郭紅鋒

公元前古埃及的科學(xué)家埃拉托色尼，通過夏至日日影的測(cè)量，計(jì)算出地球周長。在古埃及的一個(gè)名為阿斯旺的小鎮(zhèn)上，每當(dāng)夏至日正午，太陽從頭頂照射下來，物體是沒有影子的。當(dāng)?shù)赜幸豢谒?，陽光?huì)直接射入井中（見圖1），而過了這一天，就不會(huì)出現(xiàn)這些現(xiàn)象。

后來埃拉托色尼在埃及的另一個(gè)城市亞歷山大，在同樣的夏至日正午，測(cè)量了當(dāng)?shù)匚矬w的影子，發(fā)現(xiàn)在亞歷山大城的夏至日正午，物體是有影子的，陽光偏離垂直方向大約7.5°（見圖2）。

我們用圖3解釋地球的形狀影響了地球表面不同地區(qū)的影子長度。如圖3左邊所示，假設(shè)地球是平的，入射的陽光不論是什么角度（直射或者斜射），在地球表面各處所成的影子都是一樣長的；但如圖3右邊所示，假設(shè)地球是球形的，那么太陽照射地球表面物體所成的影子，就會(huì)隨陽光入射角度不同而不同，同一時(shí)間在各地所成的影子長度與所在地緯度有關(guān)。

所以埃拉托色尼根據(jù)測(cè)量太陽在同一天兩地產(chǎn)生不同的影子長度，從而聯(lián)想到地球可能是球狀；又假設(shè)太陽離地球很遠(yuǎn)，所射來的光線是平行光，進(jìn)一步利用照射到地球表面的兩個(gè)城市影子的偏差，推算出地球的圓周周長。

這可以簡化成一道小學(xué)數(shù)學(xué)題：已知地球圓周是360°，A地夏至日陽光直射，地面沒有影子，B地夏至日陽光照射到地面上所成影子與垂直方向成7.5°，測(cè)量得到兩城之間的距離（即地球周長的一部分）為5000希臘里，求地球周長。

分析已知數(shù)據(jù)和未知數(shù)據(jù)，可以通過一個(gè)圓周角度和圓周弧長的比例得到如下關(guān)系：

利用簡單的比例計(jì)算，就可以得出地球周長（即360°圓周弧長）

換算到現(xiàn)代的千米制單位，埃拉托色尼測(cè)算的地球圓周長約為39360千米，與今天通過現(xiàn)代技術(shù)航跡測(cè)算的結(jié)果（赤道周長=40075千米），誤差僅在5%以內(nèi)。

埃拉托色尼在人們并不知道（一直爭論但卻無法證實(shí)）地球是方還是圓的年代，使用簡單的測(cè)量和計(jì)算，推導(dǎo)出地球周長這樣重要的數(shù)據(jù)，從而給出地球大小（周長）和形狀的概念，的確是非常很了不起的成就。這一實(shí)驗(yàn)也被現(xiàn)代人們?cè)u(píng)價(jià)為史上最美+大物理實(shí)驗(yàn)之一，是載入史冊(cè)的重大成果。

我們今天仍然可以參考2000多年前埃拉托色尼的測(cè)量方法，做一些基本的測(cè)量和計(jì)算。我們建議全國各地的同學(xué)們，在每年的春分、秋分、冬至和夏至?xí)r節(jié)，一起參加日影測(cè)量活動(dòng)。因?yàn)樵谶@幾個(gè)節(jié)點(diǎn)，太陽直射地球的角度是確定的。

圖4中的角度δ代表觀察者當(dāng)?shù)鼐暥?，角度代表觀察日太陽直射點(diǎn)的緯度。根據(jù)圖中的三角關(guān)系，可知觀察者所在地當(dāng)天正午的太陽高度角為H，H′是H的內(nèi)錯(cuò)角，所以有H′=H。此外，在直角三角形AOB中，H′=90°-（φ-δ），所以我們得到任何緯度上任何一天正午太陽高度角與當(dāng)?shù)鼐暥扔腥缦玛P(guān)系。

H=H′=90°-（Φ-δ）

以北京為例（Φ=40°），計(jì)算正午太陽高度角：

春分日與秋分日，太陽直射赤道，δ=0°

H=90°0（Φ-δ）=90°-（40°-0°）=50°（春秋分日正午太陽高度等于90。減當(dāng)?shù)鼐暥龋?/p>

夏至日，太陽直射北回歸線，δ=23°.5

H=90°-（Φ-δ）=90°-（40°-23°.5）=73°.5（夏至日正午太陽高度等于春秋分日值加）

冬至日，太陽直射南回歸線，δ=-23°.5

H=90°-（Φ-δ）=90°-（40°+23°.5）=26°.5（冬至日正午太陽高度等于春秋分日值減）

每年夏至日，我們都會(huì)組織一些同學(xué)測(cè)量當(dāng)?shù)卣缛沼啊２煌暥鹊臄?shù)據(jù)組合起來，可以讓我們直觀地看出地球表面的彎曲，也可以用來估算更多的地球參數(shù)。

活動(dòng)時(shí)間：夏至日正午前后各半小時(shí)（總共約一小時(shí)）（天氣不好可提前或延后一兩天）

活動(dòng)內(nèi)容：記錄太陽影子端點(diǎn)，記錄采樣時(shí)間，測(cè)量全部影子長度數(shù)值，填表保存。然后通過分析數(shù)據(jù)，計(jì)算出各種有關(guān)的結(jié)果。

活動(dòng)方法：（建議）：

1.準(zhǔn)備工作

①立竿：在空曠的平地上找一個(gè)豎直立在地面上的標(biāo)志物（可以是一根竿子，也可以是窗戶楞、欄桿、旗桿、單杠等固定物）；

②確定垂直：用線吊重物垂直于大地，或用大三角板、直角鋼尺等工具檢驗(yàn)立桿的垂直度；窗戶楞、欄桿、旗桿、單杠等固定物本身就是垂直的，可以不必再測(cè)；

③找出垂點(diǎn)，用做測(cè)量基點(diǎn)（見圖5）；

④確定觀測(cè)時(shí)間：因?yàn)槲覀內(nèi)珖际褂帽本r(shí)間，但各地正午時(shí)刻是不同的，可以在網(wǎng)上查表得到當(dāng)?shù)厝魏我惶斓娜罩袝r(shí)刻，觀測(cè)時(shí)間可以安排在日中時(shí)刻前后半小時(shí)；

⑤準(zhǔn)備好計(jì)時(shí)器（手機(jī)或鬧鐘等）、卷尺、直尺、鉛筆、水筆、記錄紙（或表格）等；

⑥建議準(zhǔn)備一張lK大小的厚型白紙鋪在地面上，把立竿放在紙的一端，影子端點(diǎn)記錄在紙的另一端，便于記錄和保存測(cè)量結(jié)果。同時(shí)建議拍攝全部測(cè)量過程和測(cè)量結(jié)果，以便后期核對(duì)。

2.測(cè)量工作

①測(cè)量竿高：用卷尺預(yù)先測(cè)量竿子的高度，并記錄數(shù)據(jù)（厘米）；

②記錄影子：正午前半小時(shí)到正午后半小時(shí)，每隔1～2分鐘記錄一次，建議每次把影子的端點(diǎn)畫在地面上或紙面上（用鉛筆或畫筆點(diǎn)一個(gè)點(diǎn)），畫的點(diǎn)不要過大（1毫米以下的圓點(diǎn)為宜，見圖6）；

③測(cè)量影長：全部記錄完畢，再用尺子測(cè)量垂點(diǎn)到每個(gè)時(shí)刻影子端點(diǎn)之間的長度數(shù)據(jù)，填入表格。

④記錄表格建議如下：

3.從測(cè)量結(jié)果得出

①確定當(dāng)?shù)卣鐣r(shí)刻：最短的影長所對(duì)應(yīng)的時(shí)刻，就是當(dāng)?shù)禺?dāng)日真太陽時(shí)的正午時(shí)刻。

②確定當(dāng)?shù)啬媳狈较颍鹤疃逃伴L的方向，就是正午時(shí)刻影子的方向，也是當(dāng)?shù)氐恼险狈较颉?/p>

4.引申的問題

①你知道當(dāng)?shù)卣鐣r(shí)刻與北京時(shí)間中午12點(diǎn)有什么差別嗎？

②你知道怎樣把測(cè)量得到的數(shù)值換算成太陽高度角的角度值嗎？

③你知道怎樣利用你的測(cè)量數(shù)據(jù)估算地球周長嗎？

④你能利用自己測(cè)量的數(shù)據(jù)計(jì)算當(dāng)?shù)氐木暥葐幔?/p>