邢煦然，賈 鑫，趙宏鐘

(航天工程大學(xué) a.研究生院； b.電子與光學(xué)工程系， 北京 101416)

根據(jù)目標(biāo)特性理論可知,當(dāng)雷達(dá)信號(hào)的波長與目標(biāo)的特征尺寸相當(dāng)?shù)臅r(shí)候，目標(biāo)處于諧振區(qū)，雷達(dá)回波中會(huì)存在諧振現(xiàn)象。與常見的光學(xué)區(qū)雷達(dá)目標(biāo)散射回波不同，雷達(dá)目標(biāo)在諧振區(qū)的最主要特性就是可用極點(diǎn)描述。極點(diǎn)對(duì)目標(biāo)相對(duì)姿態(tài)、雷達(dá)極化方式等不敏感，只與目標(biāo)本身的大小、形狀、材料等因素有關(guān)，不同的目標(biāo)具備不同的極點(diǎn)集[1-5]。因此極點(diǎn)可以克服軌道編目對(duì)變軌目標(biāo)失效的缺陷和光學(xué)區(qū)雷達(dá)成像存在的姿態(tài)敏感性[6]，是一種穩(wěn)健的目標(biāo)識(shí)別途徑，具有巨大的應(yīng)用前景。從雷達(dá)回波中提取出目標(biāo)的極點(diǎn)是使用極點(diǎn)特性進(jìn)行目標(biāo)識(shí)別的前提。

1 奇點(diǎn)展開理論

20世紀(jì)60年代，數(shù)值電磁學(xué)的發(fā)展，尤其是矩量法的提出，使得一些簡單幾何目標(biāo)的瞬態(tài)散射得以計(jì)算。由于當(dāng)時(shí)的計(jì)算目標(biāo)主要是細(xì)導(dǎo)線這一類簡單的目標(biāo)，其散射表現(xiàn)出強(qiáng)烈的諧振特性，使得人們開始研究目標(biāo)的諧振問題。1971年，Baum在研究雷達(dá)回波時(shí)，將雷達(dá)回波的后時(shí)部分用復(fù)衰減指數(shù)和來逼近，在復(fù)頻域上可以用極點(diǎn)和留數(shù)表示[7]。此后，經(jīng)過Marin和Ramm等[8-9]的研究和論證，完善了奇點(diǎn)展開法(the Singularity Expansion Method，SEM)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。SEM作為一種瞬態(tài)電磁響應(yīng)求解的方法被提出，發(fā)展成為諧振區(qū)電磁特性的指導(dǎo)理論，其推導(dǎo)過程本文不做過多討論，只給出其在諧振區(qū)雷達(dá)信號(hào)性質(zhì)上的重要結(jié)論。SEM理論的主要內(nèi)容為：雷達(dá)目標(biāo)的傳遞函數(shù)可以表示為一個(gè)有理函數(shù)和一個(gè)整函數(shù)之和。

(1)

其中，ri為留數(shù)，si為極點(diǎn)，si=σi+ωij，其中σi為衰減因子，ωi為角頻率，M為極點(diǎn)個(gè)數(shù)。其中整函數(shù)部分C(s)對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)時(shí)域上的前時(shí)響應(yīng)，也是受迫響應(yīng)，這一部分描述雷達(dá)目標(biāo)的散射中心特性。有理函數(shù)部分對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的后時(shí)響應(yīng)，也是自然響應(yīng)，這一部分描述雷達(dá)目標(biāo)的極點(diǎn)特性，其時(shí)域?qū)?yīng)復(fù)衰減指數(shù)和信號(hào)。

(2)

簡單導(dǎo)體目標(biāo)的諧振現(xiàn)象可以用爬行波現(xiàn)象解釋，幾何體的特征長度P與電磁波的頻率f的關(guān)系是

(3)

其中m≥1且為整數(shù)。也就是說，波長的整數(shù)倍等于特征長度時(shí)，發(fā)生諧振，在此頻率范圍產(chǎn)生極點(diǎn)。當(dāng)m=1時(shí)，諧振頻率f1是目標(biāo)的基帶諧振頻率；m>1時(shí)，fm稱為諧波頻率[10]。

下面列舉球體的特征長度與極點(diǎn)，以說明它們之間的關(guān)系。假設(shè)半徑為0.5 m的導(dǎo)體球，其極點(diǎn)理論值為[11]

-3.0×108+5.196 0×108i

(4)

2 極點(diǎn)提取的時(shí)域算法研究現(xiàn)狀

SEM揭示了極點(diǎn)對(duì)姿態(tài)不敏感的優(yōu)良特性，使之成為雷達(dá)目標(biāo)識(shí)別研究的熱點(diǎn)。至今為止大部分研究致力于在后時(shí)響應(yīng)信號(hào)中提取極點(diǎn)。

1975年，Blaricum等[12]首次將Prony方法應(yīng)用于時(shí)域回波信號(hào)的極點(diǎn)估計(jì)中，這是最早的極點(diǎn)提取算法。Prony法通過求解多項(xiàng)式的零點(diǎn)獲得極點(diǎn)，其缺點(diǎn)在于沒有區(qū)分前時(shí)響應(yīng)和后時(shí)響應(yīng)，方程病態(tài)問題沒有解決，而且對(duì)噪聲敏感。諸多缺陷導(dǎo)致Prony法不能被廣泛應(yīng)用。之后的學(xué)者對(duì)Prony法做出了多種改進(jìn)以提高其性能。其中比較經(jīng)典的是1982年Kumaresan等[13]提出的SVD-Prony法，也叫KT法，KT法在Prony法的基礎(chǔ)上增加了線性矩陣的維數(shù)，采用后向線性預(yù)測(cè)矩陣，并對(duì)預(yù)測(cè)矩陣做奇異值分解(SVD)，其抗噪能力較原始的Prony法有所提升。在KT法的基礎(chǔ)上，1987年，Rahman等[14]將整體最小二乘技術(shù)運(yùn)用于求解方程的過程中。1997年，Li等[15]使用低秩迭代逼近的方法處理預(yù)測(cè)矩陣，得到了更低的噪聲門限。此后，Lee[16-17]對(duì)Prony法的信號(hào)采樣做了改進(jìn)?？锞V要等[18]提出了基于高階矩的改進(jìn)Prony法，將高階矩的統(tǒng)計(jì)特性與Prony法高分辨性能有機(jī)地結(jié)合起來，其過程包括構(gòu)造一個(gè)擴(kuò)階三階矩矩陣、奇異值分解、確定階數(shù)和求解方程，該算法的有效信噪比達(dá)到-10 dB。然而這些改進(jìn)都沒能克服Prony法本身的病態(tài)問題。

為了克服Prony法的固有缺陷，研究方向轉(zhuǎn)為提升算法本身的精度和抗噪能力。1981年，Jain等[19]提出了函數(shù)束法。與Prony法相比，函數(shù)束法有更強(qiáng)的抗噪能力，其缺陷在于求解過程中存在參數(shù)估計(jì)，會(huì)導(dǎo)致誤差積累，而且計(jì)算精度受濾波器選擇影響。1989年，Hua等[20]在函數(shù)束的基礎(chǔ)上，提出了廣義函數(shù)束法，解決了函數(shù)束法的誤差積累問題，該方法又稱為矩陣束法(Matrix Pencil Method，MPM)。矩陣束法摒棄了多項(xiàng)式方法先求解方程組再計(jì)算高次多項(xiàng)式零點(diǎn)的思路，首先用信號(hào)構(gòu)造Hankel矩陣，然后對(duì)Hankel矩陣奇異值分解，最后構(gòu)造矩陣束求解廣義特征值獲得極點(diǎn)。矩陣束法抗噪性強(qiáng)，運(yùn)算效率高，成為一種廣泛應(yīng)用的極點(diǎn)提取算法。此后Sarkar[21-22]又研究了矩陣束法的束參數(shù)和目標(biāo)極點(diǎn)個(gè)數(shù)的估計(jì)方法，并通過實(shí)驗(yàn)分析完善了矩陣束法。2002年，Sarkar[23]通過對(duì)同一目標(biāo)的多角度數(shù)據(jù)同時(shí)處理獲得了目標(biāo)的極點(diǎn)，這一方法克服了單一角度下矩陣束法因某些留數(shù)過小造成的極點(diǎn)丟失。2008年哈爾濱工業(yè)大學(xué)伍光新[24]提出了改進(jìn)的總體最小二乘矩陣束法。該方法是通過遍歷可能的階數(shù)分別使用矩陣束法求解極點(diǎn)，而后由得到的極點(diǎn)分別重構(gòu)信號(hào)。重構(gòu)信號(hào)與原信號(hào)比較均方誤差，誤差最小者對(duì)應(yīng)的個(gè)數(shù)即為極點(diǎn)個(gè)數(shù)。該方法是一種極點(diǎn)個(gè)數(shù)估計(jì)的可靠準(zhǔn)則，但估計(jì)階數(shù)往往大于真實(shí)極點(diǎn)個(gè)數(shù)。2012年哈爾濱工業(yè)大學(xué)鄧文斌[25]提出了另一種確定極點(diǎn)數(shù)目的算法。他在研究過程中發(fā)現(xiàn)不同階數(shù)時(shí)計(jì)算出的極點(diǎn)中，真實(shí)極點(diǎn)呈現(xiàn)出聚集特性，而虛假極點(diǎn)則隨機(jī)分布。利用這一現(xiàn)象，他通過提取不同極點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)的極點(diǎn)，觀察它們的聚集程度確定極點(diǎn)個(gè)數(shù)。該方法原理簡單，但是存在參數(shù)人為選取的問題，限制了其應(yīng)用。矩陣束法綜合性能強(qiáng)，但也存在問題。首先，矩陣束法對(duì)束參數(shù)和模型階數(shù)敏感[26]，在使用時(shí)獲得參數(shù)的過程往往比算法本身更復(fù)雜，而得到的參數(shù)往往不是最優(yōu)；其次，矩陣束法是整體估計(jì)算法，一個(gè)極點(diǎn)的錯(cuò)誤估計(jì)可能影響到其他極點(diǎn)。

極點(diǎn)估計(jì)的非線性模型算法中，最具代表性的是E脈沖法和迭代法。E脈沖是指一種特殊的雷達(dá)入射波型，當(dāng)它激勵(lì)特定目標(biāo)時(shí)，使目標(biāo)的后時(shí)響應(yīng)為零[27-28]，這一特性使E脈沖成為一種有效的雷達(dá)目標(biāo)識(shí)別方法。使用E脈沖識(shí)別目標(biāo)，首先獲得目標(biāo)極點(diǎn)，然后根據(jù)極點(diǎn)合成E脈沖，最后用E脈沖激勵(lì)目標(biāo)，如果回波的后時(shí)響應(yīng)為零那么就確定了目標(biāo)。在此基礎(chǔ)上，1987年Rothwell[29]提出，在已知目標(biāo)沖擊響應(yīng)的條件下，可以利用E脈沖技術(shù)反求目標(biāo)極點(diǎn)。E脈沖法等價(jià)于對(duì)沖激響應(yīng)進(jìn)行卷積和平滑后再使用廣義Prony法求取極點(diǎn)，因此其噪聲特性優(yōu)于廣義Prony法[30]，但是該方法計(jì)算量大，結(jié)果受時(shí)間參數(shù)影響，因此實(shí)用性價(jià)比不高[26]。迭代法是1985年由Drachman[31]首次提出，迭代法的思路是將極點(diǎn)提取問題轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問題，每次通過優(yōu)化算法估計(jì)目標(biāo)的一對(duì)極點(diǎn)，直到估計(jì)出目標(biāo)的所有極點(diǎn)。通過對(duì)優(yōu)化算法的改進(jìn)已經(jīng)發(fā)展出很多種，已應(yīng)用的優(yōu)化算法包括：進(jìn)化算法[32-33]、下降算法(Gauss-Newton算法、Levenberg-Marquardt算法)[33]、遺傳算法[34]、有理逼近[35-36]等。迭代類算法的優(yōu)勢(shì)在于總是優(yōu)先提取出留數(shù)大的極點(diǎn)，在提取之前不需要估計(jì)極點(diǎn)的個(gè)數(shù)，因此估計(jì)精度不受極點(diǎn)數(shù)目的影響。迭代法的共性特征在于：需要迭代初值；誤差累積；極點(diǎn)多時(shí)運(yùn)算量大[35]。

極點(diǎn)估計(jì)的時(shí)域算法依賴于后時(shí)響應(yīng)信號(hào)的準(zhǔn)確性，由于實(shí)際中不能實(shí)現(xiàn)沖激響應(yīng)激勵(lì)目標(biāo)，所以得到的信號(hào)同時(shí)存在前時(shí)響應(yīng)和后時(shí)相應(yīng)。根據(jù)信號(hào)與系統(tǒng)理論，系統(tǒng)前時(shí)響應(yīng)中受迫響應(yīng)為主但是自然響應(yīng)也同時(shí)存在；實(shí)際上，因?yàn)槟繕?biāo)在入射波方向有長度，后時(shí)開始時(shí)仍有前時(shí)響應(yīng)信號(hào)傳播導(dǎo)致混疊。因此，極點(diǎn)提取的時(shí)域算法都會(huì)存在早晚期響應(yīng)混疊缺陷。歸納已有的幾大類算法，其缺陷如表1所示。

表1 極點(diǎn)提取時(shí)域算法的缺陷

3 極點(diǎn)提取的頻域算法研究現(xiàn)狀

極點(diǎn)提取的頻域算法直接從頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)中獲得目標(biāo)的極點(diǎn)，是極點(diǎn)提取的另一種思路。頻域方法通過采集的頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)，參數(shù)化目標(biāo)的諧振區(qū)傳遞函數(shù)，然后求解傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。最早出現(xiàn)的頻域方法是1977年Moffatt等[37]在研究金屬導(dǎo)線的諧振效應(yīng)時(shí)，通過有理近似的方法從頻域數(shù)據(jù)中獲得了電路系統(tǒng)的極點(diǎn)。這一算法雖然不是雷達(dá)目標(biāo)的極點(diǎn)問題，但數(shù)學(xué)模型十分相似，為后來的雷達(dá)目標(biāo)極點(diǎn)估計(jì)提供了思路[10]。1990年，Kumaresan[36]針對(duì)由頻域響應(yīng)數(shù)據(jù)參數(shù)化傳遞函數(shù)的問題提出了頻域Prony法，這一方法后來被用于極點(diǎn)提取問題中。以上兩種方法都沒有克服極點(diǎn)估計(jì)的病態(tài)問題，因此限制了其應(yīng)用。1994年，Bertocco[38]提出了一種基于頻域插值的衰減正弦信號(hào)分析方法，并對(duì)仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行了算法驗(yàn)證。1996年，焦丹等[35]提出了基于有理逼近的極點(diǎn)提取方法，首先通過樣條擬合去噪，然后在頻域上有理逼近獲得極點(diǎn)。1999年，焦丹[39]又提出了先使用頻域緊支集正交小波基對(duì)信號(hào)去噪，然后再最優(yōu)一致逼近的方法。2004年，Wang等[40]提出了用ARMA模型參數(shù)化傳遞函數(shù)，然后用最小二乘法估計(jì)極點(diǎn)的方法，并對(duì)細(xì)導(dǎo)線進(jìn)行了驗(yàn)證。2007年，Chauveau等[10]使用有理近似法和頻域Prony法對(duì)仿真目標(biāo)進(jìn)行了窄帶頻域數(shù)據(jù)極點(diǎn)提取的仿真實(shí)驗(yàn)，這是已有的唯一一種窄帶條件下的極點(diǎn)提取算法。2008年，伍光新[36]提出了另一種有理逼近的方法，通過正交矢量擬合迭代的方法參數(shù)化傳遞函數(shù)，算法考慮到病態(tài)問題，在簡單目標(biāo)和復(fù)雜目標(biāo)的仿真實(shí)驗(yàn)中都獲得了準(zhǔn)確的結(jié)果，但算法的逼近精度和極點(diǎn)準(zhǔn)確度之間存在矛盾。

極點(diǎn)提取的頻域算法研究相對(duì)時(shí)域算法較少，其原因在于不能避免前時(shí)響應(yīng)在頻域的影響，也無法在算法模型上避開病態(tài)問題。但是極點(diǎn)估計(jì)的頻域算法可以避免時(shí)域算法中的截?cái)鄦栴}、前后時(shí)區(qū)分問題，更重要的是具有從窄帶數(shù)據(jù)中提取極點(diǎn)的能力，是一種非常有前景的極點(diǎn)提取方向。

4 結(jié)論

1) 極點(diǎn)在的優(yōu)良特性使其在目標(biāo)識(shí)別方面有很大的應(yīng)用前景，但是由于苛刻的信噪比和帶寬條件，當(dāng)前僅被應(yīng)用于無源標(biāo)簽[41]和暗室實(shí)驗(yàn)中，繼續(xù)研究和改進(jìn)極點(diǎn)提取方法，具有重大的工程和學(xué)術(shù)價(jià)值。

2) 當(dāng)前，對(duì)于極點(diǎn)提取算法的研究主要集中于簡單幾何目標(biāo)，提取結(jié)果與電磁學(xué)計(jì)算結(jié)果相比較，驗(yàn)證算法性能。但是對(duì)于復(fù)雜目標(biāo)，首先不能直接計(jì)算其極點(diǎn)理論值，無法驗(yàn)證算法提取結(jié)果是否準(zhǔn)確；其次復(fù)雜目標(biāo)的諧振現(xiàn)象復(fù)雜，提取中往往出現(xiàn)大量虛假極點(diǎn)，影響其作為目標(biāo)識(shí)別標(biāo)準(zhǔn)的適用性。研究復(fù)雜目標(biāo)的極點(diǎn)提取算法是將極點(diǎn)應(yīng)用于工程中的前提。

3) 極點(diǎn)提取算法基于超寬帶數(shù)據(jù)，然而大部分現(xiàn)役雷達(dá)不具備超寬帶能力，為了提高極點(diǎn)的工程價(jià)值，研究基于窄帶數(shù)據(jù)的極點(diǎn)提取算法具有重大的工程價(jià)值。

4) 當(dāng)前極點(diǎn)提取算法適用的信噪比極限在-10dB左右，依然遠(yuǎn)高于雷達(dá)設(shè)備的信噪比。繼續(xù)提升極點(diǎn)提取算法的抗噪能力，是將極點(diǎn)識(shí)別應(yīng)用于工程中的另外一個(gè)重要條件。