江西省贛州中學 (341000) 廖志勇 李 斌

在贛州市模考考試中，文理科都有一道很有特征的導數(shù)壓軸題，這類導數(shù)壓軸題都含ex和lnx的復雜結(jié)構(gòu)，本文擬從這類試題出發(fā)，歸納出處理這類試題的求解策略.

試題(2018年贛州市高三一模文科21)

(1)求a,b的值；

(1)求a,b的值；(2)證明：f(x)>1.

分析:這兩個題目，都具有含ex和lnx的復雜結(jié)構(gòu)，從這次考試學生得分的情況分析，很大一部分學生感覺處理復雜，利用整體構(gòu)造函數(shù)求最值，求導復雜繁瑣，難以求根,求解難度很大.那么，這類特征函數(shù)如何處理才能有效解決呢？首先要熟悉高考?？嫉闹匾瘮?shù)的模型：

2.基于x(xn),ex四則運算組合模型.

3.基于x,lnx四則運算組合模型.

下面利用模型函數(shù)來解決這一類導數(shù)問題：

例1 已知函數(shù)f(x)=x2ex-lnx,證明：當x>0時，不等式f(x)>1.

思考：分解函數(shù)時要盡量左凹右凸，最理想的狀態(tài)是分離后函數(shù)的左邊、右邊都有最值.所以可以繼續(xù)變形：

圖1

(2)求a,b的值；(2)證明：f(x)>1.

(1)求a,b的值；

分析：(1)a=b=-1.

例4 (2018年贛州市高三一模理科.21)

設函數(shù)f(x)=a(x-lnx)-xe1-x.

(1)當a=-1時，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)若存在x≥1，使f(x)<1-x2成立，求實數(shù)a的取值范圍.

我們在解決含ex和lnx復雜結(jié)構(gòu)導數(shù)問題，首先要熟悉xn,ex,lnx高考常見函數(shù)模型，明確其圖形變化和最值；其次常常將這種復雜結(jié)構(gòu)進行有效的分解，通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化為常見函數(shù)最值的比較，從而使這類導數(shù)問題形成套路或策略.這類結(jié)構(gòu)關鍵在于分解，分解的策略是盡量使不等式兩邊構(gòu)造的函數(shù)左凹右凸，理想的狀態(tài)是使不等式的證明轉(zhuǎn)化成最值的比較.