李春奇 吳 迪 趙擁軍

(信息工程大學(xué)數(shù)據(jù)與目標(biāo)工程學(xué)院，河南鄭州 450001)

1 引言

運(yùn)動(dòng)單站定位通過(guò)單個(gè)運(yùn)動(dòng)觀測(cè)站來(lái)對(duì)目標(biāo)輻射源進(jìn)行截獲、測(cè)量并獲得目標(biāo)的位置信息。運(yùn)動(dòng)單站定位系統(tǒng)與多站定位系統(tǒng)相比，不需要大量的通信數(shù)據(jù)傳輸，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、設(shè)備靈活等優(yōu)點(diǎn)，因此對(duì)航海和航空、衛(wèi)星定位預(yù)警、引導(dǎo)反輻射武器、電子偵察等許多民用、軍用領(lǐng)域都有著廣闊的應(yīng)用前景[1]。

傳統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)單站定位一般采用兩步定位體制，即使單站觀測(cè)器與輻射源之間發(fā)生相對(duì)幾何位置的變化，在位置變化的過(guò)程中通過(guò)多次測(cè)量獲得目標(biāo)的信息數(shù)據(jù)[2]，然后進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，最后得出目標(biāo)的位置估計(jì)，其中的參數(shù)估計(jì)有多種方法，如對(duì)波達(dá)方向(Direction of Arrival，DOA)[3]、 到達(dá)時(shí)間(Time of Arrival, TOA)[4]、 到達(dá)時(shí)間差(Time Difference of Arrival, TDOA)[5]、到達(dá)頻差(Frequency Difference of Arrival)[6]、多普勒頻差(Differential of Doppler, DD)[7]的估計(jì)及聯(lián)合估計(jì)[8-9]等。然而，兩步定位體制也存在著一些問(wèn)題。由信息論的角度來(lái)講，從接收到的原始數(shù)據(jù)到獲得最后結(jié)果，每增加一步處理流程，會(huì)難以避免造成一定的信息損失，導(dǎo)致定位精度受到影響，難以得到最優(yōu)的估計(jì)結(jié)果。近些年來(lái)，隨著數(shù)據(jù)傳輸速度及計(jì)算機(jī)性能的提高，以Weiss和Amar為代表的一些國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了一種新的無(wú)源定位方法，即單步定位算法，又稱直接定位算法(Direct Position Determination, DPD)[10]。該類定位方法的基本理念是從接收到的數(shù)據(jù)中直接得到目標(biāo)輻射源的位置，而不需要進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。Weiss在文獻(xiàn)[10]中提出了基于陣列信號(hào)處理的靜止多站DPD算法。而后部分學(xué)者又將DPD算法應(yīng)用到運(yùn)動(dòng)多站方向，提出了基于多普勒與時(shí)延的運(yùn)動(dòng)多站DPD方法[11]，以及基于多普勒的運(yùn)動(dòng)多站DPD方法[12-13]。Oispuu又利用單個(gè)運(yùn)動(dòng)天線陣列提出了針對(duì)多目標(biāo)的DPD算法[14]。通過(guò)大量實(shí)驗(yàn)可以驗(yàn)證，在低信噪比條件下，DPD方法比傳統(tǒng)兩步定位方法具有更高的定位精度。

然而，對(duì)于運(yùn)動(dòng)單站定位問(wèn)題，DPD算法目前的研究仍然有很大的拓展空間。本文借鑒DPD算法的基本理念，提出了一種基于多普勒的運(yùn)動(dòng)單站直接定位算法。該算法去除參數(shù)估計(jì)步驟，從接收數(shù)據(jù)中直接提取目標(biāo)位置信息，并通過(guò)二維格網(wǎng)型空間索引以獲取目標(biāo)的位置估計(jì)。此外，本文還分析推導(dǎo)了算法的CRLB、理論誤差及運(yùn)算量。仿真結(jié)果表明，與兩步定位算法相比，DPD算法能夠有效抑制噪聲影響，目標(biāo)位置估計(jì)定位精度大幅提高，算法估計(jì)性能更加逼近CRLB。

2 問(wèn)題描述與定位模型

如圖1所示，假設(shè)存在一個(gè)靜止目標(biāo)輻射源，位置向量為p0，發(fā)射信號(hào)s(t)帶寬為W，載頻為fc。某運(yùn)動(dòng)觀測(cè)站在K個(gè)觀測(cè)間隙內(nèi)對(duì)輻射源的數(shù)據(jù)進(jìn)行采樣，每個(gè)觀測(cè)間隙的觀測(cè)時(shí)間為T，用pk和vk(k=1,...,K)表示觀測(cè)站在第k個(gè)觀測(cè)間隙內(nèi)的位置與速度。

圖1 目標(biāo)直接定位示意圖Fig.1 Sketch map of direct localization for target

則觀測(cè)站在t時(shí)刻接收到的數(shù)據(jù)模型為

rk(t)=bksk(t)ej2πft+nk(t)

(1)

式中：

(1)bk表示信號(hào)在第k個(gè)觀測(cè)間隙到達(dá)觀測(cè)站的傳播系數(shù)；

(2)nk(t)表示均值為0，方差為σ2的高斯噪聲；

(3)f表示觀測(cè)站在第k個(gè)觀測(cè)間隙接收到的信號(hào)頻率，可以表示為

f=fc·(1+μk(p))

(2)

式中，μk(p)表示目輻射源與觀測(cè)站相對(duì)運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的多普勒效應(yīng)，可表示為

(3)

式中c表示電磁波的傳播速度。

由于fc為已知量，則通過(guò)數(shù)字下變頻處理后得到的信號(hào)頻率為

(4)

則式(1)可表示為

rk(t)=bksk(t)ej2πfkt+nk(t)

(5)

假設(shè)觀測(cè)站在第k個(gè)觀測(cè)間隙內(nèi)采樣時(shí)間間隔為Ts，采樣快拍次數(shù)為Ns，將式(5)用向量形式表示

rk=bkFksk+nk

(6)

式中

(7)

3 算法推導(dǎo)

通常對(duì)目標(biāo)位置的估計(jì)可以視為利用接收數(shù)據(jù)rk估計(jì)出輻射源位置坐標(biāo)p0。對(duì)式(6)可以將對(duì)輻射源定位的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為通過(guò)構(gòu)造代價(jià)函數(shù)求解，則目標(biāo)位置的最小均方誤差估計(jì)為下列代價(jià)函數(shù)的最小值

(8)

使上式最小的bk的估計(jì)可以由下式得到

bk=[(Fksk)H(Fksk)]-1×(Fksk)Hrk=(Fksk)Hrk

(9)

不失一般性，對(duì)任意的k，假設(shè)

‖s‖2=1

(10)

將式(9)與式(10)代入式(8)，可以得到

(11)

(12)

式中

(13)

3.1 未知信號(hào)

當(dāng)傳輸信號(hào)是未知時(shí)，則式(12)的最大值轉(zhuǎn)化為選擇與sk對(duì)應(yīng)的Vk的最大特征值，結(jié)果為

(14)

式中，Vk的維度是Ns×Ns，當(dāng)采樣率增大時(shí)，進(jìn)行特征值分解求取特征值所需的計(jì)算量也將快速增大。

一般地，對(duì)于一個(gè)矩陣A，其表達(dá)式AAH與AHA的非零特征值是等價(jià)的，因此，對(duì)于式(13)，可令

(15)

最后，通過(guò)進(jìn)行二維格網(wǎng)型空間索引，求出式(14)的最大值，其所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)值即為輻射源的位置坐標(biāo)，即有

(16)

3.2 已知信號(hào)

假設(shè)傳輸信號(hào)是已知的，則式(12)可以表示為

(17)

其中

Sk=diag{sk}

(18)

則式(17)可被簡(jiǎn)化為

(19)

同理，目標(biāo)位置p0的估計(jì)值可以通過(guò)二維格網(wǎng)型空間索引得到，表達(dá)式如下

(20)

4 算法分析

4.1 克拉美羅界(CRLB)推導(dǎo)

對(duì)于參數(shù)估計(jì)問(wèn)題，CRLB為任何無(wú)偏估計(jì)量的方差的下限，由此，可以估計(jì)算法的理論性能標(biāo)準(zhǔn)。本文中，設(shè)J為系統(tǒng)的Fisher信息矩陣(Fisher Information Matrix, FIM)，則由文獻(xiàn)[15]可得

(21)

式中ψi表示第i個(gè)未知參數(shù)向量的元素，在本文中，參數(shù)向量為輻射源的二維位置向量，則ψi=ψ1=x，ψj=ψ2=y。另外

mkbkFksk

(22)

對(duì)于式(21)，運(yùn)用鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則可得

(23)

式中

(24)

(25)

則

(26)

同理

(27)

式中，φ表示觀測(cè)站運(yùn)動(dòng)速度方向與目標(biāo)連線的夾角，θ表示x方向與目標(biāo)連線的夾角，dk表示觀測(cè)平臺(tái)與目標(biāo)的距離。

綜上，F(xiàn)IM信息矩陣可由式(28)給出

(28)

4.2 誤差分析

由于DPD算法不需要參數(shù)估計(jì)這一步驟，因此可以避免參數(shù)誤差帶來(lái)的定位失真。到目前為止，本文以上所做分析都建立在假設(shè)接收到理想的多普勒頻率的基礎(chǔ)上。然而，在實(shí)際觀測(cè)過(guò)程中，多普勒可能無(wú)法準(zhǔn)確測(cè)量，導(dǎo)致按照理想模型進(jìn)行推導(dǎo)所得到的輻射源位置可能會(huì)不準(zhǔn)確。

加入誤差分析時(shí)，將式(1)修改為帶誤差的數(shù)據(jù)模型

(29)

定義Δfk為多普勒的真實(shí)值與測(cè)量值之差

(30)

假設(shè)Δτ與為Δf零均值高斯分布，則其協(xié)方差可表示為

E[Δf(Δf)T]=Qf

(31)

(32)

4.3 計(jì)算量分析

5 仿真實(shí)驗(yàn)

首先，定義均方根誤差為：

(33)

仿真參數(shù)設(shè)置：假設(shè)存在一個(gè)靜態(tài)發(fā)射源，發(fā)射載頻fc=0.5 GHz，帶寬為300 kHz的高斯信號(hào)，其傳播速度c為光速。觀測(cè)站與目標(biāo)位置分布如圖2所示，輻射源位置為(2500 m, 2500 m)，觀測(cè)站沿y=500 m向x軸正方向移動(dòng)，其速度為300 m/s，觀測(cè)間隔為3.33 s，且觀測(cè)次數(shù)設(shè)定為10次。

圖2 目標(biāo)輻射源與觀測(cè)站間的地理位置關(guān)系示意圖Fig.2 Sketch of the relationship between the radiation source and the observation station

5.1 算法的估計(jì)精度性能對(duì)比

為考察不同算法位置估計(jì)精度，本文采用本文提出的運(yùn)動(dòng)單站DPD算法與文獻(xiàn)[7]提出的迭代頻差兩步定位算法(DD)進(jìn)行仿真對(duì)比。

(1)將每個(gè)觀測(cè)間隙內(nèi)的樣本點(diǎn)數(shù)設(shè)為100，載波頻率fc=0.5 GHz，如圖3(a)所示為不同算法在不同信號(hào)條件下目標(biāo)位置估計(jì)均方根誤差隨信噪比的變化曲線；

(2)將信噪比設(shè)為0 dB，載波頻率fc=0.5 GHz，圖3(b)所示為不同算法在不同信號(hào)條件下目標(biāo)位置估計(jì)均方根誤差隨每個(gè)觀測(cè)間隙內(nèi)樣本點(diǎn)數(shù)的變化曲線；

(3)將信噪比設(shè)為0 dB，每個(gè)觀測(cè)間隙內(nèi)的樣本點(diǎn)數(shù)設(shè)為100，圖3(c)所示為不同算法在不同信號(hào)條件下目標(biāo)位置估計(jì)均方根誤差隨載波頻率的變化曲線。

圖3 定位均方根誤差隨信噪比、樣本點(diǎn)數(shù)和載波頻率的變化曲線Fig.3 Localization error changing with SNR, snapshot number and carrier frequency

從圖中可以得出以下結(jié)論：

(1)DPD算法的定位性能要明顯優(yōu)于兩步定位算法，能夠較好地逼近CRLB，這是由于DPD算法能夠充分利用接收數(shù)據(jù)提供的信息，從而使位置估計(jì)精度整體提升；

(2)隨著信噪比、樣本數(shù)據(jù)量與載波頻率的提高，不同算法的RMSE均有所降低，并且與CRLB的下降趨勢(shì)一致。相比于兩步定位算法，在低信噪比、低樣本數(shù)據(jù)量與相對(duì)低頻條件下，本文DPD算法具有更高的定位精度；

(3)與未知信號(hào)相比，已知信號(hào)能夠增加數(shù)據(jù)信息量，在利用更多信息的情況下，各算法的估計(jì)性能有所提高，但就整體而言，兩種DPD算法性能差異并不大。

5.2 多普勒測(cè)量誤差對(duì)估計(jì)性能的影響

圖4表示在給定信噪比為20 dB、樣本點(diǎn)數(shù)為50和載波頻率fc=0.5 GHz的情況下，多普勒測(cè)量誤差對(duì)不同算法定位性能的影響。從圖中可以看出，多普勒測(cè)量誤差對(duì)于DPD算法定位性能的影響程度與4.2節(jié)理論值差距不大，并遠(yuǎn)小于兩步定位算法。這是由于在兩步定位過(guò)程中，誤差經(jīng)過(guò)參數(shù)估計(jì)可能會(huì)被放大，然后定位解算步驟又會(huì)進(jìn)一步引入誤差，最終導(dǎo)致的估計(jì)偏差較大。而DPD算法不需要參數(shù)估計(jì)這一步驟，因此避免了參數(shù)誤差帶來(lái)的定位失真。

圖4 多普勒測(cè)量誤差對(duì)估計(jì)性能的影響Fig.4 The effect of Doppler measurement error on estimation performance

6 結(jié)論

針對(duì)利用傳統(tǒng)運(yùn)動(dòng)單站算法對(duì)目標(biāo)定位性能不夠理想的問(wèn)題，筆者提出了一種利用多普勒的運(yùn)動(dòng)單站直接定位算法，將直接定位算法引入到運(yùn)動(dòng)單站定位系統(tǒng)中，并分析推導(dǎo)了新算法的CRLB、理論誤差與計(jì)算量。仿真實(shí)驗(yàn)表明：較之傳統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)單站定位算法，本文DPD算法能夠較好地抑制噪聲的影響，提高定位精度，尤其在低信噪比、低樣本數(shù)據(jù)量以及相對(duì)低頻條件下仍能逼近CRLB；在已知信號(hào)條件下，算法定位精度有所提高；多普勒測(cè)量誤差對(duì)DPD算法定位性能的影響遠(yuǎn)小于兩步定位算法。

[1] 李鵬. 對(duì)固定輻射源的單站無(wú)源定位技術(shù)[J]. 電子科技, 2013, 26(9)：61- 64.

Li Peng. The passive positioning technology for fixed radiant in single station[J]. Electronic Science and Technology, 2013, 26(9)：61- 64. (in Chinese)

[2] 秦明峰, 郝青儒, 范廣偉. 運(yùn)動(dòng)單站無(wú)源定位性能分析[J]. 無(wú)線電工程, 2014(4)：50-53.

Qin Mingfeng, Hao Qingru, Fan Guangwei. Analysis on Passive Localization Performance of Moving Single Observer[J]. Radio Engineering, 2014(4)：50-53. (in Chinese)

[3] Wang D, Zhang L, Wu Y. The structured total least squares algorithm research for passive location based on angle information[J]. Science in China, 2009, 52(6)：1043-1054.

[4] Oh D, Kim S, Yoon S H. Two-Dimensional ESPRIT-Like Shift-Invariant TOA Estimation Algorithm Using Multi-Band Chirp Signals Robust to Carrier Frequency Offset[J]. IEEE Transactions on Wireless Communications, 2013, 12(7)：3130-3139.

[5] Yang K, An J, Bu X, et al. Constrained Total Least-Squares Location Algorithm Using Time-Difference-of-Arrival Measurements[J]. IEEE Transactions on Vehicular Technology, 2010, 59(3)：1558-1562.

[6] Sun M, Ho K C. An Asymptotically Efficient Estimator for TDOA and FDOA Positioning of Multiple Disjoint Sources in the Presence of Sensor Location Uncertainties[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2011, 59(7)：3434-3440.

[7] 楊潔,劉聰鋒.迭代頻差定位算法及其性能分析[J].西安電子科技大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2013,40(5)：8-14.

Yang Jie, Liu Congfeng. Iteration FDOA location algorithm and its performance analysis[J]. Journal of Xidian University, 2013,40(5)：8-14. (in Chinese)

[8] Yeredor A, Angel E. Joint TDOA and FDOA Estimation： A Conditional Bound and Its Use for Optimally Weighted Localization[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2011, 59(4)：1612-1623.

[9] Ho K C, Chan Y T. Geolocation of a known altitude object from TDOA and FDOA measurements[J]. IEEE Transactions on Aerospace & Electronic Systems, 1997, 33(3)：770-783.

[10] Weiss A J. Direct position determination of narrowband radio frequency transmitters[J]. IEEE Signal Processing Letters, 2004, 11(5)：513-516.

[11] Weiss A J. Direct Geolocation of Wideband Emitters Based on Delay and Doppler[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2011, 59(6)：2513-2521.

[12] Amar A, Weiss A J. Localization of Narrowband Radio Emitters Based on Doppler Frequency Shifts[M]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2008, 56(11):5500-5508.

[13] 王鼎,尹潔昕,吳志東,等. 一種基于多普勒頻率的恒模信號(hào)直接定位方法[J]. 航空學(xué)報(bào),2017,38(9):284-297.

Wang Ding, Yin Jiexin, Wu Zhidong,et al. A direct localization method for constant modulus source based on Doppler frequency shifts[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2017, 38(9):284-297.(in Chinese)

[14] Oispuu M, Nickel U. Direct detection and position determination of multiple sources with intermittent emission[J]. Signal Processing, 2010, 90(12)：3056-3064.

[15] Van T, Harry L. Optimum Array Processing: Part IV of Detection, Estimation and Modulation Theory[M]. New York:Wiley-Interscience, 2002.