劉廷峻 汪 剛

(1.中國地震局工程力學(xué)研究所，黑龍江 哈爾濱 150080; 2.中國地震局地震工程與工程振動重點實驗室，黑龍江 哈爾濱 150080)

近幾十年來，估計地表局部不規(guī)則地形對地震地面運(yùn)動影響的研究工作一直是地震學(xué)、地震工程學(xué)中令人關(guān)注的課題之一。地表局部不規(guī)則地形對地震地面運(yùn)動影響作為宏觀現(xiàn)象，其本質(zhì)是彈性波的散射與動應(yīng)力集中。彈性波的散射與動應(yīng)力集中問題[1]是近幾十年提出的課題，它在理論上，特別是工程應(yīng)用上有重要的意義。在研究土體的動力學(xué)特性時，Ishihara等[2]在計算波浪對海床的作用時提出了動應(yīng)力路徑的概念，以土體單元為研究對象，選取豎向應(yīng)力與水平向應(yīng)力之差的1/2作為橫坐標(biāo)，選取剪應(yīng)力作為縱坐標(biāo)，繪制動應(yīng)力路徑。動應(yīng)力路徑的概念在研究車輛動載下地基的響應(yīng)和飛機(jī)荷載下跑道道基的響應(yīng)時得到了廣泛的應(yīng)用，魏星等[3]在研究移動交通荷載下公路軟土地基的沉降計算時考慮了土體的動應(yīng)力路徑，張凡[4]在研究飛機(jī)單輪荷載作用下山區(qū)機(jī)場跑道動力響應(yīng)時考慮了土體的動應(yīng)力路徑。本文基于波動理論，推導(dǎo)了平面P波斜入射時半圓形凹陷場地不同位置處土體應(yīng)力的計算公式，分析了平面P波入射時表面土體的位移幅值和內(nèi)部土體的動應(yīng)力路徑，并比較了半圓形凹陷場地與半無限場地之間的差異。

1 采用模型與方法

1.1 采用模型

根據(jù)彈性波動力學(xué)基本理論[5]，本文對研究模型進(jìn)行了一定的簡化，如圖1所示。假定場地為包含半圓形凹陷的平面半無限體，半圓形凹陷的圓心在O點，半徑為a，土體為線彈性，波在傳播過程中沒有能量的衰減。

1.2 平面P波入射下的土體應(yīng)力狀態(tài)

1.2.1自由場

設(shè)入射P波勢函數(shù)為:

φi=expiα(xcosθα-ysinθα)

(1)

其中，上標(biāo)i表示入射波；波數(shù)α=ω/vp；ω為圓頻率；vp為P波波速；θα為入射波和法線的夾角。

入射P波時存在波型轉(zhuǎn)換現(xiàn)象，產(chǎn)生反射P波和反射SV波。自由場的P波和SV波的勢函數(shù)為：

φff=expiα(xcosθα-ysinθα)+K1expiα(xcosθα+ysinθα)

(2)

ψff=K2expiβ(xcosθβ+ysinθβ)

(3)

其中，K1和K2均為反射系數(shù)。

自由場的P波和SV波勢函數(shù)可展開為柱面波函數(shù)：

(4)

(5)

其中，an,bn,cn,dn均為已知系數(shù)。

1.2.2散射場

散射波的勢函數(shù)為：

(6)

(7)

其中，上標(biāo)s表示散射波；An,Bn,Cn,Dn均為未知系數(shù)。

1.2.3邊界條件

平面和凹陷處均為自由邊界，故滿足：

σθ|θ=0,π=0

(8)

τrθ|θ=0,π=0

(9)

0≤θ≤π，σr|r=a=0

(10)

0≤θ≤π，τrθ|r=a=0

(11)

1.2.4未知系數(shù)的求解

極坐標(biāo)下應(yīng)力—勢函數(shù)的關(guān)系為:

(12)

(13)

(14)

Lee[6]提出了一種算法，如式(15)，式(16)所示，在半空間中將正弦函數(shù)用余弦函數(shù)表示，從而將未知系數(shù)減少至An和Cn。

(15)

式中:

(16)

故散射波導(dǎo)致的應(yīng)力可以表示為:

(17)

(18)

(19)

將式(17)～式(19)代入式(8)，式(9)可直接滿足。將式(17)～式(19)代入式(10),式(11)可得:

(20)

(21)

σx=σrcos2θ+σθsin2θ-2τrθsinθcosθ

(22)

σy=σrsin2θ+σθcos2θ+2τrθsinθcosθ

(23)

τxy=(σr-σθ)sinθcosθ+τrθ(cos2θ-sin2θ)

(24)

到此為止，平面P波入射下，由式(22)～式(24)可以確定土體中任意一點的應(yīng)力狀態(tài)。

2 土體表面位移幅值分析

極坐標(biāo)下位移—勢函數(shù)的關(guān)系為:

(25)

(26)

再使用式(27),式(28)可以得到位移分量在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式：

ux=urcosθ-uθsinθ

(27)

uy=ursinθ+uθcosθ

(28)

入射平面P波時，選取土體表面的位移幅值進(jìn)行分析。土體參數(shù)為：密度ρ=1 800 kg/m3，剪切波速vs=2 000 m/s，泊松比υ=0.25。凹陷的半徑為1 000 m。入射波頻率2 Hz，入射波成60°入射。

如圖2所示，由于凹陷場地的影響，地表位移幅值發(fā)生了較大的變化，放大效應(yīng)最大的地方是凹陷的邊緣，面對入射波一側(cè)比背對入射波一側(cè)放大效應(yīng)更加明顯；半圓形凹陷內(nèi)部的位移幅值比兩側(cè)水平面的位移幅值規(guī)律更加復(fù)雜，并且受位置的影響更大。

3 土體動應(yīng)力路徑分析

入射平面P波時，選取不同位置的土體進(jìn)行分析和對比，選取(σy-σx)/2作為橫坐標(biāo)，τxy作為縱坐標(biāo)，繪制動應(yīng)力路徑。土體參數(shù)和入射波和上一節(jié)相同。

選取半圓形凹陷場地和半無限場地中直角坐標(biāo)為(-1 800,3),(-1 800,7),(-1 800,10),(-1 800,15),(1 800,3),(1 800,7),(1 800,10),(1 800,15),(1 200,3),(1 200,7),(1 200,10),(1 200,15)的點繪制動應(yīng)力路徑。

如圖3～圖5所示，半圓形凹陷場地和半無限場地的相同點是動應(yīng)力路徑都是橢圓。不同點是，相同位置處，半圓形凹陷場地面對入射波的橢圓(如圖3所示)的高度和寬度都大于半無限場地，說明面對入射波一側(cè)的土體正應(yīng)力差和剪應(yīng)力都要大于半無限場地；半圓形凹陷場地背對入射波一側(cè)，有的橢圓(如圖4所示)高度和寬度大于半無限場地，有的橢圓(如圖5所示)高度和寬度小于半無限場地，說明面對入射波一側(cè)的土體正應(yīng)力差和剪應(yīng)力都要小于半無限場地。

在地基、邊坡的地震穩(wěn)定性分析中，需要考慮到土體在往返荷載作用下的強(qiáng)度，對土體不同位置處動應(yīng)力路徑的研究可以應(yīng)用于尋找場地中地震穩(wěn)定性最危險的位置。

4 結(jié)語

本文基于波動理論，推導(dǎo)了地震波斜入射時半圓形凹陷場地不同位置處土體應(yīng)力的計算公式，分析了平面P波入射時表面土體的位移幅值和內(nèi)部土體的動應(yīng)力路徑，并比較了半圓形凹陷場地與半無限場地之間的差異，在本文的假設(shè)條件下，得到以下結(jié)論：

1)入射平面P波時，凹陷場地導(dǎo)致的放大效應(yīng)最大的地方是凹陷的邊緣。

2)入射平面P波時，半圓形凹陷場地和半無限場地土體的動應(yīng)力路徑都是橢圓。

3)受凹陷和位置等因素影響，橢圓的高度、寬度、傾斜程度發(fā)生變化。