杜兆宏，夏培淞， 邱飛岳，朱會(huì)杰

(浙江工業(yè)大學(xué) 教育科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，杭州 310023) E-mail：476876541@qq.com

1 引 言

為了尋求解決工程優(yōu)化問題更好的方法，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者從自然、物理和社會(huì)等現(xiàn)象中受到啟發(fā)，相繼提出了如粒子群優(yōu)化算法[1]、蟻群優(yōu)化算法[2]、蝙蝠算法[3]、布谷鳥算法[4]等眾多群體智能啟發(fā)式算法.相較傳統(tǒng)算法而言，由于群體智能啟發(fā)式算法在解決優(yōu)化問題時(shí)采用了特有的全局和局部搜索機(jī)制，所以其性能更為優(yōu)越.近年來，群體智能算法得到了人們極大的關(guān)注，許多研究者已將其應(yīng)用到生產(chǎn)調(diào)度、組合優(yōu)化等許多領(lǐng)域中.例如，學(xué)者Rahmani M等[5]把蝙蝠算法應(yīng)用到機(jī)器人自適應(yīng)控制中，研究表明利用蝙蝠算法對(duì)機(jī)器人進(jìn)行控制具有較好的性能；Mirjalili S[6]已將蜻蜓算法應(yīng)用到潛艇螺旋槳優(yōu)化中，結(jié)果表明蜻蜓算法在潛艇螺旋槳優(yōu)化方面具有很好的效果；Liao W等[7]將人工螢火蟲算法應(yīng)用到無線傳感器部署中，研究表明基于人工螢火蟲算法的無線傳感器部署具有較好的魯棒性.

水波優(yōu)化算法(Water Wave Optimization，WWO)是由國(guó)內(nèi)學(xué)者鄭宇軍[8]于2015年所提出的一種新興群體智能啟發(fā)式算法，該算法通過模擬淺水波運(yùn)動(dòng)的方式，在高維空間進(jìn)行高效的搜索尋優(yōu).WWO具有控制參數(shù)少、種群規(guī)模小、實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單和計(jì)算開銷量小等優(yōu)點(diǎn).目前，WWO已在TSP求解[9]和高鐵調(diào)度[8]等優(yōu)化問題中得到了應(yīng)用，并且取得了較好的效果.

WWO自提出以來，由于其在求解優(yōu)化問題中不俗的表現(xiàn)而得到許多研究人員的關(guān)注.張蓓等[10]最初從執(zhí)行傳播和折射操作兩方面對(duì)水波優(yōu)化算法的收斂性條件進(jìn)行了分析，并用具體實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了兩種收斂條件的正確性.Zheng接著又提出了一種種群規(guī)?？勺兊乃▋?yōu)化算法[11]，在這種改進(jìn)的水波優(yōu)化算法中，在折射操作中引入了學(xué)習(xí)機(jī)制，從而更好地提升了算法的性能.之后，鄭宇軍等[12]在對(duì)軟件形式化開發(fā)關(guān)鍵部位選取問題研究中，通過建立該問題的0-1規(guī)劃約束模型，并設(shè)計(jì)了離散水波優(yōu)化算法來對(duì)大型軟件系統(tǒng)應(yīng)用的實(shí)例，研究結(jié)果表明，離散水波優(yōu)化算法解決該問題是可行的，并且其優(yōu)化效果明顯要優(yōu)于BPSO、IBPSO、GA和BDE等算法.

盡管水波優(yōu)化算法在許多優(yōu)化問題上表現(xiàn)出優(yōu)越的性能，但由于其還處于發(fā)展階段，所以仍然還存在一些不足.正如文獻(xiàn)[8]所述，水波算法在理論分析和性能方面還有很大改進(jìn)的空間，比如其收斂速度較慢、收斂精度較低等不足.

為了進(jìn)一步提升水波優(yōu)化算法的性能，已有研究者從不同視角提出了一些有效改進(jìn)水波優(yōu)化算法的策略.例如，張杰峰等[13]提出了另一種種群規(guī)?？勺兊乃▋?yōu)化算法，在該改進(jìn)的水波算法中，通過將原水波算法固定種群規(guī)模改為線性遞減的種群規(guī)模，使算法在早期更好地支持全局搜索，并在后期更多的支持局部搜索開發(fā)，這種改進(jìn)策略在一定程度上提升了算法的性能.吳秀麗等[14]針對(duì)水波優(yōu)化算法在局部搜索方面存在的局限，提出了將局部搜索能力較強(qiáng)的單純形法融入到水波算法中，同時(shí)在種群初始化中采用混沌種群初始化，在迭代過程中對(duì)種群進(jìn)行混沌擾動(dòng)等一系列策略來改進(jìn)水波算法，從而有效提升了水波優(yōu)化算法的收斂速度和搜索精度.

本文對(duì)水波優(yōu)化算法搜索過程中各個(gè)階段控制參數(shù)變化進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，提出了一種自適應(yīng)參數(shù)調(diào)整的水波優(yōu)化算法(LOGWWO)，即在算法執(zhí)行前期以較大的參數(shù)來支持算法進(jìn)行全局搜索尋優(yōu)，在算法執(zhí)行后期則以較小的參數(shù)變化以支持算法進(jìn)行局部精細(xì)化探索開發(fā)，更好的平衡算法的搜索機(jī)制，從而進(jìn)一步提升算法的整體性能.

2 水波優(yōu)化算法概述

2.1 基本原理

水波優(yōu)化算法(Water Wave Optimization，WWO)是從淺水波運(yùn)動(dòng)模型解決優(yōu)化問題中得到啟發(fā)發(fā)展而來的一種群體智能啟發(fā)式算法.在對(duì)優(yōu)化問題進(jìn)行求解時(shí)，WWO將要優(yōu)化問題的搜索空間看作海床，其中每個(gè)解在水波優(yōu)化算法中看作一個(gè)“水波”對(duì)象，每一個(gè)水波都具有一個(gè)波高h(yuǎn)和波長(zhǎng)λ，每個(gè)水波的適應(yīng)度值與其距海床的垂直距離成反比.因此，水波如果離海床的距離越近，其適應(yīng)度值也就越大，對(duì)應(yīng)的水波的能量也越高，波高h(yuǎn)越大，波長(zhǎng)λ則越小(如圖1所示)，這樣就使得算法能夠在全局和局部搜索較優(yōu)解和較差解，從而不斷使水波朝著更優(yōu)的解靠近，從而保證水波算法能夠搜索到最優(yōu)解.WWO是通過執(zhí)行傳播、碎浪和折射等3個(gè)操作來對(duì)所優(yōu)化的問題進(jìn)行全局搜索的，在種群初始化時(shí)，水波的波高一般設(shè)定為hmax，波長(zhǎng)一般設(shè)為λ=0.5.

圖1 深水區(qū)和淺水區(qū)不同波形示意圖Fig.1 Deep and shallow water different waveform diagram

2.2 傳播

水波能量的積聚是由每個(gè)水波在運(yùn)動(dòng)過程中不斷執(zhí)行傳播操作來完成的.傳播前后的水波分別表示為x、x′，原始水波x是通過公式(1)來執(zhí)行傳播操作產(chǎn)生x′的.

xd=xd+rand(-1,1)*λLd,d=1,2,…n

(1)

式(1)中，rand(-1,1)為[-1，1]之間分布的均勻隨機(jī)數(shù)，λ表示水波長(zhǎng)度；Ld為搜索空間第d維的長(zhǎng)度，且d∈D.在執(zhí)行傳播操作過程中，如果Ld超出了所求問題搜索空間的范圍，則將其按公式(2)隨機(jī)重新設(shè)置為搜索空間中的一個(gè)新位置.

Ld=lbd+randO*(ubd-lbd)

(2)

式(2)中，lbd為搜索范圍第d維的下界，ubd為搜索范圍第d維的上界，randO為[0，1]內(nèi)的隨機(jī)數(shù).

執(zhí)行傳播操作并得到x′后，需要判斷f(x)是否大于f(x′)，如果f(x)

每次迭代結(jié)束時(shí)，水波算法都會(huì)按公式(3)更新每個(gè)水波x的波長(zhǎng).

λ=λ·a-(f(x)-fmin+ε)/(fmax-fmin+ε)

(3)

式(3)中fmax、fmin分別表示當(dāng)前水波種群中最大適應(yīng)度值和最小適應(yīng)度值，a是波長(zhǎng)的衰減系數(shù)，ε是為了避免分母為0而設(shè)置的一個(gè)很小的正數(shù).

2.3 碎浪

隨著水波運(yùn)動(dòng)過程中能量不斷的增加，水波的波峰會(huì)變得越來越陡峭，當(dāng)其速度超過水波傳播的速度時(shí)會(huì)破碎成一連串孤立的水波.當(dāng)WWO在傳播后搜索到最優(yōu)的解x時(shí)，會(huì)執(zhí)行碎浪操作來生成一連串的孤立波來擴(kuò)充水波種群的多樣性.碎浪操作的方式如下：首先隨機(jī)選擇k=[1,kmax]，選擇的每一維按公式(4)進(jìn)行搜索得到一個(gè)孤立的波x.

(4)

式(4)中，β表示碎浪系數(shù)，如果在執(zhí)行碎浪操作之后k個(gè)孤立波的適應(yīng)度值都小于原水波x，則保留x，否則用種群中孤立波的最優(yōu)解來替代x.

2.4 折射

水波在經(jīng)過若干次傳播操作后仍然沒有得到改善的情況下，為了模擬其在這一過程中能量的消耗，每次傳播過后都會(huì)對(duì)波高進(jìn)行減1操作，當(dāng)波高減為h=0時(shí)，為了避免算法搜索的停滯，水波算法會(huì)按公式(5)對(duì)其進(jìn)行折射操作：

(5)

式(5)中，x*表示當(dāng)前種群中的最優(yōu)值，N(μ,σ)均值為μ，標(biāo)準(zhǔn)差為σ的高斯隨機(jī)數(shù).

折射操作結(jié)束之后，其波高重置為h=hmax，并且對(duì)水波的波長(zhǎng)按公式(6)進(jìn)行更新：

λ=λf(x)/f(x′)

(6)

3 自適應(yīng)參數(shù)調(diào)整的水波優(yōu)化算法

3.1 自適應(yīng)碎浪系數(shù)調(diào)整策略

在WWO中，碎浪系數(shù)β是用來控制在找到的最優(yōu)水波附近進(jìn)行密集搜索孤立波范圍的一個(gè)重要參數(shù)，β越大，則搜索范圍越大，反之，搜索范圍越小.目前，原始水波算法通常采用碎浪系數(shù)β隨著迭代次數(shù)線性遞減的策略，即在算法執(zhí)行過程中，碎浪系數(shù)隨著迭代次數(shù)的增加而線性遞減，雖然這種策略在一定程度上有利于算法搜索精度的提高.但碎浪系數(shù)的初始值、最終值和迭代次數(shù)一定的情況下，碎浪系數(shù)的變化幅度是固定的.因而碎浪系數(shù)線性遞減策略無法滿足算法在前期和后期兩個(gè)不同時(shí)段搜索尋優(yōu)的需要，無法很好的平衡算法全局和局部探索開發(fā)，不利于算法搜索精度的提高.

與原始WWO碎浪系數(shù)線性遞減策略不同，本文提出的改進(jìn)水波優(yōu)化算法的碎浪系數(shù)采用對(duì)數(shù)遞減策略，即在WWO執(zhí)行的前期，以較大的碎浪系數(shù)支持算法進(jìn)行全局搜索，從而獲得更加優(yōu)越的水波；而在算法執(zhí)行的后期，則以較小的碎浪系數(shù)來支持算法進(jìn)行局部精細(xì)化探索開發(fā).以下為碎浪系數(shù)對(duì)數(shù)遞減公式：

βk=βmax-α(βmax-βmin)×logiterMaxk

(7)

式(7)中，α為對(duì)數(shù)調(diào)整因子，0<α<1稱其為對(duì)數(shù)壓縮因子，α>1稱其為對(duì)數(shù)膨脹因子.

圖2 碎浪系數(shù)遞減曲線Fig.2 Breaker coefficient decline curve

圖3 不同值碎浪系數(shù)遞減曲線Fig.3 Different values of a breaker coefficient decline curve

圖2為對(duì)數(shù)調(diào)整因子α=1，iterMax=200，時(shí)碎浪系數(shù)β對(duì)數(shù)遞減和線性遞減的對(duì)比曲線.從圖中可以看出，按公式(7)對(duì)算法的碎浪系數(shù)進(jìn)行對(duì)數(shù)遞減策略相較線性遞減策略而言，前期以較大碎浪系數(shù)支持算法進(jìn)行全局搜索取得最優(yōu)水波后，隨著迭代次數(shù)的增加，碎浪系數(shù)以較快的迅速下降并進(jìn)入局部探索；而在算法迭代后期，碎浪系數(shù)遞減速度逐漸緩慢，這一階段則以較小的碎浪系數(shù)支持算法在局部進(jìn)行精細(xì)開發(fā).上述策略更好的平衡了算法的全局和局部探索能力，從而有利于算法整體性能的提升.

圖3為不同對(duì)數(shù)調(diào)整因子下碎浪系數(shù)遞減曲線，其中，當(dāng)0<α<1時(shí)，碎浪系數(shù)β的最終值大于設(shè)定的最小值，此時(shí)算法進(jìn)行精細(xì)搜索的范圍相對(duì)上移，即在α=1的初期進(jìn)行精細(xì)化的搜素；而當(dāng)α>1，β終值小于設(shè)定的最小值，算法精細(xì)搜索的范圍則相對(duì)下移，即在α=1時(shí)進(jìn)行相對(duì)更加精細(xì)的搜索.由此可見，α不同的取值在一定程度上保證了碎浪系數(shù)對(duì)數(shù)遞減策略可以使得算法在不同的搜索空間中進(jìn)行更好的尋優(yōu)，進(jìn)一步提高了算法的收斂速度和搜索精度.

綜上所述，α值越小，碎浪系數(shù)β遞減的速度就越慢，從而能更好地適應(yīng)算法在迭代后期進(jìn)行精細(xì)化局部開發(fā)，有利于算法整體性能的提升.

3.2 衰減系數(shù)范圍選擇

在WWO中，每次迭代結(jié)束后，算法會(huì)按公式(3)對(duì)每個(gè)水波的波長(zhǎng)進(jìn)行更新.由公式(3)可知，如果水波所得的適應(yīng)度值越高，其波長(zhǎng)也就越短，相應(yīng)的其搜索范圍就越小，反之則搜索范圍越大.由此可知，適應(yīng)度值較大的水波能更好地進(jìn)行局部探索，衰減系數(shù)a作為水波優(yōu)化算法波長(zhǎng)更新中的一個(gè)重要參數(shù)，其范圍的合理選擇對(duì)于算法的整體性能具有重要影響.關(guān)于怎樣合理的設(shè)置衰減系數(shù)a的范圍，文獻(xiàn)[8]研究表明，當(dāng)衰減系數(shù)a的范圍設(shè)為[1.001，1.01]時(shí)，水波優(yōu)化算法所取得的優(yōu)化效果更好.

LOGWWO具體執(zhí)行步驟如下：

Step1.初始化具有n個(gè)水波的種群p，并分別計(jì)算每個(gè)水波的適應(yīng)度值f(x)，找到最優(yōu)的水波x*.

Step2.如果沒有滿足終止條件，則轉(zhuǎn)到Step 3；否則算法結(jié)束，并返回.

Step3.對(duì)種群中的每個(gè)水波x執(zhí)行以下操作：

Step3.1.根據(jù)公式(1)進(jìn)行傳播操作；

Step3.2.得到一個(gè)新的水波x′，如果f(x′)>f(x)，轉(zhuǎn)Step 3.2.1；否則轉(zhuǎn)Step 3.3.

Step3.2.1.用新的水波x′替代原水波x；

Step3.2.2.如果f(x′)>f(x*)，根據(jù)公式(3)執(zhí)行碎浪操作，用x′替代x*.

Step3.3.將水波的h進(jìn)行減1操作；如果h=0依據(jù)公式(5)、(6)對(duì)x進(jìn)行折射操作.

Step3.4.根據(jù)公式(3)對(duì)所有的水波的波長(zhǎng)都進(jìn)行更新.

Step4.對(duì)每個(gè)水波的適應(yīng)度f(x)計(jì)算，并對(duì)最優(yōu)的水波進(jìn)行更新，轉(zhuǎn)Step 2.

4 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

4.1 測(cè)試函數(shù)

為了進(jìn)一步驗(yàn)證LOGWWO的優(yōu)化效果和穩(wěn)定性，將LOGWWO、蜻蜓算法(Dragonfly Algorithm，DA)、正余弦算法(Sine Cosine Algorithm，SCA)和原始WWO等四種算法在10個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)上進(jìn)行求解函數(shù)最優(yōu)值的對(duì)比實(shí)驗(yàn).表1列出了實(shí)驗(yàn)中所用到的10個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)的信息.

4.2 實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置與實(shí)驗(yàn)環(huán)境

在進(jìn)行算法仿真實(shí)驗(yàn)時(shí)，參數(shù)的合理設(shè)置至關(guān)重要，算法參數(shù)的細(xì)微變化都會(huì)對(duì)其整體性能都會(huì)產(chǎn)生一定影響.為了使實(shí)驗(yàn)更加公平和客觀，本實(shí)驗(yàn)將LOGWWO、WWO、DA、SCA的種群規(guī)模統(tǒng)一設(shè)置為30，各個(gè)算法評(píng)價(jià)次數(shù)也都統(tǒng)一設(shè)置為1000次；在實(shí)驗(yàn)中，每個(gè)算法在每個(gè)測(cè)試函數(shù)上獨(dú)立運(yùn)行30次.各算法的其它參數(shù)設(shè)置如下：

LOGWWO的波高h(yuǎn)max=12，波長(zhǎng)設(shè)置為λ=0.5，衰減系數(shù)α=1.0026，碎浪系數(shù)β最大值設(shè)為β=0.25，最小值設(shè)為β=0.001.

WWO的波長(zhǎng)λ=0.5，波高設(shè)置為hmax=12，波長(zhǎng)衰減系α=1.0026，碎浪系數(shù)最大值設(shè)為β=0.25，最小值設(shè)為β=0.001[8].

DA的慣性權(quán)重最大值設(shè)為ω=0.9，最小值設(shè)為ω=0.4，常數(shù)β=0.5[6].

仿真實(shí)驗(yàn)環(huán)境如下：處理器為Intel(R)Xeorn3.5GHz，內(nèi)存為8GB，操作系統(tǒng)為Windows10；所采用的仿真軟件為Matlab2012a.

4.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

表2列出了LOGWWO以及WWO、DA、SCA等四種算法在10個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)上經(jīng)過30次獨(dú)立運(yùn)行后所得的實(shí)驗(yàn)結(jié)果.其中“Max”表示運(yùn)行30次后所得的函數(shù)最大值，“Min”表示尋找到的函數(shù)最小值，“Ave”和“Std”分別表示函數(shù)經(jīng)過30次迭代后得到的平均值和標(biāo)準(zhǔn)方差.其中最優(yōu)的平均值(Ave)和標(biāo)準(zhǔn)差(Std)用粗體顯示.

圖4～圖7為L(zhǎng)OGWWO、WWO、DA、SCA等四種算法在標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)f1、f3、f5、f7上搜索函數(shù)最優(yōu)值過程中隨迭代次數(shù)增加的收斂曲線.

表1 標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)f1-f10Table 1 Standard test functions f1-f10

4.4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

從表2的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，相較其他三種啟發(fā)式算法，基于自適應(yīng)參數(shù)調(diào)整的水波優(yōu)化算法(LOGWWO)在所測(cè)試的10個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)上對(duì)其性能的測(cè)試結(jié)果具有相對(duì)優(yōu)勢(shì).在f1～f5這5個(gè)30維的函數(shù)測(cè)試中，經(jīng)過30次獨(dú)立運(yùn)行后，LOGWWO所獲得的函數(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)差在4種算法中都取得了最小值，這充分說明其在函數(shù)搜索最優(yōu)值方面表現(xiàn)出較強(qiáng)的性能.

在進(jìn)行單峰函數(shù)f1測(cè)試中，經(jīng)過30次運(yùn)行后，LOGWWO在平均值和標(biāo)準(zhǔn)差上都要明顯好于DA、SCA和WWO等3種算法，說明LOGWWO具有較高的搜索精度和較好的穩(wěn)定性能.在對(duì)于單峰函數(shù)f2進(jìn)行的測(cè)試中，LOGWWO同樣也獲得了最優(yōu)的精度值，其獲得的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差相較其他3種算法同樣也為最優(yōu).

LOGWWO在處理多峰函數(shù)優(yōu)化中同樣也表現(xiàn)出了優(yōu)越的性能，在函數(shù)f3測(cè)試中，LOGWWO經(jīng)過30次測(cè)試后，相較于其他3種算法，其在函數(shù)最小值和平均值兩項(xiàng)指標(biāo)中均獲得了最優(yōu)值，在4種算法中表現(xiàn)出較為明顯的優(yōu)勢(shì).由圖5可知，LOGWWO在函數(shù)f3上尋找最小值過程中具有較快的收斂速度.在多峰函數(shù)f4測(cè)試中，LOGWWO和WWO在平均值和標(biāo)準(zhǔn)差上相同，但較DA、SCA兩種算法，仍然在30次迭代后在函數(shù)平均值、標(biāo)準(zhǔn)方差等指標(biāo)上具有較為明顯的優(yōu)勢(shì).函數(shù)f5是一個(gè)多峰、多局部函數(shù)，其在搜索全局最優(yōu)解時(shí)具有一定困難，但LOGWWO在f5測(cè)試上經(jīng)過30次獨(dú)立運(yùn)行后所獲得的標(biāo)準(zhǔn)方差和平均值相較DA、SCA和WWO等其他三種算法都得到了最優(yōu)值.由此可知，LOGWWO在多峰、多局部函數(shù)上的尋優(yōu)能力具有一定優(yōu)勢(shì)，同時(shí)在函數(shù)尋優(yōu)過程中表現(xiàn)出較高的搜索精度和穩(wěn)定性能.

圖4 函數(shù)收斂曲線Fig.4 Convergence curve of f1

圖5 函數(shù)收斂曲線Fig.5 Convergence curve of f3

圖6 函數(shù)收斂曲線Fig.6 Convergence curve of f5

圖7 函數(shù)收斂曲線Fig.7 Convergence curve of f7

在f6、f7、f8、f9和f10這5個(gè)固定維度多峰函數(shù)測(cè)試中，相較其他3種算法，LOGWWO也同樣表現(xiàn)不俗.其中函數(shù)f6是一個(gè)固定維度為2的多峰函數(shù)，四種算法在f6上運(yùn)行30次后，在函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)方差指標(biāo)上LOGWWO獲得了最優(yōu)值，在平均值指標(biāo)上，LOGWWO和WWO獲得了同樣的值，但在平均值和標(biāo)準(zhǔn)差上所得的值比DA、SCA兩種算法優(yōu).其中函數(shù)f7、f10都為固定維度為4維的多峰函數(shù)，四種算法在這兩個(gè)函數(shù)上經(jīng)過30次運(yùn)行后的結(jié)果可以看出，在f7、f10這兩個(gè)函數(shù)上，WWO的優(yōu)化效果要比LOGWWO略勝一籌，但與SCA、DA兩種算法比起來，LOGWWO仍然具有一定的優(yōu)勢(shì).函數(shù)f9是維度為6的多峰函數(shù)，在函數(shù)f9上對(duì)四種算法的性能進(jìn)行測(cè)試，實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，與WWO、DA和SCA等三個(gè)算法相比，LOGWWO在30次評(píng)價(jià)之后所獲得的平均值在四種算法中為最優(yōu)，說明其在收斂精度上要比其它三種算法具有優(yōu)勢(shì)；而在標(biāo)準(zhǔn)方差指標(biāo)上，DA獲得最優(yōu)值，LOGWWO次之.函數(shù)f8同樣為固定維度為2的多峰函數(shù)，LOGWWO、WWO和SCA這三種算法30次運(yùn)行的平均值相同，在標(biāo)準(zhǔn)方差方面，SCA獲得最優(yōu)值.以上分析結(jié)果印證了NFL(NO Free Lunch)定理，并不存在某一種算法是萬能的，也不存在一種算法在所有問題優(yōu)化上都表現(xiàn)出優(yōu)越的性能這一論斷.

通過以上分析可知，在大部分函數(shù)優(yōu)化問題中，改進(jìn)的自適應(yīng)參數(shù)調(diào)整的水波優(yōu)化算法(LOGWWO)的求解精度和穩(wěn)定性方面整體優(yōu)于DA、SCA、WWO等算法.除了在f7和f10兩個(gè)函數(shù)測(cè)試上，WWO要略好于LOGWWO；f9函數(shù)測(cè)試中，DA在標(biāo)準(zhǔn)差上獲得最優(yōu)，LOGWWO次之.LOGWWO在其他測(cè)試函數(shù)上尋優(yōu)的標(biāo)準(zhǔn)差都取得了最小值，并且在幾個(gè)多極值、多局部多峰函數(shù)上，LOGWWO依然尋找到了最優(yōu)的精度值，從而說明LOGWWO具有較好的全局和局部探索尋優(yōu)性能，并且在函數(shù)優(yōu)化問題上具有較好的魯棒性.

5 總結(jié)與展望

針對(duì)水波優(yōu)化算法在求解精度方面表現(xiàn)出的不足，本文在對(duì)水波優(yōu)化算法在解決優(yōu)化問題過程中對(duì)控制參數(shù)變化進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，提出了一種自適應(yīng)參數(shù)調(diào)整的改進(jìn)策略，即在算法執(zhí)行的前期以較大的碎浪系數(shù)支持算法進(jìn)行全局搜索，以得到較優(yōu)的水波；在算法的后期，則以較小的碎浪系數(shù)支持算法進(jìn)行局部精細(xì)化探索.改進(jìn)的水波優(yōu)化算法通過碎浪系數(shù)對(duì)數(shù)遞減策略更好的平衡了算法的全局和局部搜索，從而在整體上提升了算法的搜索精度和收斂速度.水波優(yōu)化算法作為一種新興的啟發(fā)式群體智能算法，盡管已研究證明其在很多優(yōu)化問題上要比其他幾個(gè)新型智能算法優(yōu)越，但其仍然存在一些不足，比如其在局部搜索方面較弱，收斂速度較慢等.所以，如何考慮將其他局部搜索能力強(qiáng)的算法融入到水波優(yōu)化算法中，來全面提升水波優(yōu)化算法的性能的研究將是下一步研究的重點(diǎn).