張心明，王德民，李俊燁，尚春民，胡敬磊

（長春理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，長春 130022）

1 測量轉(zhuǎn)動慣量受空氣阻尼的影響

在討論是否空氣阻尼可以影響測量轉(zhuǎn)動慣量的問題，可通過兩方面研究，假設(shè)，被測物體型心軸到轉(zhuǎn)軸的距離為d，（1）d≠0時，即d=l時，空氣阻尼的大小可影響被測物的迎風(fēng)面積和擺軸長度；（2）d=0時，在空氣阻尼的影響下，被測物的性質(zhì)發(fā)生變化，其與表面的大小和光潔程度影響被測物體繞自身縱軸的轉(zhuǎn)動，此時的空氣阻力極小，在這種情況下也會影響到復(fù)擺托架的擺動[1-4]。在討論時，可以將空氣阻尼簡化為與速度的一次方成比例，即：

其中，c為空氣阻尼系數(shù)，所以，在角度小的情況下，復(fù)擺在方面一含一次空氣阻尼的振動方程為：

式中：c-空氣阻尼系數(shù)；l-型心到轉(zhuǎn)軸的距離

由以上可得：

當(dāng)研究方面二時，設(shè)被測彈體半徑為R，圓柱體長為b，k1為復(fù)擺托架和物體的空氣阻尼系數(shù)，其含一次空氣阻尼的振動方程為：

式中：m0-托架的質(zhì)量，l0-托架質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸的距離。

上式可化為：

上式與（2）式完全一樣，所以方程的解為：

將其對t求一階倒數(shù)得

將初始條件：

代入（3）和（4）式，可解得：

有阻尼時的周期為：

無阻尼振動周期為：

由公式（3）得出相鄰周期的振幅峰值之比為：

由上式知，最大振幅呈幾何級數(shù)衰減，如圖1所示。

圖1 空氣阻尼振幅衰減示意圖

由圖1可知，空氣阻尼不僅使振動周期T發(fā)生改變，振動周期增大了倍，且振幅按級數(shù)衰減，所以轉(zhuǎn)動慣量的測量精度受到空氣阻尼的一定影響，在一些情況下空氣阻尼不可以忽略。

在對轉(zhuǎn)動慣量進(jìn)行測量時，一般情況下是先得到空氣阻尼的值，然后對無阻尼周期進(jìn)行計算，如此進(jìn)行可以知空氣阻尼可以對轉(zhuǎn)動慣量測量值的準(zhǔn)確性產(chǎn)生直接影響[5，6]。

由（4）式可推得：對相距m個周期的振幅比取對數(shù)為：

只要測得振動周期Td和第i和第i+m個周期最大振幅θi和θi+m，就可求得阻尼為：

令m=1,2,3,4,5，……，進(jìn)行多次測量。每次測量，取平均值有：

則n的平均值為：

多次測量的平均值，符合假定的正態(tài)分布，當(dāng)，絕對誤差為：

假定上述關(guān)系式成一次方成正比，在類似于測量阻尼系數(shù)較大的物體等，一些特殊情況下無法滿足，一些文獻(xiàn)已經(jīng)提出阻尼與速度成二次方比例[7，8]，所以在特殊情況下，可以考慮阻尼與速度的二次方或多次方比例。

2 摩擦阻尼對復(fù)擺法測量轉(zhuǎn)動慣量的影響

高精度軸承在工程中普遍使用，在通常情況下這種軸承出現(xiàn)摩擦阻尼時，通常使用扭擺法和復(fù)擺法中，雖然這種摩擦阻尼的值并不是很大，但是其對高精度測量時，其影響是必須要注意到的。摩擦的結(jié)構(gòu)如圖2（a）所示，可簡化為圖b的彈簧阻尼系統(tǒng)[9]。

圖2 摩擦阻尼的結(jié)構(gòu)

軸承的摩擦阻力矩為：

其中：Q-轉(zhuǎn)軸所受的正壓力；f-軸承的摩擦系數(shù)；r-軸承的當(dāng)量半徑。

復(fù)擺法的擺動方程為：

Q-軸承正壓力；f-軸承滾動摩擦系數(shù)；r-軸承的當(dāng)量半徑；l-質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸的距離。

上式可以寫成：

得出齊次通解為：

非齊次特解為：θ2=c3

所以：

所以方程的解為：

可簡化為：

圖3 摩擦阻尼振幅衰減圖

綜上可知，扭擺的振幅只受軸承摩擦阻尼的影響，但不會影響振動周期，摩擦阻尼不會影響轉(zhuǎn)動慣量的測量精度。

3 轉(zhuǎn)動慣量的測量精度受多重阻尼影響

轉(zhuǎn)動慣量的測量，不止一種阻尼對其測量精度產(chǎn)生影響，摩擦阻尼以及空氣阻尼相互耦合，一起對測量系統(tǒng)產(chǎn)生作用，影響最終測量結(jié)果的精度。

在本文中,主要討論的是有限的簡單無向圖。對于實(shí)數(shù)x,令「x?表示不小于x的最小整數(shù);令V(G),E(G),Δ(G)和δ(G)分別表示圖G的頂點(diǎn)集合、邊集合、最大度數(shù)和最小度數(shù),并且簡記為V,E,Δ和δ。設(shè)V(G),則v的度數(shù)d(v)表示的是與v相關(guān)聯(lián)的邊數(shù);對于圖G的面f的度數(shù)d(f),則表示的是面f的邊界所圍繞的邊數(shù),其中每一條割邊計算兩次。本文中考慮的的曲面是緊的,不包含邊界的連通的2-維曲面,并且所有的嵌入都是2-元嵌入。

在使用復(fù)擺法對轉(zhuǎn)動慣量進(jìn)行測量時，空氣阻尼與摩擦阻尼的耦合振動方程如式（16）：

在式（17）中，等式右邊的單項(xiàng)式和速度的方向相關(guān)，因此以半周期進(jìn)行計算時，在第一個半周期計算中，對角度賦予一個初始值θ0，則，方程（17）轉(zhuǎn)變成方程（18）。

式中：θ1-為第一個半周期。

方程（18）的非齊次方程解分為兩部分，分別為所對應(yīng)的齊次方程的通解和非齊次方程的特解，因此方程（18）的其次通解即為：

其解為：

第二個半周期振動方程為：

從而解得：

同理，可得第二個周期的前半周期方程的解為：

同樣的方式可以得到其他的周期的解，然而空氣阻尼n和摩擦系數(shù)f是作為未知量，是通過實(shí)驗(yàn)得到的，因此需要將f和n拆開進(jìn)行考慮，在每個半周期θ的初始值和其終止值的絕對值的差為：

類似的，還可得到第i個半周期的開始值與終止值之差：

通過以上分析可得到，當(dāng)同時有摩擦阻尼和空氣阻尼時，與自由振動相比周期增加、振幅衰減更快、頻率下降。

由于方程中前一個半周期的終止值等于后一個周期的初始值，所以有成立，以為例，則有：

一個完整的波，則可得到：

當(dāng)有m個不重疊的波時有：

上面的幾個公式就是空氣阻尼與摩擦阻尼分開的理論公式，在應(yīng)用時，知道其中一個便可以求出另一個。

通過將式（24）和式（25）相減便可以得到空氣阻尼與摩擦阻尼的實(shí)際測量值：

任何一個完整的從振幅最大時開始的轉(zhuǎn)動周期都滿足，于是有：

測定m個連續(xù)不重疊周期：

兩邊取對數(shù)：

通過進(jìn)行實(shí)驗(yàn)可知，在對θi進(jìn)行多次測量后，可以得到精度比較高的n值，通過公式可以得出空氣阻尼的大小，通過式（29）可以得出摩擦阻尼的大小，綜合兩者的值便可以得到轉(zhuǎn)動慣量的大小。

彈體和托架作為一個整體，已知其總質(zhì)量為3.79kg，總轉(zhuǎn)動慣量 93.4827kg?cm2，最大轉(zhuǎn)角振幅()θi由復(fù)擺法測得：

共4個連續(xù)周期，并測得平均周期Td=1.1462秒，由式（33）求得：

當(dāng)n=3.36×10-4時，通過式（27）得f=1.01×10-3。

空氣阻尼測量誤差分析，將（31）式微分得：

絕對誤差為：

通過式（33）進(jìn)行空氣阻尼的計算，當(dāng)m非常大時，可認(rèn)為θi滿足正態(tài)分布，等式右邊最大振幅測量誤差為零。

于是得到式（36）：

通過上述可知，由上公式可知，周期Td和振幅θi的測量精度是影響計算誤差的大小的重要因素。所以，只有將周期Td和振幅θi的測量精度提升到一定程度，計算才能更精確。通過式（36）可知，振幅θi測量次數(shù)越多，所得空氣阻尼n值越精確，且所得相對精度與Td相對精度相同，足以說明n值是可信的，且與測量精度Td的相對誤差在一個數(shù)量級上。

4 結(jié)論

本文討論與分析了復(fù)擺測量法轉(zhuǎn)動慣量過程中的空氣阻尼和摩擦阻尼，探討其影響復(fù)擺法測量精度。綜上分析可知：復(fù)擺的振動周期受空氣阻尼影響，而摩擦阻尼只影響扭擺的振動幅值而不影響振動周期，摩擦阻尼不影響轉(zhuǎn)動慣量測量精度的準(zhǔn)確性，阻尼對復(fù)擺法測量轉(zhuǎn)動慣量的精度有著重要影響，轉(zhuǎn)動慣量測量精度準(zhǔn)確性的提搞依賴于扭擺振幅及其周期測量的精度，對提高復(fù)擺法測量轉(zhuǎn)動慣量的精度有著重要的理論指導(dǎo)意義和實(shí)用價值。