摘 要：在非線性優(yōu)化問題中，一般假定設(shè)計(jì)變量為連續(xù)量。在許多情況下，這是一個(gè)有效的假設(shè)。然而，通常的整數(shù)變量離散變量出現(xiàn)在工程設(shè)計(jì)。這些類型的變量的例子是齒輪的齒數(shù)，一個(gè)齒輪模塊的價(jià)值，規(guī)格冷軋鋼構(gòu)件，在桁架桿數(shù)、軸和其他零件的公稱尺寸，彈簧的圈數(shù)，在一個(gè)結(jié)構(gòu)中的螺絲或鉚釘數(shù)量，離散和連續(xù)變量的整數(shù)變量隨著添加的優(yōu)化問題越來越復(fù)雜。由于這種情況經(jīng)常發(fā)生在工程設(shè)計(jì)中，解決這類問題的有效方法在優(yōu)化機(jī)械設(shè)計(jì)中有著重要的應(yīng)用。概念設(shè)計(jì)優(yōu)化問題可以用一種稱為“0-1變量”的整數(shù)變量（通常稱為“二進(jìn)制”變量）來解決，該變量可以取零或一個(gè)值，顧名思義。每當(dāng)有一個(gè)選擇，從一個(gè)列表的替代品，零個(gè)變量可以用來選擇最好的選擇。關(guān)于零變量使用的更多細(xì)節(jié)將在后面討論。

關(guān)鍵詞：機(jī)械設(shè)計(jì)；非線性優(yōu)化；二進(jìn)制；創(chuàng)新

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2018.14.033

1 已有方法的優(yōu)缺點(diǎn)

在線性最優(yōu)化領(lǐng)域，已經(jīng)發(fā)展了求解整數(shù)和離散問題的方法。然而，在非線性優(yōu)化問題中，沒有這樣的平行可繪制。最初的方法是假設(shè)所有變量都是連續(xù)的，然后將結(jié)果上下轉(zhuǎn)換為最接近的整數(shù)或離散值。然而，這種方法常常導(dǎo)致不正確的結(jié)果。在非線性混合離散整數(shù)連續(xù)編程領(lǐng)域，Gisvold 和 Moe于1972年開發(fā)了一種通過修改的罰函數(shù)方法的非線性混合整數(shù)規(guī)劃問題的方法。在這里，離散的要求作為明確的約束和目標(biāo)函數(shù)構(gòu)造懲罰偏離離散值。該方法的難點(diǎn)在于罰參數(shù)難以設(shè)定先驗(yàn)值，所得解依賴于初始罰參數(shù)的選取。

混合離散規(guī)劃問題，Cha 和 Mayne于1988提出了一個(gè)很有前途的耦合的序列二次規(guī)劃法（SQP）具有局部搜索策略的方法。連續(xù)SQP算法在最優(yōu)解附近快速地進(jìn)行搜索，而基于目標(biāo)梯度信息的局部搜索則是該領(lǐng)域內(nèi)的最佳離散解。Fox和Bonnie Liebman于1981年用“復(fù)雜”的算法來求解整數(shù)/離散規(guī)劃問題。對(duì)十五個(gè)問題的數(shù)值試驗(yàn)表明，該方法比離散罰算法和連續(xù)最小舍入算法有更好的結(jié)果。然而，這種方法的缺點(diǎn)是收斂性不確定，即使收斂，也不能保證解是全局最優(yōu)點(diǎn)。

2 零變量決策樹

零變量在設(shè)計(jì)變量的決策樹是一個(gè)不錯(cuò)的選擇。通過這種方法，我們可以研究不同的定性替代方案。例如，這些變量可以用來決定從一個(gè)替代材料列表中確定某一特定組件所需的材料。101個(gè)變量被分配到每一個(gè)備選方案中，對(duì)應(yīng)于所選材料的變量被賦予一個(gè)“1”的值，而另一個(gè)被賦值為“0”，這些零個(gè)變量必須和一個(gè)變量相加，這樣只有一個(gè)變量能達(dá)到一個(gè)變量的值。在數(shù)學(xué)上，涉及零個(gè)變量x的最優(yōu)化問題可以用公式表。需要注意，在嚴(yán)格的數(shù)學(xué)意義上，獲得的解決方案可能不是“最優(yōu)”，因?yàn)樽顑?yōu)性還沒有被證明。可以說，所得到的結(jié)果是用這種停止方法使用的最好的結(jié)果。將該方法與其他方法所得結(jié)果進(jìn)行比較，初始懲罰參數(shù)的選取與最終結(jié)果相比沒有影響。

3 增廣拉格朗日乘子法

最佳的增廣拉格朗日乘子法可能得到更好的結(jié)果。百分比錯(cuò)誤已減至幾乎為零。圓柱形壓力容器兩端由半球形封頭覆蓋?？偝杀?，包括材料成本，成型和焊接成本，是盡量減少。設(shè)計(jì)變量為TS和TH，殼和頭的厚度，R和L，圓柱截面的內(nèi)半徑和長(zhǎng)度。變量是0和l是連續(xù)的。

基于增廣拉格朗日乘子法的主要優(yōu)點(diǎn)之一是，啟動(dòng)懲罰值大大降低。此前，產(chǎn)生的結(jié)果是非常依賴于初始罰參數(shù)值，這是一個(gè)重大的缺點(diǎn)，因?yàn)槊總€(gè)從刑罰價(jià)值導(dǎo)致了不同的結(jié)果。例如，在輪系設(shè)計(jì)問題中，所使用的值是：（0.01，0.001，0.005，0.0001，0.0005，0.00001）。選擇初始懲罰參數(shù)的唯一標(biāo)準(zhǔn)是，它應(yīng)該被選擇為一個(gè)低值并且逐漸增加。這樣做的原因是，當(dāng)我們?cè)黾悠鹗紤土P參數(shù)值時(shí)，增強(qiáng)的目標(biāo)函數(shù)將有更多的“凸點(diǎn)”。當(dāng)這些“碰撞”的大小由于懲罰參數(shù)的較大值而增加時(shí)，搜索趨向于“下降”到最近的局部極小值。由于搜索很難從局部極小值中提取出來，搜索往往陷入這一點(diǎn)，使得真正的離散優(yōu)化的位置非常困難。增加罰參數(shù)的乘法系數(shù)應(yīng)取1和2之間。這將確保懲罰參數(shù)逐漸增加。如果乘法因子太高，上述凸塊的大小以非?？斓乃俣仍黾樱虼说竭_(dá)離散最優(yōu)變得非常困難。此外，在某些情況下，如果乘法因子過高，則搜索收斂到局部最優(yōu)。這是因?yàn)橥瑯拥脑颍瑸槭裁雌鹗紤土P值不應(yīng)該很高。即使初始懲罰值很小，如果乘法因子非常高，凸塊的大小以極大的速度增長(zhǎng)，使得搜索陷入局部最優(yōu)。在案例研究中，乘法系數(shù)的取值應(yīng)該介于1和2之間。在常見的工程設(shè)計(jì)優(yōu)化問題中，約束往往差別很大。因此，一些約束占主導(dǎo)地位。優(yōu)化過程中將所有約束乘以相同的懲罰參數(shù)會(huì)導(dǎo)致數(shù)值病態(tài)。除了一個(gè)案例研究問題外，所有這些都被觀察到。因此，必須限制這些。約束的比例因子作為目標(biāo)函數(shù)的梯度與起始點(diǎn)約束的梯度之比。這個(gè)簡(jiǎn)單的步驟在很大程度上改善了問題的收斂性。

4 小結(jié)

用增廣拉格朗日乘子法求解混合離散整數(shù)連續(xù)優(yōu)化問題的方法是非常有效和準(zhǔn)確的。甚至可以將問題精確地解決。增強(qiáng)拉格朗日乘子法中的迭代需要很小的存儲(chǔ)空間，因?yàn)闆]有什么需要存儲(chǔ)在內(nèi)存中以供以后使用。增廣拉格朗日乘子法結(jié)合零階搜索被認(rèn)為是非常快的尋找方法。

由于采用有限差分技術(shù)來逼近導(dǎo)數(shù)，一階搜索法在離散最優(yōu)解的求解上存在相當(dāng)大的問題。然而，在一些較小的問題中，導(dǎo)數(shù)被解析地發(fā)現(xiàn)，所以一階方法是非常有用的或這些問題。對(duì)于大尺寸問題，導(dǎo)數(shù)的分析測(cè)定通常是不可行的，因此不推薦一階方法。零階的搜索方法，成功找到解決所有的案例研究。焊接梁?jiǎn)栴}是一個(gè)很好的例子，它可以用來解決單變量概念設(shè)計(jì)優(yōu)化問題。

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作者簡(jiǎn)介：申永紅（1974-），男，山西洪洞人，本科，講師，研究方向：機(jī)械設(shè)計(jì)與制造。