劉創(chuàng)業(yè)，代晉軍，徐章韜，彭雙階

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教育數學在行動：“一線串”思想在大學數學教學中的應用

劉創(chuàng)業(yè)，代晉軍，徐章韜，彭雙階

（華中師范大學 數學與統(tǒng)計學學院，湖北 武漢 430079）

通過一系列具體的案例，在大學數學課堂教學落實“一線串”思想，打通分析、幾何、代數之間的關聯(lián)．這種做法有效地發(fā)展了師范生的專業(yè)知識和能力．把這種具體的做法上升為一種機制，就需要大力發(fā)展大學數學教育研究，拓展數學教育的研究領域，促進數學教育的學科發(fā)展．

大學數學教學；教育數學；師范生

1 引言

“理解數學，理解學生，理解教學”是教好數學的重要前提[1]．各種關于教師知識的研究都指出，在職教師或師范生并沒有很好地理解數學，導致了他們的教學知識水平不盡如人意[2-3]．那么，在大學數學課堂上，究竟應該教什么才能為切實提高未來教師駕馭課堂教學的能力而提供良好的基礎？這是一個根本性的問題．把握數學本質是一切教學法的根，一線教師最欠缺的正是對數學學科本質的把握[4]．不僅要關注怎么教，更要關注教什么．教學內容確定了，然后在此基礎上選擇合適的教學方法，內容與形式辯證統(tǒng)一，才能提高教學效率．從課程結構上看，分析、代數、幾何是大學數學的三大主干課程，分析的課堂上只講分析，代數的課堂上只講代數，幾何的課堂全是幾何，學科間交叉融合的理念與具體做法完全不見，不能算作是高水平的課堂教學，其教育價值極其有限．如，在分析的課堂能精彩地講述分析的精神固然是好，但若同時能帶點代數、幾何的風味，這就不是一種扁平式的教學了．雖然學生學習了不同的課程，但有時難于將它們打通，教師有責任幫助學生把所學知識融會貫通，比較各種觀點之間的高下差別，發(fā)展他們對數學的理解．這是大學數學教育的使命所在．“一線串”是教育數學處理課程的一種卓有成效的做法，應用這種思想，在大學數學課堂教學中應把分析、代數、幾何的思想和方法有機地串聯(lián)起來，為提高師范生的學科知識打下堅實的基礎．采擷課堂教學中曾經用到的具體的案例以闡述這種做法，并闡釋其教育意義．

2 案例

大學數學與初等數學之間的差別十分明顯，若能讓師范生看到初等數學的走向及大學數學的根源所在，關聯(lián)縱橫，將十分有助于師范生對數學的理解．

初等數學課程中加入向量是課程改革成功的一筆，向量還有很多教育價值．向量是連接代數、幾何的一座橋梁，以向量為切入點，可以溝通初、高等數學，還能把分析、代數、幾何的思想一線串通．

案例1 看到知識的發(fā)展性：從向量消元法到逆矩陣法解方程

初學線性代數的師范生，不明白為何矩陣就成了線性代數中最重要的工具和概念了，更不用說形成一種直觀，這從根本上影響了他們對線性代數的學習．

（*）式其實還是平面向量基本定理，對二維平面內的一個向量，總可以表示成兩個基向量的線性組合．由此，一般的矩陣方程揭示的幾何意義是對給定維數的空間中的任一向量，能否表示成基向量的線性組合．

這樣處理，從初中經高中到大學，師范生看到的是數學的內在連貫性以及認識視角的變遷．這些正是數學學科發(fā)展的根本動力所在．

案例2 把基本工具用得嫻熟：阿貝爾變換公式

行列式、矩陣是線性代數的基本工具，應用得十分嫻熟，得心應手．

張景中院士曾對數學分析中的阿貝爾變換公式做過十分精彩的講解．阿貝爾變換公式是：

這個公式其實是一個“面積”公式．考察時的特例，如圖1所示．

行列式是面積、體積的推廣，可從行列式、矩陣等角度對其重新認識．

行列式方法：

把（*），（**）和（***）豎著加起來就有：

也可從矩陣跡的角度考慮．

應從研究工具的高度認識行列式、矩陣，而不應該把它們當作一個純粹的知識．

案例3 直觀地認識基本工具：微分中值定理

看到行列式的幾何原型是面積，看到面積、體積的發(fā)展是測度，對于教學來說是一件意味深長的事．

案例4 兩大基本工具的融合：極限與矩陣

沒有矩陣就沒有代數，沒有極限，就沒有分析．

特征多項式是刻畫矩陣性質的重要工具，同時也是分析中的重要研究對象．圍繞特征多項式可以溝通代數與分析．

可以用代數的方法證明．

也可用分析的方法證明．

如果用非奇異矩陣來逼近奇異矩陣，就能用分析的方法處理代數問題了．

極限與矩陣當作基本語言來學習，并要能看到它們之間的內在聯(lián)系．

案例5 看到多樣性：從配方法到二次型

把一個具體的二次型化成平方和的方法，就是“配方法”．有關二次型的問題，可以處理出多種風味來．

用多種方法處理同一問題，看到的是各種工具的效力，發(fā)展的是數學的眼光．對師范生而言，這種數學上的眼光更具有教育價值．

案例6 看到思想遷移性：從投影到特征向量

矩陣既可以看作是一個線性變換，也可以認為是一個空間．若看作是一個線性變換，就要研究哪些向量在矩陣的作用下是不變的，這就是線性變換矩陣的特征向量；如果把矩陣看作空間就要探查空間的性質．如同通過投影、二視圖和三視圖之類的方法來認識空間物體一樣，在認識矩陣空間的性質時，也要把矩陣投影到某一向量上去，通過這個向量來認識矩陣空間的性質．這些問題都引發(fā)對特征向量的研究．

如，師范生對等差、等比數列都很熟悉，供助上述認識重新處理等差、等比數列，就會對矩陣的思想想法更加了解．

師范生在學習這個知識點時，很難弄清楚其研究動機，自然就不知道其應用價值．通過和已有知識的關聯(lián)，師范生看到了認識方式、思想的巨大威力．

案例7 看到復雜背后的簡單：從向量點乘到施密特正交化

兩向量正交就是兩個向量互相垂直，其內積為零．只有兩個以上的向量才談得上正交．正交化的過程，可以看作是一組向量正交分解的過程．

這個案例揭示了數學的簡單之美、疊加之威．在學習方法上的啟示上，從簡單出發(fā)，從特例出發(fā)，以簡馭繁．

案例8 挖掘基礎課的潛在教育價值：向量矢量積

經過這樣處理，通過三階行列式看到混合積的幾何意義是體積；混合積是對偶思想的運用，為了分析矢量積，引入它的線性泛函．齊民友先生曾言，基礎課是通向數學主流的門戶[5]．在林群院士眼中，泛函空間與平面幾何空間無異．沒有理由不重視基礎課的教學．

案例9 直觀和運算

沒有直觀，看不遠；沒有運算，走不到．直觀是一種洞見，運算不止于能力，更是一種計算思維．

格林公式：

斯托克斯公式：

僅示意性地說明一個．

奧高公式：

事實上這些都可統(tǒng)一成Stokes公式．這里的處理法有點類似于外微分的做法．秉持這個基本想法，也很容易得到復變函數解析的柯西—黎曼方程．

學習數學，要理解公式背后的含義，做到正逆推導自如，公式定理就像長在自己的心田里，就算學通了．通過這組重要積分公式的示意性地推導，初步領略了數學內在的和諧性．

案例10 看到確定性數學和隨機性數學之間的關聯(lián)：線性回歸方程的推導

線性代數的方法：

確定性數學和隨機性數學是數學的兩大分枝．在學習時，千萬不能思維固化，認為兩者之間是風馬牛不相及，架兩者的溝通的之橋，看到的是關聯(lián)，是內在和諧性．這會觸及師范生數學觀念的變化．

3 分析與討論

在課堂教學實踐中，踐行“分析—代數—幾何”課程“一線串通”的想法，受到了師范生的歡迎．很多師范生反映，這些做法開闊了他們的眼界，原來大學數學也可以這樣來學習．在“雙一流”背景下，師范院校該如何培養(yǎng)未來教師，夯實他們的專業(yè)基礎，引發(fā)了研究者的思考．師德是教師培養(yǎng)之本，專業(yè)知識是基礎，教育教學能力是關鍵．師德培養(yǎng)是個綜合、系統(tǒng)工程，要不斷地探索；下面的討論著重于專業(yè)知識和教育教學能力的培養(yǎng)．

在“雙一流”背景下，數學教育應當更有作為．在“雙一流”背景下，數學教育應參與到一流數學學科的建設中去．數學教育研究不但要在研究方法上進行創(chuàng)新，采用大數據的方法進行量化研究，得出基于數據的結論；也要在研究領域上進行拓展，大力開展大學數學教育研究，改變數學教育研究隊伍方向的結構構成，拓展數學教育的研究內容．大學數學教育方向的興起，能團結更多的專業(yè)數學家參與到數學教育研究中來，進一步提升數學教育的專業(yè)性、學術性．事實上，凡是做得好的數學大家，都是十分支持數學教育發(fā)展的．大學數學教育研究與大學數學教學緊密相關，與高校數學教師的本職工作息息相關，定能吸引更多的高校教師參與到數學教育研究中來，改變數學教育研究隊伍的結構構成，豐富數學教育的研究內涵．數學教育與數學學科緊密關聯(lián)之后，能借力數學一流學科建設之勢，與時俱進，獲得新發(fā)展．

大力開展大學數學教育研究，幫助數學師范生打好扎實的專業(yè)知識基礎，明確職前數學教師教育的使命．優(yōu)秀教師固然是在長期的課堂教學中打磨而成，但作為底層長期支持的學科素養(yǎng)卻是在大學課堂中獲得的．職前教師教育和職后教師教育應各有側重點．有人期望師范院校剛畢業(yè)的師范生，一上講臺就能揮灑自如，然而這并不是實然狀況，于是人們就大力指責職前教師教育存在諸多不足，提出要加強師范的實踐技能訓練．受這種思維方式的影響，不少學校在招聘師范生時，就要求師范生首先會解一套高考試題，能講好一堂課．這當然不過分．受這種招聘模式的影響，不少師范生不安心學習數學專業(yè)課程、教育教學理論課程，成天“刷題”，盲目實踐，這固然能提高應聘的成功率，但影響了師范生的可持續(xù)長遠發(fā)展．由于諸多原因，師范生的學習動力不足，專業(yè)知識學得零零碎碎，這從根本上影響了教師的專業(yè)發(fā)展．所以非常有必要強調師范院校的“師范性”，讓師范生受到數學的思想、方法和思維方式的訓練．很難想象，一個從沒有享受過、欣賞過數學內在和諧性的師范生能在以后的工作崗位上，把數學講得條理清晰、平易近人．在大學課堂教學中，應講推動知識產生的問題，解決問題過程中的種種艱難抉擇，講知識背后的思想，講知識間的內在關聯(lián)，讓師范生練好“內功”．練好“內功”之后，解題不過是一種拳腳末技而矣．師范院校的“師范性”不僅應體現(xiàn)在其有強大的學科教育，還應體現(xiàn)在其專業(yè)課程的講授也是有教育取向的，為培養(yǎng)師范生而服務的．這種“師范性”與“學術性”相矛盾，高校教師一樣地可以在各自的研究領域發(fā)表“高大上”的研究作品．其實，“師范性”與“學術性”并不矛盾，關鍵是學科評價機制．

大學數學教育研究方向的興起，是教育學深入學科的體現(xiàn)．教育學、心理學都十分關心學科教育，但教育學、心理學與學科的整合一直是難事，一直都沒有做好．在這種背景之下，學科教育的處境十分尷尬．在教育學、心理學看來，學科教育學術性不強；在數學看來，學科教育學科性不強．為了迎合教育學、心理學的學術標準，去學科的學科教育產生了；但同時也引發(fā)了另外的問題，學科教育本來以應用為取向，學科性的喪失意味著對實踐指導乏力．鑒于種種情況，張景中院士率先提出“信息技術要深入學科”，極大地推動了基礎教育的信息化進程，也引發(fā)了學界的認同，姚姿如等基于對西方教育信息技術知識研究的回溯，指出要將普適化的教育技術知識改造為關注具體學科內容和教學方法的“學科化”的教育信息技術知識[6]．與此類似，教育數學則主張要在吃透學科本質的基礎上產生教育教學上的見解．教育數學在中小學實踐中，特別是在初中，取得了極大的成功[7-8]．隨著內容復雜度的提升，把內容當作一個可以忽略變量的研究范式日益受到質詢，深入學科的主張正在引起人們的注意，不少教育學的期刊現(xiàn)在也愿意刊發(fā)這方面的作品了[9]．學科教育與學科真正融為一體之后，數學教育成為數學的二級學科，不再是名義上的事了，而是順理成章．這將極大地促進數學教育的學科發(fā)展．

4 結語

師范大學是培養(yǎng)教師的源頭，源頭水清了，教師專業(yè)的可持續(xù)發(fā)展就有了堅實的基礎．上面僅僅講述了如何在大學數學教育中夯實師范生的專業(yè)知識和能力，如何用學科特有的魅力、數學家的人格風范來塑造師范生的德行、個性品質卻需要進一步的探索．

[1] 章建躍．理解數學是教好數學的前提[J]．數學通報，2015，54（1）：61-63．

[2] 柳笛．美國數學教師學科內容知識的研究述評[J]．數學教育學報，2010，19（6）：74-78．

[3] 劉琳娜．把數學學科本質實現(xiàn)高效課堂教學[J]．數學教育學報，2015，24（5）：71-73．

[4] 劉加霞．把握數學本質是一切教學法的根[J]．小學教學（數學版），2007（8）：48-49．

[5] 齊民友．數學基礎課是通向數學主流的門戶[J]．高等數學研究，2009（12）：7-13．

[6] 姚姿如，王以寧．教育技術知識的學科化研究[J]．課程·教材·教法，2013，33（12）：106-110．

[7] 朱華偉，徐章韜．教育數學：緣起、旨趣、現(xiàn)狀和意蘊[J]．數學教育學報，2015，24（4）：30-32．

[8] 朱華偉，徐章韜．教育數學的行動：尋找初中數學課程的焦點[J]．課程·教材·教法，2016，36（9）：58-62．

[9] 徐章韜．指向深度學習：根植學科的數學學習理論[J]．中國教育學刊，2017（7）：48-52．

Educational Mathematics in Action: the Application “A Line Linkage” in the University Mathematics Teaching

LIU Chuang-ye, DAI Jin-jun, XU Zhang-tao, PENG Shuang-jie

(College of Mathematics and Statistics, Central China Normal University, Hubei Wuhai 430079, China)

By a series of specific cases, the idea of “a line linkage” was put into classroom teaching, bridging the relations among mathematics analysis, advanced algebra and geometry. This approach effectively developed the students’ professional knowledge and ability. The specific practices was leveled to a mechanism as if the university mathematics education research was fully developed. The research field of mathematics education was expanded and the development of the discipline of mathematics education was promoted.

university mathematics teaching; educational mathematics; pre-service teacher

[責任編校：周學智]

2018–03–19

華中師范大學教學研究項目——教育信息化條件下大學公共數學教學的綜合改革（201635）

劉創(chuàng)業(yè)（1981—），男，湖南衡陽人，博士，主要從事偏微分方程的研究和教學．彭雙階為本文通訊作者．

G642.0

A

1004–9894（2018）04–0082–06

劉創(chuàng)業(yè)，代晉軍，徐章韜，等．教育數學在行動：“一線串”思想在大學數學教學中的應用[J]．數學教育學報，2018，27（4）：82-87．