張擇書，郭永飛

（中國科學院長春光學精密機械與物理研究所，長春 130033）

衛(wèi)星圖像由于包含信息量大、高分辨率等特點，其應(yīng)用領(lǐng)域十分廣闊[1]，包括海洋、森林、礦藏等資源探測，對農(nóng)、林、畜牧業(yè)、植被等作物生長狀態(tài)的實時監(jiān)測，利用精準的圖像資源繪制科技領(lǐng)域的專業(yè)地圖等應(yīng)用[2，3]。由于衛(wèi)星圖像的數(shù)據(jù)量大，大氣云層干擾等，如何對衛(wèi)星圖像進行處理和傳輸一直是研究人員的關(guān)注熱點[4]。在此情況下，壓縮感知被引入衛(wèi)星圖像處理，對衛(wèi)星圖像的海量圖像信息進行觀測。壓縮感知算法以遠遠小于奈奎斯特定理的數(shù)量對圖像進行采樣，采樣信息冗余極少，可以完整的對信號進行重構(gòu)[5]。壓縮感知理論目前主要包括三個方向的研究：稀疏基的構(gòu)造，觀測矩陣的構(gòu)造，恢復算法的選擇和優(yōu)化[6，7]。其中，觀測矩陣的設(shè)計是壓縮感知觀測衛(wèi)星圖像的關(guān)鍵問題，不但決定了衛(wèi)星圖像大量信息的壓縮比，也是衛(wèi)星圖像壓縮傳輸后仍然能夠完整保存圖像信息的關(guān)鍵。

壓縮感知觀測矩陣的構(gòu)造理論一直受到研究人員的重視，其設(shè)計理念由Candes等在文獻[8]中提出：觀測矩陣滿足特定有限等距常數(shù)（Restricted Isometry Constant，RIC）條件下，壓縮感知的重構(gòu)信號具有唯一性與準確性，在文獻[9]中，Candes針對測量矩陣的設(shè)計又提出有限等距特性（Restricted Isometry Property，RIP），觀測矩陣RIP的值越大，矩陣性能越優(yōu)秀。觀測矩陣的構(gòu)造方法歸為兩類：一類為隨機性矩陣。另一類為確定性矩陣。常用的隨機性矩陣包括高斯隨機矩陣，貝努力隨機矩陣[10]，隨機性矩陣對一般的圖像都可以較好的重構(gòu)矩陣，但由于矩陣隨機生成，信號波動大，魯棒性不強，而且隨機矩陣結(jié)構(gòu)復雜，運行時間長，尤其對于處理擁有大量信息的衛(wèi)星圖像，需要極大的空間存儲觀測矩陣，所以在實際應(yīng)用中較難實現(xiàn)。確定性矩陣有很多種，包括多項式觀測矩陣，線性代數(shù)觀測矩陣等。這些矩陣的特點是只要矩陣的構(gòu)造參數(shù)一定，矩陣的構(gòu)成元素就確定下來，且不可更改。但這些矩陣不能根據(jù)圖像任意設(shè)定觀測矩陣的大小，對觀測不同規(guī)格的衛(wèi)星圖像有很大限制[11]。兩類構(gòu)造方法各有優(yōu)勢，為了彌補各自的不足，本文針對衛(wèi)星圖像的處理，在壓縮感知算法的基礎(chǔ)上，融合兩種觀測矩陣構(gòu)造方法，提出了一種新的部分確定高斯隨機矩陣作為觀測矩陣，在發(fā)送端對衛(wèi)星圖像進行觀測，接收端使用OMP算法對衛(wèi)星圖像進行重建。實驗結(jié)果表明，對比傳統(tǒng)的高斯隨機矩陣、貝努力隨機矩陣、哈達瑪矩陣等觀測矩陣，使用新的觀測矩陣，可以提高衛(wèi)星圖像的重構(gòu)質(zhì)量，并增強觀測信號的抗干擾能力。

1 壓縮感知理論

壓縮感知打破了傳統(tǒng)的奈奎斯特定理，在稀疏理論的基礎(chǔ)上，前提條件是觀測信號是稀疏或者可壓縮的信號，設(shè)置一個低維的觀測矩陣，將信號投影到低維空間，然后利用已知的觀測矩陣和稀疏基，采用范數(shù)逼近的思想，重建原始信號。其具體過程框圖如圖1所示。

圖1 壓縮感知原理框圖

壓縮感知對信號的觀測過程如下：原始信號x，長度為N，觀測矩陣Φ，為M×N維矩陣，且M＞＞N，壓縮感知觀測信號的前提是x為稀疏或者可壓縮信號，如果x中含有k個非零值，N＞＞k，則k稱為信號的稀疏度。Ψ作為稀疏訓練序列，原始信號x可由稀疏訓練序列Ψ和一組變換列向量q表示：

使用測量矩陣Φ對原始信號x進行觀測，得到測量值y

把以上兩式合并，可得到

其中，Γ=Φ?Ψ，維度為M×N。

壓縮感知的重構(gòu)可以看作是利用測量值y、觀測矩陣Φ和訓練序列Ψ采用不同的算法恢復出原始信號x，這個過程可通過求解范數(shù)來進行。得到估計信號x的變換列向量

qi滿足關(guān)系式：

lp范數(shù)是壓縮感知的重要概念，代表解向量中非零元素的稀疏度，當p的取值不同時，lp范數(shù)重構(gòu)的效果也會不同，一般常用l0范數(shù)進行重構(gòu)，通過求解l0范數(shù)，壓縮感知的重構(gòu)過程可以用以下模型描述：

壓縮感知的重構(gòu)算法有很多種，包括BP、MP、SP、OMP、SBL等，綜合各種算法的性能，本文采用OMP算法作為壓縮感知對衛(wèi)星圖像觀測的重構(gòu)算法。

2 基于衛(wèi)星圖像的壓縮感知觀測矩陣設(shè)計

衛(wèi)星圖像采集對地圖像信息，隨著技術(shù)的發(fā)展，其數(shù)據(jù)量越來越龐大且包含信息繁雜，使用壓縮感知算法，采用適合的觀測矩陣，不但能極大壓縮傳輸數(shù)據(jù)量，而且能在接收端得到完整的重構(gòu)圖像。傳統(tǒng)的壓縮感知最多采用的是高斯隨機矩陣作為觀測矩陣，高斯隨機矩陣生成簡單，可根據(jù)圖像大小，隨時調(diào)整觀測矩陣大小，并且由于矩陣隨機產(chǎn)生，觀測矩陣和稀疏基幾乎完全不相關(guān)，對任何圖像都能很好的重構(gòu)。但也由于高斯矩陣的隨機性，每次重建圖像的精確比都不一樣，觀測到的信號極易受到外界噪聲影響，抗干擾能力差。本文設(shè)計了基于奇異值分解的部分確定高斯矩陣，通過奇異值分解矩陣，得到高斯隨機矩陣精準、穩(wěn)定的特征描述，保留了高斯矩陣的隨機特性，并在此基礎(chǔ)上，把矩陣的大部分元素設(shè)置為確定值，可以節(jié)省存儲空間，且極大的提高了傳輸效率，尤其對于數(shù)據(jù)量巨大的衛(wèi)星圖像，部分確定的高斯矩陣優(yōu)勢明顯。

具體設(shè)計步驟如下：

1）輸入原始衛(wèi)星圖像x，判斷圖像維數(shù)，如果x＞2，則對圖像進行灰度化處理；

2）由于衛(wèi)星圖像x數(shù)據(jù)量巨大，進一步對圖像進行imresize縮放處理；

3）設(shè)置傅里葉變換矩陣作為稀疏基Ψ，Ψ∈RN×N，將圖像稀疏化；

4）產(chǎn) 生符 合標 準正 態(tài)分 布f(x)=ae-（x-b）×（x-b）/（c×c）的隨機矩陣 Φ ；

5）生成的高斯隨機矩陣Φ作為觀測矩陣，Φ∈RN×N，rank(Φ)=r，r≤N；

6）對隨機矩陣Φ進行奇異值分解，Φ=UAVT=，其中，A為廣義對角矩陣，U，V為正交矩陣；

7）生成M×N的全1矩陣B，E=（-1）·B+A，用E作為觀測矩陣，對x進行觀測。

3 實驗仿真及其分析

實驗仿真平臺使用MATLAB軟件，用壓縮感知算法對分辨率為2.5米的山體滑坡衛(wèi)星圖像進行重構(gòu)分析，重構(gòu)算法為OMP，稀疏基為傅里葉變換矩陣，分別采用本文的部分確定高斯矩陣、高斯隨機矩陣、貝努力隨機矩陣、部分哈達碼矩陣、稀疏隨機矩陣等5種矩陣作為壓縮感知的觀測矩陣，對原始圖像進行觀測，得到的衛(wèi)星圖像原始和重構(gòu)圖像如圖2（a）-（f）所示。

由圖2對比可知，采用這五種矩陣作為觀測矩陣都可以重構(gòu)圖像，本文提出的部分高斯隨機矩陣在視覺上效果更加優(yōu)化，尤其細節(jié)部分更加清晰，為了進一步得到量化的對比，我們對衛(wèi)星圖像沿用圖像信號的評價指標PSNR，其表達式為：

其中，圖像最大灰度值MAXI、最大峰值信噪比PSNR（dB），PSNR值越大，衛(wèi)星圖像的傳輸損失越小，重構(gòu)效果越好。圖3為對5種觀測矩陣進行50次測量得到的重構(gòu)PSNR值。

圖2 5種不同觀測矩陣對衛(wèi)星圖像的重構(gòu)圖像

圖3 不同觀測矩陣50次重構(gòu)圖像PSNR對比

由上圖可知，稀疏隨機矩陣、貝努力矩陣和高斯隨機矩陣的重構(gòu)效果近似，部分哈達碼矩陣重構(gòu)效果略好，PSNR比前三種矩陣高1dB左右，而本文提出的部分確定高斯矩陣由于綜合了隨機性矩陣和確定性矩陣的優(yōu)勢，比傳統(tǒng)觀測矩陣重構(gòu)效果更好，PSNR提高3dB左右。下面我們進一步引入歸一化均方誤差MSE和相關(guān)系數(shù)來觀察重構(gòu)圖像質(zhì)量。

I(i,j)為原始圖像，J(i,j)為重構(gòu)圖像。不同觀測矩陣的測量數(shù)據(jù)如表1所示：

表1 不同測量矩陣重構(gòu)圖像的MSE、PSNR和相關(guān)系數(shù)表

相關(guān)系數(shù)表示重構(gòu)圖像與原圖的相關(guān)程度。當其值為1時代表兩幅圖像完全一樣，因此相關(guān)系數(shù)無限接近于1。由上面表格可以看出，本文提出的部分高斯矩陣相關(guān)系數(shù)提高了0.03，重構(gòu)的圖像比其他矩陣更加接近原始圖像，并且MSE誤差減小約50%，減少了衛(wèi)星圖像在傳輸中的信息損失，提升了重構(gòu)圖像質(zhì)量。

PSNR的統(tǒng)計學特性包括最大值、最小值、均值、方差。方差越大，數(shù)據(jù)的波動越大；方差越小，數(shù)據(jù)的波動越小。下面我們再根據(jù)表格數(shù)據(jù)看一下重構(gòu)圖像的波動性。表2為不同觀測矩陣50次測量的PSNR統(tǒng)計特性信息。

表2 不同觀測矩陣50次測量的PSNR統(tǒng)計特性信息

由表格數(shù)據(jù)可知，經(jīng)過50次對衛(wèi)星圖像測量重構(gòu)，本文部分確定高斯矩陣作為測量矩陣，重構(gòu)圖像PSNR均值比傳統(tǒng)觀測矩陣最大值提高約3.5dB；最小值提高約3dB；均值整體提高3dB；傳統(tǒng)測量矩陣方差在0.1左右，本文的部分確定高斯矩陣方差則大大減少，達到0.01。由此可見，本文提出的觀測矩陣不但提高了圖像的恢復質(zhì)量，而且極大地減少了數(shù)據(jù)的波動性，增強了信號對噪聲的抗干擾能力。

4 結(jié)論

本文融合了壓縮感知觀測矩陣的確定性構(gòu)造和隨機性構(gòu)造的優(yōu)點，提出了一種部分確定的高斯矩陣，作為壓縮感知的觀測矩陣，對數(shù)據(jù)量巨大的衛(wèi)星圖像進行觀測并重構(gòu)。實驗表明，與高斯矩陣、貝努力矩陣，部分哈達碼矩陣、稀疏隨機矩陣等常用的觀測矩陣相比，采用部分確定的高斯矩陣，重構(gòu)圖像PSNR提高約3dB，數(shù)據(jù)波動性從0.1減少到0.01，提高了重構(gòu)圖像的質(zhì)量，增強了信號的魯棒性和抗干擾能力。但壓縮感知的重構(gòu)算法普遍采用迭代算法，運行時間長，計算量大，如何減少壓縮感知算法的重構(gòu)時間，有待于進一步的研究。