丁衛(wèi)東

(江蘇省如皋中學(xué),江蘇 如皋 226500)

1 緣起

人教社高中《物理》必修1中,有“探究物體加速度與拉力的關(guān)系”的實(shí)驗(yàn)．對于本實(shí)驗(yàn)的實(shí)施方案,教材推薦了如圖1所示的參考案例．在這個(gè)案例中,我們可以先不考慮小車受到的運(yùn)動阻力,因?yàn)檫@可以讓小車在玻璃板上(或氣墊導(dǎo)軌上)運(yùn)動,其所受到的運(yùn)動阻力小到可以忽略不計(jì)．這時(shí),我們就將懸掛物(砝碼及托盤)的總重力作為小車受到的拉力．

圖1

基于學(xué)生的認(rèn)知水平,也為了突出教學(xué)的重點(diǎn),教材的這樣處理是無可厚非的,合理的．只是這樣的處理,常常會給學(xué)生一個(gè)先入為主的認(rèn)識:“小車所受拉力的大小等于懸掛物的重力”．學(xué)生這樣的認(rèn)識,需要教師在以后的教學(xué)過程中,用一個(gè)相對較長的時(shí)間進(jìn)行校正．總之一句話,此時(shí)懸掛物的加速度是忽略不計(jì)的．

在學(xué)生學(xué)習(xí)了牛頓第二定律后,我們懂得了“超重”和“失重”現(xiàn)象,發(fā)現(xiàn)在這類實(shí)驗(yàn)中用來牽引小車的懸掛物也是有加速度的.這樣的加速度對實(shí)驗(yàn)造成的影響我們是必須要考慮進(jìn)去的．由于細(xì)繩是不可伸長的,所以小車和懸掛物在任意時(shí)間間隔內(nèi)發(fā)生的位移大小都相等,兩者的速度大小也一定相等.由此可以推出,此時(shí)兩者的加速度大小總是相等．

對于這一結(jié)論,學(xué)生很好理解,而且印象深刻．

順便講一下,為了解決因懸掛物的加速度而引起的超重和失重問題,我們有幾種方法．一是在實(shí)驗(yàn)過程中保證小車質(zhì)量遠(yuǎn)大于懸掛物質(zhì)量,即M?m．這樣操作,可使系統(tǒng)加速度很小,懸掛物的失重現(xiàn)象不明顯,由于失重而引起的誤差不太大,在一般實(shí)驗(yàn)條件下,可以忽略不計(jì)．一是用“實(shí)測”的方法來規(guī)避失重的影響,可借助于力傳感器、測力計(jì)等對小車所受到的拉力進(jìn)行實(shí)時(shí)測量,這時(shí)對懸掛物的質(zhì)量則不必進(jìn)行限定．一是在實(shí)驗(yàn)過程中保證小車與懸掛物的總質(zhì)量M+m保持不變,這時(shí)也不必限定懸掛物的質(zhì)量．這些都不是本文的重點(diǎn),在這里不作贅述．

可見,兩物體間的“牽連加速度”問題變成了我們必須面對的,繞不過去的問題．

2 誤解

在學(xué)習(xí)了“運(yùn)動的合成與分解”后,我們經(jīng)常會分析討論這樣一類聯(lián)系實(shí)際的問題:

圖2

在如圖2所示的裝置中,汽車用跨過定滑輪的輕繩提升重物A．若已知汽車此時(shí)向右運(yùn)動的速度大小為v車,與汽車相連部分的繩子與水平方向間的夾角為α,重物A還沒有到達(dá)滑輪處,試求重物A此時(shí)速度v物的大?。?/p>

對這類問題的分析,考慮到兩者是通過不可伸長的繩子相互牽連的,所以兩者在繩子方向上的運(yùn)動不是獨(dú)立自由的,而是相互牽制影響的．所以兩者在繩子方向上的分速度是相等的,應(yīng)該將汽車的速度沿“繩子方向”和“垂直于繩子方向”進(jìn)行分解,從而建立關(guān)系方程．根據(jù)題中已知條件,有重物上升的速度大小為v物=v車cosα．

由于速度和加速度這兩個(gè)物理量都是矢量,都可以根據(jù)我們的需要進(jìn)行分解,所以學(xué)生在得到上述結(jié)論后,很容易產(chǎn)生一種誤解:重物的加速度與汽車的加速度之間也存在著同樣的牽制關(guān)系,即a物=a車cosα．

對學(xué)生常犯的這種錯(cuò)誤,限于高中階段的數(shù)學(xué)水平,我們只能用便于學(xué)生理解的初等方法來進(jìn)行講解．一般來說,我們可采用“特殊值”和“反證法”來分析．

設(shè)汽車做勻速運(yùn)動,即汽車的加速度為0,此時(shí)由v物=v車cosα可知,汽車在前進(jìn)過程中,α角不斷減小,銳角范圍內(nèi)的余弦函數(shù)為減函數(shù),顯然有重物的速度v物不斷增大,即重物做加速運(yùn)動,其加速度a物是不為0的,而汽車的加速度a車=0,即兩者間并沒有a物=a車cosα這樣的關(guān)系式．

結(jié)論:用細(xì)繩(桿)相牽連的兩物體間的加速度關(guān)系,不能簡單地用“各自的加速度沿繩子方向的分量相等”來求解．也就是說,我們不能將兩物體速度間的制約關(guān)系遷移到加速度之間．

3 真相

為了能讓高中階段的學(xué)生更好地理解上述問題,并能弄清兩物體間加速度的制約關(guān)系,我們先來看這樣一個(gè)特例．

這個(gè)特例告訴我們,重物A由于轉(zhuǎn)動而具有的加速度是不能牽連到汽車上去的．

作為更一般的考慮,我們可以將重物A的實(shí)際加速度分解到“繩子方向”和“垂直于繩子方向”,則“繩子方向”上的分加速度中,要去除因重物做圓周運(yùn)動而具有的“向心加速度”成份,就是能牽制繩子另一端汽車的加速度;同理,汽車的實(shí)際加速度也可以分解到它那一端的“繩子方向”和“垂直于繩子方向”,同樣,“繩子方向”上的分加速度中,去除因汽車做圓周運(yùn)動而具有的“向心加速度”成份,就是汽車能牽制繩子另一端重物的加速度．

為了能讓讀者更清楚地看清這種一般關(guān)系,現(xiàn)例析如下.

在圖3中,設(shè)小車A用細(xì)繩跨過定滑輪牽引小車B,滑輪的大小忽略不計(jì),滑輪距小車表面的高度為H,小車A沿水平面做勻速運(yùn)動的速度為vA,某一時(shí)刻繩子的兩端與水平方向間的夾角分別為α和β．我們將兩小車的速度都進(jìn)行如圖3所示的分解．顯然有

vBcosβ=vAcosα,

得小車B此時(shí)的速度大小為

圖3

整理可得小車B此時(shí)的加速度為

由于繩長是一定的,表達(dá)式中的α、β和H之間還存在著一定的數(shù)量關(guān)系,這里不再作進(jìn)一步的推導(dǎo)．到這里我們不難發(fā)現(xiàn),造成這種關(guān)系的原因是,物體做圓周運(yùn)動時(shí),其線速度的方向與向心加速度的方向之間存在著的正交關(guān)系．

4 實(shí)訓(xùn)

圖4

如圖4所示,物塊A和B用繞過定滑輪的輕繩相連,A的質(zhì)量為m,B的質(zhì)量為2m.A穿在光滑豎直固定的長直桿上,滑輪與桿間的距離為l．將A移到與滑輪等高處由靜止釋放,不考慮繩與滑輪間的摩擦,則下列說法正確的是

(A)A在下降過程中加速度先變大后變小.

(B)A剛釋放時(shí)它的加速度大小等于重力加速度g.

(C) 當(dāng)A在下降過程中速度達(dá)到最大時(shí),A與B速度大小之比為2 ∶1.

(D) 當(dāng)A的機(jī)械能最小時(shí),B的重力勢能最大.

本題的正確選項(xiàng)是(B)、(D),這里不多分析．現(xiàn)重點(diǎn)分析易錯(cuò)的(C)選項(xiàng)．

由于學(xué)生不容易分析題中A、B兩物體之間的加速度關(guān)系,我們可以換一種分析方法．設(shè)物體A向下做勻速運(yùn)動,即假設(shè)A的加速度恒為0,分析物體B的加速度的有無和方向,從而確定當(dāng)A加速度為0時(shí),繩中拉力大于2mg,就能排除選項(xiàng)(C)了．

為了能讓我們更為直觀地了解這一過程中兩物體的速度變化規(guī)律,本人利用“幾何畫板”軟件,由A、B兩物體組成的系統(tǒng)的機(jī)械能守恒關(guān)系,作出了兩物體的速度大小與繩子的偏轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系圖像,如圖5所示．(為了圖像的可視性,縱坐標(biāo)作了適當(dāng)?shù)姆糯?橫坐標(biāo)為角度的真實(shí)值．)由該圖我們更為直觀地看到,當(dāng)A的速度達(dá)到最大時(shí),B還處于加速階段．并且能夠看到,當(dāng)繩子與水平方向間的夾角約為23°時(shí),A的速度達(dá)到最大;當(dāng)繩子與水平方向間的夾角約為43°時(shí),B的速度達(dá)到最大．

圖5

兩物體間的牽連加速度是比較復(fù)雜的問題,不能簡單地將速度的牽連關(guān)系遷移到加速度上來．在我們不能利用求導(dǎo)的方法進(jìn)行分析和計(jì)算的時(shí)候,利用初等方法,特殊值法,反證法,計(jì)算機(jī)輔助法進(jìn)行分析和計(jì)算,也不失為一個(gè)很好的突破口．總之,教師可根據(jù)學(xué)生的具體情況和教學(xué)的實(shí)際條件,進(jìn)行靈活把握,做到分層要求,合理取舍．