劉聶玚子，周 雄，胡小金

（1.長(zhǎng)安大學(xué) 公路學(xué)院，陜西 西安 710064；2.陜西路橋集團(tuán)路面工程有限公司，陜西 西安 710054）

0 引 言

攪拌器的功能是按設(shè)計(jì)的生產(chǎn)配合比將粗集料、細(xì)集料、結(jié)合料與填料等拌合成均勻的混合料［1］。研究資料表明，混合料的拌合均勻性不僅依賴于攪拌器的結(jié)構(gòu)參數(shù)、運(yùn)動(dòng)參數(shù)，在很大程度上更取決于工藝參數(shù)［2］。劉洪海等研究了拌合過程中集料和礦粉等材料的投料順序與拌合時(shí)間對(duì)成品混合料的影響，通過建立攪拌模型分析了集料顆粒在攪拌器作用下的滾動(dòng)規(guī)律，得出了拌合均勻性與顆粒滾動(dòng)圈數(shù)之間的關(guān)系表達(dá)式［3］；并通過對(duì)攪拌器工作原理和材料的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，建立了拌合均勻性與連續(xù)式攪拌器的結(jié)構(gòu)參數(shù)、使用參數(shù)之間的關(guān)系模型，得出滿足生產(chǎn)質(zhì)量要求的攪拌器有效長(zhǎng)寬比［4］。

為了能夠通過試驗(yàn)準(zhǔn)確地判斷不同工藝和方法對(duì)混合料拌合均勻性產(chǎn)生的效果，試驗(yàn)過程中檢測(cè)數(shù)據(jù)的可靠性越來越受到重視，其中的一項(xiàng)重要內(nèi)容是基于統(tǒng)計(jì)分析技術(shù)的樣本容量確定［5－8］。樣本容量大小關(guān)系到檢測(cè)精度、試驗(yàn)效率和試驗(yàn)成本，需要依據(jù)試驗(yàn)?zāi)康?、誤差要求、經(jīng)費(fèi)情況及可操作性等因素綜合確定［9－10］。一般而言，樣本容量越大，對(duì)總體的代表性越強(qiáng)，抽樣誤差越小，可以獲得較高的精度和可靠度；反之，則難以保證代表性，導(dǎo)致抽樣誤差過大。而且，抽樣成本會(huì)隨著樣本容量增加線性遞增，抽樣誤差的減小速度卻以樣本數(shù)的平方根遞減［11］。因此，基于統(tǒng)計(jì)學(xué)原理確定檢測(cè)數(shù)據(jù)樣本容量大小應(yīng)考慮的主要因素如下［12－13］。

（1）精度要求。允許誤差大小與樣本容量成負(fù)相關(guān)，精度要求高、允許誤差小時(shí)，需要的樣本容量大。

（2）研究對(duì)象的變化程度。研究對(duì)象的變化程度用方差表示，在相同精度要求下，總體方差越大樣本容量也越大。

（3）置信度要求。置信度為統(tǒng)計(jì)學(xué)中的概率保證率，置信度要求越高，需要的樣本容量也越大，通常推薦置信度取95%。

（4）總體大小。研究對(duì)象的總體越大，取樣的樣本容量也應(yīng)越大，但兩者之間并非線性關(guān)系，具有一定的對(duì)數(shù)特征。

由以上分析可見，影響樣本容量的因素較多，本文旨在探討保證檢測(cè)精度的前提下如何提高效率、降低成本，并建立區(qū)間估計(jì)精度與樣本容量之間的關(guān)系模型，提出基于統(tǒng)計(jì)分析技術(shù)的樣本容量確定方法。

1 確定樣本容量的基本方法

1.1 基本概念

設(shè)總體為X，x1、x2、…、xn為一個(gè)由總體中隨機(jī)抽取的容量為n的樣本。建立統(tǒng)計(jì)量Z1、Z2（Z1≤Z2）和顯著性水平α；對(duì)于待估參數(shù)Z，若P（Z1＜Z＜Z2）＝1－α成立，則（Z1，Z2）為參數(shù)Z在1－α置信水平下的置信區(qū)間。Z1與Z2的區(qū)間長(zhǎng)度稱為區(qū)間估計(jì)精度，可用2Δ表示，則Δ＝（Z1－Z2）／2。

1.2 建立區(qū)間估計(jì)表達(dá)式

依據(jù)區(qū)間估計(jì)理論，可以將區(qū)間估計(jì)分為總體方差已知和總體方差未知2種情況進(jìn)行討論。對(duì)于總體方差已知的情況，在總體服從正態(tài)分布時(shí)，總體平均值的區(qū)間估計(jì)如下：由于總體服從正態(tài)分布X～N（μ，σ2），從總體中簡(jiǎn)單隨機(jī)抽出的樣本（x1，x2，…，xn）也服從正態(tài)分布，令為μ的無偏估計(jì)，則統(tǒng)計(jì)量根據(jù)顯著性水平α，由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表查得雙側(cè)臨界值Zα／2，于是可得置信區(qū)間和區(qū)間估計(jì)精度，即

對(duì)于總體方差未知的情況，若總體服從正態(tài)分布，由總體中簡(jiǎn)單隨機(jī)抽出的樣本也服從正態(tài)分布，用樣本方差s2估計(jì)總體方差σ2，此時(shí)統(tǒng)計(jì)量T＝根據(jù)顯著性水平α，由t分布表查得雙側(cè)臨界值t1－α／2（n－1），于是可得置信區(qū)間和區(qū)間估計(jì)精度，即

對(duì)于非正態(tài)總體的情況，若隨機(jī)取得的樣本較小，則樣本均值的抽樣分布特點(diǎn)也是非正態(tài)的，無法按上面的公式進(jìn)行區(qū)間估計(jì)；若隨機(jī)取得的樣本較大，根據(jù)中心極限定理，樣本均值的分布趨于正態(tài)分布，可以用上式進(jìn)行區(qū)間估計(jì)。

2 樣本容量的確定方法

查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，可得不同樣本容量下的Zα／2值，應(yīng)用MATLAB軟件可得到n與區(qū)間估計(jì)精度的關(guān)系曲線，如圖1所示。

由圖1中曲線的走勢(shì)可以看出：在n≤3時(shí)，曲線很陡，變化速度很快；在3＜n≤5時(shí)，曲線由陡逐漸變緩；當(dāng)5＜n≤10時(shí)，曲線變化速度變得平緩；當(dāng)n＞10時(shí)，曲線的變化已很小。由以上曲線的走勢(shì)可以得出結(jié)論：如果對(duì)測(cè)量取樣誤差未作具體規(guī)定，可采用簡(jiǎn)單隨機(jī)取樣的方法得到3～5個(gè)試樣（不應(yīng)

由式（1）～（4）可知，無論正態(tài)分布總體的標(biāo)準(zhǔn)差是已知還是未知，其區(qū)間估計(jì)精度都與樣本容量有關(guān)，增加樣本容量可以減小估計(jì)誤差，提高估計(jì)精度，其影響與容量數(shù)的平方根成反比。由式（2）可推得總體方差已知時(shí)一定置信水平下滿足區(qū)間估計(jì)精度的樣本容量表達(dá)式。少于3個(gè)，不宜大于5個(gè)），取其均值去估計(jì)總體平均值，該方法效率高且誤差?。划?dāng)對(duì)取樣規(guī)定了區(qū)間估計(jì)精度時(shí)，可根據(jù)式（5）計(jì)算滿足精度要求的樣本容量。在工程實(shí)際中，總體方差往往未知，因此在一定的置信度水平下，滿足區(qū)間估計(jì)精度的樣本容量表達(dá)式為

圖1 樣本容量與區(qū)間估計(jì)精度之間的關(guān)系

式（6）中的臨界值與n有關(guān)，隨著n增大，臨界值在減小。由t分布臨界值表可知，在置信度為95%時(shí)，當(dāng)n＞25，t的臨界值均為2；當(dāng)n＜25時(shí)，可根據(jù)s和Δ應(yīng)用“試差法”確定樣本容量。具體方法為：由式（6）計(jì)算得到樣本容量n值，并以此n值查t分布臨界值t1－α／2（n－1），將新臨界值代入式（6）中得到新n值，如此往復(fù)，直到式中兩邊的n值相差較小時(shí)確定n值，即最小樣本容量。也可用簡(jiǎn)便的方法確定n值，由Z1－α／2代替公式中的t1－α／2（n－1）計(jì)算得到n，當(dāng)采用90%置信水平（Z0.95＝1.645）時(shí)，將計(jì)算得到的n加2；當(dāng)采用95%置信水平（Z0.975＝1.96）時(shí)，將計(jì)算得到的n加2或3，四舍五入后取整可得最小樣本容量。

3 確定最小樣本容量的試驗(yàn)研究

水泥穩(wěn)定混合料生產(chǎn)過程中，采用EDTA滴定法檢測(cè)水泥劑量，并以滴定結(jié)果指導(dǎo)攪拌設(shè)備的調(diào)試和生產(chǎn)，判斷混合料的拌合均勻性。由于受到許多偶然因素的影響，這些參數(shù)都是隨機(jī)變量，取樣數(shù)量的多少關(guān)系到檢測(cè)精度、試驗(yàn)效率和試驗(yàn)成本。取樣越多，對(duì)總體的代表性越強(qiáng)，可以獲得較高的精度和可靠度，但試驗(yàn)效率降低，試驗(yàn)成本增加；反之，則代表性較差，導(dǎo)致誤差過大。抽樣檢驗(yàn)時(shí)，為了滿足一定的誤差要求，需要確定樣本容量大小。目前工程部門多采用取2個(gè)試樣平行試驗(yàn)的方法進(jìn)行，但是這種方法并未充分考慮樣本分布特征。根據(jù)本文理論分析，較好的方法是依據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)原理，采用試驗(yàn)的方法確定滿足試驗(yàn)精度要求的取樣最小樣本數(shù)量［14］。

根據(jù)上述方法，在實(shí)體工程進(jìn)行水穩(wěn)混合料的水泥EDTA滴定試驗(yàn)，對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析計(jì)算。

3.1 試驗(yàn)用材料

粗細(xì)集料為吉奎石料廠生產(chǎn)的碎石，表觀密度為2.967g·cm－3，壓碎值為11%；水泥為英金河水泥廠生產(chǎn)的P·O32.5緩凝普通硅酸鹽水泥，初凝時(shí)間為245min，終凝時(shí)間為410min，安定性等各項(xiàng)指標(biāo)符合標(biāo)準(zhǔn)要求。

3.2 繪制標(biāo)定曲線

在最佳含水量6%下，分別制備水泥劑量為2%、4%、6%的混合料，級(jí)配如圖2和表1所示，采用EDTA滴定法，確定EDTA消耗量，試驗(yàn)結(jié)果見表2。

圖2 混合料級(jí)配

以水泥劑量為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的EDTA消耗量為縱坐標(biāo)，繪制標(biāo)定曲線，見圖3。

3.3 試驗(yàn)結(jié)果及分析

水泥穩(wěn)定土攪拌設(shè)備的水泥劑量設(shè)定值為4.0%，為了獲得試驗(yàn)分布標(biāo)準(zhǔn)差，簡(jiǎn)單隨機(jī)取樣15份進(jìn)行滴定，結(jié)果如表3所示。由表3可得S＝0.14%，X－＝3.96%，若允許滴定誤差為0.20%，則在95%置信度下，最小樣本容量為式（5）計(jì)算結(jié)果加2，即n≈4；若允許滴定誤差為0.25%，則在95%置信度下，經(jīng)計(jì)算最小樣本容量取3；若滴定允許誤差未規(guī)定，則取樣數(shù)量不宜低于3個(gè)，求其均值作為試驗(yàn)結(jié)果，則試驗(yàn)誤差小、效率高、成本低。

表1 試驗(yàn)所用級(jí)配及范圍要求

表2 水泥劑量與EDTA消耗量

圖3 標(biāo)定曲線

表3 水泥穩(wěn)定土攪拌設(shè)備生產(chǎn)混合料的水泥計(jì)量滴定結(jié)果

4 結(jié) 語

為了能夠準(zhǔn)確判斷混合料的水泥劑量，試驗(yàn)過程中需要基于統(tǒng)計(jì)分析技術(shù)確定樣本容量。在保證試驗(yàn)精度的前提下，提高試驗(yàn)效率，降低試驗(yàn)成本。通過對(duì)總體方差已知、總體方差未知2種情況下總體正態(tài)分布和總體非正態(tài)分布的研究，建立了區(qū)間估計(jì)精度與樣本容量之間的關(guān)系模型，并提出確定樣本容量的方法。

采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣進(jìn)行參數(shù)檢測(cè)時(shí)，無論總體標(biāo)準(zhǔn)差已知還是未知，區(qū)間估計(jì)精度都與樣本容量的平方根成反比。可以根據(jù)顯著性水平和估計(jì)精度要求確定樣本容量，避免樣本過多導(dǎo)致成本增加或樣本過少降低估計(jì)精度；顯著性水平和估計(jì)精度要求越高，樣本容量越大；對(duì)于未規(guī)定估計(jì)精度要求的試驗(yàn)，樣本容量宜取3～5個(gè)，不應(yīng)少于3個(gè)，取平均值作為試驗(yàn)結(jié)果可提高試驗(yàn)精度、減小試驗(yàn)誤差、降低試驗(yàn)成本。

本文基于區(qū)間估計(jì)精度與樣本容量之間的關(guān)系模型，主要進(jìn)行了水泥穩(wěn)定土攪拌設(shè)備的水泥劑量滴定試驗(yàn)研究，對(duì)于其他類似試驗(yàn)，由于試驗(yàn)要求、試驗(yàn)條件、試驗(yàn)儀器及試驗(yàn)方法等因素存在差異，其樣本容量有待進(jìn)一步研究。