(上海電機學(xué)院數(shù)理部， 上海 200023)

1 單自由度彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的自由振動

我們知道靠系統(tǒng)本身的彈性恢復(fù)力維持的振動稱為自由振動，下面我們給出物理模型圖

K：無質(zhì)量彈簧的剛度

c：阻尼系數(shù)

m：無彈性的質(zhì)量

x：位移

t：時間

由胡克定律得：彈簧的恢復(fù)力

系統(tǒng)的阻力

由牛頓第二定理得

數(shù)學(xué)表達成為為了研究方便設(shè)

由二階常系數(shù)線性微分方程的理論得

特征方程

特征根

（1）當(dāng)時：記

通解為

其中C1,C2是常數(shù)

通解形式為

該通解顯然是一個周期函數(shù)

（2）時，特征根是兩個不相同的實數(shù)λ1，λ2

通解為

（3）當(dāng)時，特征根是兩個相同的實數(shù)λ1=λ2=λ

通解為

我們將作為阻尼的臨界值，這里臨界值得意思是：當(dāng)時的通解不是周期函數(shù)，不具有振動性質(zhì)，當(dāng)時的通解是周期函數(shù)，具有振動性質(zhì)。

以上我們知道單自由度彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的自由振動對應(yīng)一個二階常系數(shù)齊次線性微分方程，當(dāng)一個振動系統(tǒng)還經(jīng)常受到一個外力的作用時，這種振動稱強迫振動，最常見的外力往往是按周期變化的，下面考察周期外力是按正弦變化作用下，當(dāng)時，單自由度彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的強迫振動情況。

2 單自由度彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的強迫振動

我們給出單自由度彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的強迫振動的 物理模型所有符號同上，其中即正弦變化的外力數(shù)學(xué)表示式：

為方便研究令

得

上式為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，對應(yīng)二階常系數(shù)齊次線性微分方程為

通解為

即為自由振動時的情況下的通解，假設(shè)符號同上，現(xiàn)在我們再求的一個特解

設(shè)特解為

其中M，N是待定常數(shù)，將 代入（*）式得到

因此我們最終得到了

從中可以看出是有阻尼的自由振動項，他是系統(tǒng)本身的固有振動，他隨時間的增大而衰減，是有外力而引起的強迫振動項，它的振幅不隨時間增大而衰減，因而考慮強迫振動主要就考察

3 關(guān)于的討論

我們現(xiàn)在來研究外力的頻率 P取什么值時，所引起的強迫振動項的振幅達到最大值

求的最大值

即求的最小值

對求導(dǎo)得

令解得

得到這樣的結(jié)論：

外力的頻率時，強迫振幅項達到最大，這時的頻率稱為共振頻率，研究的現(xiàn)象叫做共振現(xiàn)象，我們定義是系統(tǒng)本身的固有頻率，當(dāng) n很小時，

P≈ω可作為共振頻率。

4 單自由度彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的理論在機械安裝中的應(yīng)用

例：一臺電動機重為48千克轉(zhuǎn)速為1430轉(zhuǎn)/分，固定在兩根五號槽鋼組成的簡支梁上的中點，每根槽鋼長為1.2米，重為6.62千克，EJ=16.6ⅹ103牛米2。這種安裝方法是否合理呢？我們可以來分析一下：

首先我們將上述系統(tǒng)簡化為一個單自由度彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，槽鋼重量與電動機重量相比不可忽略，將槽鋼質(zhì)量的一半加在電動機質(zhì)量上一起作為“無彈性”的質(zhì)量，這樣槽鋼作為“無質(zhì)量”的彈簧。

其次求該系統(tǒng)的固有頻率ω，現(xiàn)在質(zhì)量塊的質(zhì)量為48+6.62=54.62（千克）

根據(jù)材料力學(xué)中簡支梁的撓度公式，在梁中點作用一垂直力F時該點的撓度為

于是兩支梁的彈簧剛度為

兩根槽鋼的總彈簧剛度為

（牛頓/米）該系統(tǒng)的固有頻率為

最后我們根據(jù)電動機的轉(zhuǎn)速1430轉(zhuǎn)/分，求出外力的頻率P

P=1430ⅹ2 /60=149.7（1/秒）

由于：外力的頻率為149.7（1/秒）系統(tǒng)固有頻率為129.9（1/秒）兩個數(shù)值比較接近，這樣會產(chǎn)生共振，因此我們認為不合理。

怎樣來避免這種現(xiàn)象呢？這里我們可以用增加梁的長度的方法來解決，若將梁的長度增加到1.5米，即梁的重量為662ⅹ1.25=8.275（千克）

這樣P=149.7（1/秒），ω=91.6（1/秒），P和ω相差很大，不會產(chǎn)生共振。

5 結(jié)論

單自由度彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的自由振動對應(yīng)一個二階常系數(shù)齊次線性微分方程，單自由度彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的強迫振動對應(yīng)一個二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，當(dāng)外力的頻率時，系統(tǒng)會產(chǎn)生共振現(xiàn)象，當(dāng)n很小時，P≈ω可作為共振頻率。

在旋轉(zhuǎn)機械中，如通風(fēng)機、電動機、水泵、離心壓縮機、汽輪機等，由于偏心質(zhì)量而引起強迫振動是很普遍的，我們可以將該現(xiàn)象簡化為單自由度彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，經(jīng)過研究和討論得到，當(dāng)外力的頻率和系統(tǒng)本身的固有頻率比較接近時會產(chǎn)生共振，由于劇烈振動，不但會引起機器本身結(jié)構(gòu)或部件的破壞，縮短使用壽命，降低效率等不利·影響，而且會影響周圍的精密儀器設(shè)備不能正常工作或降低其靈敏度和精確度，因此有效的隔離共振是現(xiàn)代化工業(yè)中的重要問題。它必須引起企業(yè)的高度重視。