檀富娥

摘 要：三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式由于種類繁多，而且應(yīng)用起來常常是結(jié)合起來綜合考察，所以學(xué)生學(xué)習(xí)起來很容易出錯。本文將摒棄公式的記憶和應(yīng)用，結(jié)合日常的教學(xué)反思和推理論證，給出誘導(dǎo)公式"兩步法"，即只需利用兩個步驟解決問題。

關(guān)鍵詞：象限角符號；相關(guān)銳角

一、前言

三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式是高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)部分的重要公式，目的是為了求任意角的三角函數(shù)值，其作用是將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)。但由于誘導(dǎo)公式繁且多，在學(xué)習(xí)的過程中不僅記憶公式比較容易混淆，而且應(yīng)用起來更是各種公式結(jié)合應(yīng)用，增加難度。

二、兩步法探索。我們來看看下列幾組常用誘導(dǎo)公式：見圖1-1。

認(rèn)真觀察誘導(dǎo)公式我們發(fā)現(xiàn)，前四組公式主要是符號的變化，角度是沒有變的，第一組 ，第二組 ，第三組α與 –α，第四組 ，化簡的角度都還是α的三角函數(shù)，不過符號可能有變化。而最后一組公式中 及 與 則增加了一個變化就是名稱對應(yīng)變了。所以我們歸納誘導(dǎo)公式的化簡就完成兩點就夠了，第一是符號，第二是角，這個角只能是銳角，最后將兩步結(jié)合就得到最終的結(jié)果。下面對此“兩步法”進(jìn)行闡述：

第一步：找象限，定符號

這一步驟我們可以解決三角函數(shù)的符號問題。我們求任意一個角的三角函數(shù)，那么角的象限已經(jīng)固定下來了，因此我們可以通過尋找任意角的終邊相同的角，將角的終邊所在象限找到，那么最后的符號就決定了，我們可以叫它終極符號，不管中間經(jīng)過多少次轉(zhuǎn)化，這就是這個三角函數(shù)最后的符號，而且是唯一正確的符號。

比如，求sin（-390°），與-390°終邊相同的角可以通過運算-390°+360°=-30°，是第四象限角，由三角函數(shù)在各象限的符號口訣我們可以知道，終極符號為負(fù)。常見的符號判斷口訣第一種是：“一全正；二正弦；三正切；四余弦”。這十二字口訣的意思就是說：第一象限內(nèi)任何一個角的四種三角函數(shù)值都是“+”；第二象限內(nèi)只有正弦是“+”，其余全是“-”；第三象限內(nèi)只有正切和余切是“+”，其余全部是“-”；第四象限內(nèi)只有余弦是“+”，其余全部是“-”。還有一種是“ASCT”反Z。需要說明的是，在這些關(guān)于象限角符號的記憶法中，忽略了另外的三個三角函數(shù)cot，sec，csc ，這是因為這三個三角函數(shù)都是正弦，余弦，正切的倒數(shù)，跟這些三角函數(shù)的符號是一致的。

第二步：巧作差，找銳角

這一步我們來解決角的問題。由三角函數(shù)的定義，我們知道三角函數(shù)的值取決于角的終邊上的點的坐標(biāo)，假設(shè)角α為銳角，終邊上的一點的坐標(biāo)為P（x，y）。（如圖1-2）

根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義，我們知道終邊位于第一象限的角，即過點P（x，y），它的三角函數(shù)值就是銳角 的三角函數(shù)值， 由于對稱的關(guān)系，上述不管哪個象限的角均與銳角α有關(guān)系，且他們的三角函數(shù)值除了符號正負(fù)不同，大小都與銳角α的三角函數(shù)相同，由于終極符號的問題我們在第一個問題中已經(jīng)解決，所以現(xiàn)在只剩下大小的問題，不管角位于哪個象限，我們只需要找到這個與之相關(guān)的銳角α就可以了，我把它叫做相關(guān)銳角。通過上圖，我們看到這個相關(guān)銳角α都是出現(xiàn)在x軸上下，也就是大小與180°或0°或360°相差的銳角，所以這個相關(guān)銳角α可以通過借用第一步的那個終邊相同的角與180°或0°或360°比較所得的差值得到，且這個差值必須是銳角。

比如，求sin（-390°），在第一步我們找到的終邊相同的角是-30°，與0°相比，差值是30°，則sin（-390°）最后的值與sin30°的值大小相同。結(jié)合以上兩步，第一步符號為負(fù)，第二步，大小為 sin30°，則 sin（-390°）最后的化簡結(jié)果為-sin30°。我們再將上述這兩個步驟結(jié)合應(yīng)用一下，再比如計算cos945°第一步：找象限，定符號。945°-360°*2=225°，則與945°邊相同的角在第三象限，它的余弦值為“-”；第二步：找相關(guān)銳角。225°的這個角位于第三象限，在180°的下方，與180°相差的銳角是45°，則最終值的大小是cos45°；第三步：綜合前兩步。cos945°=-cos45°= 。在實際的教學(xué)中，如果遇到用弧度角表示的三角函數(shù)的計算，可以用弧度角的相關(guān)判斷來表示，也可以先將弧度角轉(zhuǎn)化成角度角表示，然后再進(jìn)行計算。

三、“兩步法”運用舉例

現(xiàn)在，我們用這樣的兩個步驟來驗證上述的幾組誘導(dǎo)公式，將α看成銳角，這個就直接解決了我們上述方法的第二步，有關(guān)銳角大小的問題，我們只要看看符號，見圖1-3.

我們通過象限符號和相關(guān)銳角的兩個步驟得出的公式與常用的誘導(dǎo)公式是一致的。那么在日常的學(xué)習(xí)中，我們可以采用這種思考的方式來完成練習(xí)。比如：化簡tan（3π-α）。第一步：找象限，定符號。（3π-α）-2π=π-α，位于第二象限，正切值為負(fù)；第二步，相關(guān)銳角就是α，則最終的化簡結(jié)果為tan（3π-α）= -tanα。

最后，我們看看第五組誘導(dǎo)公式， 及 ，由觀察我們得知，這組公式用的相比較的角是y軸上的角，除了名稱要相應(yīng)改變，即sin→cos；cos→sin；tan→cot，cot→tan.，在符號和角的大小上面沒有什么不同。由此我們得知，在誘導(dǎo)公式的化簡中，終極符號可以通過象限確定后，在相關(guān)銳角的選擇上，如果用的是x軸上的角（比如（180°，0°，360°，）來比較差值，則名稱不用改變，如果用y軸上的角（比如90°，270°）來比較則需要將三角函數(shù)的名稱做改變。

面對基礎(chǔ)較差的中職學(xué)校學(xué)生，在教學(xué)中更要注重化繁為簡，化難為易。本文所探討“兩步法”是有關(guān)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式最簡單和初步的應(yīng)用，對于中職學(xué)校的學(xué)生而言，經(jīng)過總結(jié)之后的方法容易入手，運用簡單，方便掌握。教無定法，貴在得法。在教學(xué)中，用心發(fā)現(xiàn)，用心歸納，用心總結(jié)，這是一名教師應(yīng)該具備的能力。