譚也平，王 健，張 謙

(深圳大學(xué)土木工程學(xué)院,廣東 深圳 518060)

1 引言

索在房屋建筑結(jié)構(gòu)中應(yīng)用的歷史只有六十幾年[1-5], 對于索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的找形問題,已經(jīng)有了廣泛的研究。Schek最先提出了力密度法,用于索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的找形[6]。Linkwitz和Grundig運(yùn)用數(shù)值分析的方法不斷發(fā)展和完善了該原理[7-8]。

索網(wǎng)結(jié)構(gòu)作為二十世紀(jì)七十年代初德國盛行的空間張拉體系,因其結(jié)構(gòu)效率極高而成為最有發(fā)展前景的建筑結(jié)構(gòu)之一。索網(wǎng)結(jié)構(gòu)其結(jié)構(gòu)的空間力學(xué)特性,使得索單元在施加預(yù)應(yīng)力之后才能形成穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)。在無使用荷載狀態(tài)下,結(jié)構(gòu)通過各個索單元的預(yù)應(yīng)力相互作用而處于穩(wěn)定的平衡狀態(tài)?；诮Y(jié)構(gòu)的拓?fù)潢P(guān)系、預(yù)設(shè)的力密度值對每一個節(jié)點(diǎn)建立靜力平衡方程,通過求解平衡方程得到索單元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)。力密度法通過預(yù)設(shè)的力密度值使求解復(fù)雜的幾何非線性問題轉(zhuǎn)化成求解一組簡單的線性方程組,從而避免了坐標(biāo)初始值問題以及其他方法致命的收斂性問題,是求解索網(wǎng)結(jié)構(gòu)找形問題的有效方法[9]。

Matlab是由Math works公司開發(fā)的一套功能強(qiáng)大的數(shù)學(xué)軟件,也是當(dāng)今科工程應(yīng)用最廣泛的計算機(jī)語言之一。高度集成的數(shù)值計算、符號運(yùn)算、計算機(jī)可視化為找形分析提供了便利[10]。完善的科學(xué)計算工具和采用矩陣運(yùn)算的機(jī)制使得Matlab編寫的找形程序比用C++、FORTRAN等傳統(tǒng)語言更為便捷,運(yùn)用稀疏存儲結(jié)構(gòu)存儲非零元素可以有效減少矩陣存儲量,優(yōu)化計算過程,從而可以迅速計算出節(jié)點(diǎn)坐標(biāo),并通過內(nèi)置的數(shù)據(jù)可視化功能輸出索網(wǎng)結(jié)構(gòu)找形圖。

2 力密度法的計算原理

對于索網(wǎng)結(jié)構(gòu)在本文中符合以下假定：

(1) 節(jié)點(diǎn)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是已知的；

(2)各索單元的節(jié)點(diǎn)連接均為鉸接；

(3) 在找形過程中不施加外荷載并且忽略結(jié)構(gòu)自重。

假設(shè)有一個具有m個桿單元,n個節(jié)點(diǎn)的索網(wǎng)結(jié)構(gòu)。 第k個索單元的節(jié)點(diǎn)i和j(i

(1)

其中,索單元k的長度

(2)

假設(shè)Q是力密度矢量q的對角矩陣：

Q=diag(q)

(3)

如果索單元k連接到節(jié)點(diǎn)和,那么拓?fù)渚仃嘋s=[CCf](C和Cf分別為自由節(jié)點(diǎn)和固定節(jié)點(diǎn)的拓?fù)渚仃?的第k行的數(shù)值分別設(shè)為1和-1,除此之外第k行元素等于0。則拓?fù)渚仃嘋s為：

(4)

由拓?fù)渚仃囍懈鞴?jié)點(diǎn)的位置關(guān)系,可以得出索單元相鄰節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)差為：

u=Cx+Cfxf

v=Cy+Cfyf

(5)

w=Cz+Cfzf

其中x、y、z為m維列向量節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)；

其中xf、yf、zf為固定節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)。

根據(jù)力密度的定義,由(1)式可以得到索單元的平衡方程為：

CtUq=px

CtVq=py

(6)

CtWq=pz

其中U、V、W為u、v、w的對角矩陣；px、py、pz為節(jié)點(diǎn)三個方向上的外力；Ct為自由節(jié)點(diǎn)拓?fù)渚仃嚨霓D(zhuǎn)置矩陣。

由矩陣的運(yùn)算性質(zhì)有：

Uq=Qu

Vq=Qv

(7)

Wq=Qw

聯(lián)立(5)(6)(7)可得：

CtQCx+CtQCfxf=px

CtQCy+CtQCfyf=py

(8)

CtQCz+CtQCfzf=pz

由于找形過程中,索網(wǎng)結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)無外荷載,節(jié)點(diǎn)的平衡方程可以表示為：

CtQCx+CtQCfxf=0

CtQCy+CtQCfyf=0

(9)

CtQCz+CtQCfzf=0

令系數(shù)矩陣D=CtQC,常數(shù)矩陣Df=CtQCf,則三個方向的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為：

x=-D-1Dfxf

y=-D-1Dfyf

(10)

z=-D-1Dfzf

由此,只需根據(jù)結(jié)構(gòu)拓?fù)渚仃嚭皖A(yù)設(shè)的力密度值即可得到找形后的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)。

3 程序編制

索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的力密度找形仿真過程就是根據(jù)拓?fù)渚仃?包括固定節(jié)點(diǎn)坐標(biāo))和預(yù)設(shè)的力密度值求解式(10),得到每一個索單元的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)。本文提出了基于稀疏存儲結(jié)構(gòu)(sparse函數(shù))的力密度法的格式,根據(jù)力密度法計算原理編制了索網(wǎng)結(jié)構(gòu)找形的計算程序,計算流程如圖1所示：

圖1 找形流程圖

4 數(shù)值算例

算例1對稱雙曲拋物面是典型的索網(wǎng)結(jié)構(gòu),結(jié)構(gòu)投影圖如圖2所示,結(jié)構(gòu)平面為正方形,相鄰對角線固定點(diǎn)高差為。總節(jié)點(diǎn)數(shù)ns=61,mf=4,自由節(jié)點(diǎn)數(shù)n=57。假設(shè)固定節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)(黑點(diǎn)表示固定節(jié)點(diǎn))分別為：nf1(-5,-5,0,),nf2(5,-5,4),nf2(5,5,0),nf4(-5,5,4)。索單元數(shù)m=120.預(yù)設(shè)的邊界索單元力密度q=100,內(nèi)部索單元力力密度值q=10,輸入結(jié)構(gòu)拓?fù)湫畔?根據(jù)式(10)編制的程序得到結(jié)構(gòu)的找形結(jié)果如圖3所示。

圖2 雙曲面投影圖 圖3 雙曲面找形圖

算例2懸鏈圓環(huán)張拉索網(wǎng)結(jié)構(gòu)如圖4所示,圓環(huán)半徑由內(nèi)到外分別為15m到50m,總節(jié)點(diǎn)數(shù)ns=192,固定節(jié)點(diǎn)數(shù)nf=48,自由節(jié)點(diǎn)數(shù)n=144,桿單元m=528。圓環(huán)內(nèi)外圈固定節(jié)點(diǎn)高差為20m, 預(yù)設(shè)的內(nèi)外邊界索單元力密度值q=100,內(nèi)部索單元力力密度值q=20,輸入結(jié)構(gòu)拓?fù)湫畔?根據(jù)式(10)編制的程序得到結(jié)構(gòu)的找形結(jié)果如圖5所示結(jié)構(gòu)。

圖4 懸鏈圓環(huán)投影圖 圖5 懸鏈圓環(huán)找形圖

算例3體育場看臺頂棚投影圖和固定節(jié)點(diǎn)如圖6所示,該結(jié)構(gòu)平面為32m×8m矩形。其中,總節(jié)點(diǎn)數(shù)ns=301,固定節(jié)點(diǎn)nf=12,自由節(jié)點(diǎn)數(shù)n=289,桿單元m=556。預(yù)設(shè)的上下邊界索單元力密度值q=50 、150,左右邊界索單元和內(nèi)部索單元力力密度值q=10,輸入結(jié)構(gòu)拓?fù)湫畔?根據(jù)式(10)編制的程序得到結(jié)構(gòu)的找形結(jié)果如圖7所示。

圖6 帳篷投影圖 圖7 帳篷找形圖

5 結(jié)語

(1)索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的內(nèi)力特點(diǎn)在設(shè)計時需要進(jìn)行結(jié)構(gòu)找形分析,力密度法原理可以使找形中的非線性問題線性化,是確定索網(wǎng)結(jié)構(gòu)形狀問題的有效方法。

(2)三個算例表明,基于Matlab的稀疏存儲結(jié)構(gòu)可以迅速求解出索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo),其高度的準(zhǔn)確性和便捷性適用于大型索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的找形分析。

(3)對于給定約束條件如特定的索長、索力及邊界約束條件,需要進(jìn)一步研究的問題是通過力密度法找形得出的初始形狀,對其進(jìn)行帶有約束條件的迭代,使得索長、索力滿足設(shè)計要求。