shù)為k的線性彈簧和阻尼系數(shù)為c的黏性阻尼器連接而成的集中質(zhì)量塊m,在寬帶隨機激勵f的作用下發(fā)生振動.

圖1 碰撞振動模型Fig.1 Vibro-impact model

當振動的位移x大于間隙b2或小于間隙-b1時,質(zhì)量塊分別與左右兩側(cè)的擋板發(fā)生碰撞.假設(shè)碰撞滿足Hertz接觸條件,碰撞作用力用廣義Hertz接觸力用F來表示.因此系統(tǒng)的運動微分方程可以表示為:

(1)

廣義Hertz接觸力具有如下的形式[10]：

(2)

(3)

式中：Ei和νi分別是兩個質(zhì)體的彈性模量和泊松比.

(4)

因而將廣義Hertz接觸力(2)寫成：

(5)

考慮圖1所示的碰撞振子,廣義Hertz接觸力具體表達式為：

(6)

由于廣義Hertz接觸力同時包含阻尼與彈性效應(yīng),因而將碰撞接觸力等效分解為阻尼力和恢復力兩部分,并分別與碰撞振子的線性阻尼力與彈性恢復力合并,將系統(tǒng)運動微分方程(1)改寫為：

(7)

式中：

(8)

為系統(tǒng)的恢復力,

(9)

為系統(tǒng)的阻尼力.

2 平均法求解系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的概率密度

方程(7)所表示的是一個強非線性系統(tǒng),當系統(tǒng)的阻尼與隨機激勵的強度較小時,系統(tǒng)的運動是近似周期的,因而引入廣義諧和變換：

(10)

其中：

Φ(t)=ψ(t)+θ(t)

(11)

將(10)式代入到(7)式可得:

(12)

式中：

(13)

根據(jù)Stratonovich-Khasminskii極限定理[11],A和θ弱收斂于二維擴散過程,可用如下伊藤隨機微分方程描述：

(14)

其中重復下標表示求和,Br(t)表示相互獨立的單位維納過程,漂移系數(shù)和擴散系數(shù)為：

(15)

而Rf是隨機外激勵的自相關(guān)函數(shù).

(16)

式中：

(17)

在實際計算時,可將v、mi、σi關(guān)于Φ展開成傅里葉級數(shù),取其前幾項代入式(15),并完成確定性平均,得到伊藤微分方程的漂移與擴散系數(shù)的具體表達式.

由方程(16)中第一式不依賴于θ可以看出,幅值A(chǔ)本身就是一個齊次的擴散過程,其轉(zhuǎn)移概率密度p(A,t|A0)由如下FPK方程控制:

(18)

其初始條件為p(A,t|A0)=δ(A-A0),t=0.

由方程(18)可得幅值A(chǔ)的穩(wěn)態(tài)概率密度為：

(19)

式中C為歸一化常數(shù).系統(tǒng)總能量H的穩(wěn)態(tài)概率密度為：

(20)

這里的A=V-1(H是H=V(A+B(A))的反函數(shù).系統(tǒng)的位移與速度的聯(lián)合穩(wěn)態(tài)概率密度為：

(21)

系統(tǒng)位移穩(wěn)態(tài)概率密度為：

(22)

3 廣義胞映射法

考慮到系統(tǒng)所受的激勵為寬帶噪聲,根據(jù)文獻[11],如果激勵的相關(guān)時間足夠小,系統(tǒng)的響應(yīng)將是近似的馬爾科夫過程,此時可以應(yīng)用廣義胞映射法高效地計算響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)概率密度.在計算廣義胞映射一步轉(zhuǎn)移概率密度矩陣時,我們選取的一步轉(zhuǎn)移時間要遠大于系統(tǒng)激勵的相關(guān)時間,這樣系統(tǒng)每一步的響應(yīng)增量可看成是近似獨立的,即滿足馬爾可夫假設(shè).

在算例中,廣義胞映射計算系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率密度的實際步驟如下：首先,選擇感興趣的如下區(qū)域Z={-0.4

p(n)=P·p(n-1)=Pn·p(0)

經(jīng)過多次迭代得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng).

4 算例

在圖1所示系統(tǒng)中,考慮系統(tǒng)所受隨機外激勵f(t)的功率譜如下：

(23)

其中ζ1,ω1,D為常數(shù),該噪聲可由噪聲強度為2D的白噪聲經(jīng)過一個二階濾波器生成,噪聲的帶寬取決于參數(shù)ζ1,ω1.

選取系統(tǒng)參數(shù):m=1,ζ=0.1,ωn=1,kc=80,α1=0.1,b1=0.2,b2=0.1,ζ1=0.6,ω1=6,D=1.2.

分別按照隨機平均法和廣義胞映射法計算系統(tǒng)幅值、總能量、位移的穩(wěn)態(tài)概率密度及位移和速度的聯(lián)合穩(wěn)態(tài)概率密度.圖2(a)、(b)、(c)分別給出了上述參數(shù)下系統(tǒng)幅值、總能量和位移穩(wěn)態(tài)概率密度,—線表示平均法的結(jié)果,?線表示胞映射結(jié)果,×表示蒙特卡羅模擬結(jié)果.圖3給出了系統(tǒng)位移和速度的聯(lián)合穩(wěn)態(tài)概率密度.從圖2可以看出隨機平均法的結(jié)果與蒙特卡羅模擬的結(jié)果吻合的很好,證實了上述推導的隨機平均法的有效性.此外可以看出,隨著廣義胞映射法的一步轉(zhuǎn)移時間的增長,廣義胞映射法所得結(jié)果的精確性得到很大的提高,說明對于寬帶激勵下的系統(tǒng),應(yīng)用適當?shù)膹V義胞映射法也可以得到足夠精確的穩(wěn)態(tài)解.

取另一組噪聲參數(shù)ζ1=0.3,ω1=5,計算系統(tǒng)在不同噪聲強度D=0.4、0.8、1.2下幅值的穩(wěn)態(tài)概率密度.從圖4(a)可以看到隨著噪聲強度的增強,系統(tǒng)的非線性效應(yīng)增強,幅值的穩(wěn)態(tài)概率密度發(fā)生較大的變化,概率分布總體向右移.當噪聲強度為D=0.4時,幅值概率分布主要集中在0到0.1之間,系統(tǒng)的振子主要在平衡位置附近來回震蕩,不與兩側(cè)的碰撞壁發(fā)生碰撞.隨著噪聲強度增強到D=0.8,有較大一部分幅值穩(wěn)態(tài)概率落在了幅值0.1到0.1685之間,系統(tǒng)運動過程中發(fā)生單邊碰撞的概率增大,即振子在運動一個來回過程中與較近側(cè)的碰撞壁b2發(fā)生碰撞而不與遠處碰撞壁b1碰撞的概率增大.噪聲強度繼續(xù)增強,到D=1.2時,系統(tǒng)運動發(fā)生單側(cè)碰撞的可能性繼續(xù)增大,出現(xiàn)雙側(cè)碰撞的可能性也有明顯的增加.

圖2 幅值、總能量及位移的穩(wěn)態(tài)概率密度Fig.2 Stationary probability densities of amplitude, total energy, displacement

圖3 位移與速度的聯(lián)合穩(wěn)態(tài)概率密度Fig.3 Joint probability density of velocity and displacement

圖4 幅值、總能量及位移的穩(wěn)態(tài)概率密度Fig.4 Stationary probability densities of amplitude, total energy, displacement

5 結(jié)論

采用廣義Hertz接觸模型,將碰撞振動系統(tǒng)的碰撞特性等效為非線性彈簧-阻尼器,建立了一類雙邊非對稱約束的碰撞振動動力學模型.這種碰撞模型兼具剛性碰撞模型和Hertz接觸模型的優(yōu)點,比較符合實際的碰撞過程.利用基于廣義諧和函數(shù)的隨機平均法研究系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),并用蒙特卡羅模擬驗證了該方法的有效性.對于這類強非線性碰撞振動系統(tǒng),通常的線性化處理方法不再適用,而用該隨機平均法仍可得到很好的結(jié)果.并且,由本文算例可見,隨著激勵強度的增強,碰撞系統(tǒng)的非線性效應(yīng)增強,幅值的穩(wěn)態(tài)概率密度出現(xiàn)較大的變化.此外,利用廣義胞映射法得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),說明當系統(tǒng)的噪聲激勵為非白的時,如果廣義胞映射的一步轉(zhuǎn)移時長取的足夠大,遠大于噪聲各分量的相關(guān)時間,利用廣義胞映射方法也可以得到很好的結(jié)果.