馮浩然,

(解放軍電子工程學院 雷抗系,合肥 230037)

0 概述

線性調頻(Linear Frequency Modulation,LFM)信號是一種典型的非平穩(wěn)信號,因具有大帶寬時寬積的優(yōu)點,使其在雷達、聲吶和通信系統(tǒng)中得到廣泛應用。如何快速有效地處理寬帶LFM信號并進行高精度的波達方向(Direction of Arrival,DOA)估計,是陣列信號處理領域的熱點問題之一。

目前,較寬的工作帶寬使得傳統(tǒng)的信號處理方法難以滿足Nyquist采樣定理的要求,更對后期數字處理速度和信息存儲能力提出了較大挑戰(zhàn)。為解決該問題,有學者提出在欠采樣條件下對信號進行參數和DOA估計[1-3]。文獻[4]利用經時延的信號與原始信號共軛相乘解線性調頻的方法,運用余數定理對多個LFM信號進行方位解模糊,從而實現多LFM信號的高精度DOA估計,但該方法容易受到二次交叉項的干擾,估計精度存在局限性。文獻[5]基于分數階傅里葉變換(Fractional Fourier Transform,FRFT),提出在時空欠采樣條件下對LFM信號進行分析的方法。由于具有不同時頻特性的LFM信號在其對應階次上具有不同的能量聚集特性,運用FRFT對空間寬帶LFM信號的DOA進行相關研究不會受到交叉項的干擾,可以提高估計精度。因此,基于FRFT對寬帶LFM信號進行DOA估計,具有較高的研究價值。

作為通信基站中應用廣泛的接收天線[6],均勻圓陣(Uniform Circular Array,UCA)可以進行接收信號的全方位測向,而其較高的測量精度并不會因方位角的改變而產生較大的變化。利用UCA可以同時對初始信號的俯仰角和方位角信息進行估計,這是均勻線陣所無法滿足的[7]。然而,在UCA半徑大于半波長的情況下,信號采樣不滿足Nyquist采樣定理要求,容易產生模糊項,即此時無法高精度估計出信號的初始信息,從而導致算法估計性能下降。

已有文獻多采用非均勻陣列進行欠采樣估計[8-10],為利用UCA在欠采樣條件下實現對寬帶LFM信號的高精度二維DOA估計,本文基于UCA的全向特性和FRFT對寬帶LFM信號的能量聚集特性,建立陣元個數M>6的UCA陣列模型。經過FRFT變換濾波,利用FRFT譜峰搜索數據進行二維DOA估計,同時,考慮到信號欠采樣帶來的數據模糊影響,本文采用整數搜索法進行相位解模糊,在此基礎上,實現寬帶LFM信號二維角信息的高精度無模糊估計。最后,對UCA和非均勻L陣2種陣列形式進行仿真對比,以驗證本文方法的性能。

1 FRFT與UCA模型

1.1 FRFT的定義

p階FRFT相當于信號的Wigner分布在時間-頻率平面上逆時針旋轉角度α=pπ/2,如圖1所示。

圖1 FRFT Wigner分布

定義信號x(t)的p階FRFT為線性積分運算:

(1)

其中,p為FRFT的階次,Fp[·]為FRFT的算子符號,Kp(t,u)為FRFT的變換核:

Kp(t,u)=

(2)

FRFT是一種線性變換,不會受到交叉項的干擾。由于FRFT對寬帶LFM信號具有極好的能量聚集特性,使得具有不同時頻特性的寬帶LFM信號在其對應階次上集中于一點,不存在二次型時間-頻率分布的選點問題,從而能穩(wěn)定、快速地分離寬帶LFM信號。因此,將FRFT運用到陣列信號處理領域,能夠實現對寬帶LFM信號初始信息的高精度估計[11]。

1.2 陣列模型構建

圖2所示為天線接收陣列UCA示意圖,其由M個全向天線構成,天線陣元在圓周上呈均勻分布,陣元半徑為r,圓心為接收天線的參考點。

圖2 UCA模型

假設有Q個寬帶LFM信號入射到該天線陣,則第k個天線陣元的輸出為:

sq(t)=ejπ(2fq0t+μqt2)

(4)

εk=2π(k-1)/M

(6)

2 均勻圓陣DOA估計算法

以采樣率fs對第q個空間LFM信號sq(t)進行欠采樣,得到其離散化值:

sq(n)=ejπ[2fq0(n/fs)+μq(n/fs)2]

(7)

(8)

(9)

Sq(α,m)峰值出現在m=mq0=fq0Nsinαq0/fs,此時,其極大值為:

對于UCA上第k個接收陣元,其接收到的第q個LFM信號輸出為:

(11)

從式(11)可以看出,第k個陣元接收到的信號相對參考陣元僅多出一個時延,并未改變其調制斜率,只是初始頻率和初始相位發(fā)生了改變[13]。對sk,q(t)進行離散化后作FRFT得到Sk,q(α,m),同樣,Sk,q(α,m)在α=αq0處表現出最佳的能量聚集特性,峰值出現在mk,q=mq0+fsτk,qcosαq0,此時,其極大值為:

Sk,q(αq0,mk,q)=Aq(τk,q)S(αq0,mq0)

(12)

Aq(τk,q)的計算如下:

對不同天線陣元接收到的同一寬帶LFM信號進行FRFT,會在相同的階次出現比較明顯的能量聚集[14-15]。而作為一種線性變換,Q個LFM信號在經過FRFT之后會出現Q個峰值。因此,可以通過選擇峰值上的時頻點來分離出信號源中具有不同時頻特性的LFM信號,從而實現數據模型的簡化、計算量和運算復雜度的減小、對硬件的要求和成本的降低。

對第k個天線陣元輸出采樣并進行離散FRFT:

其第q個信號峰值點(αq0,mk,q)對應:

Xk(αq0,mk,q)=Sk,q(αq0,mk,q)+Nk(αq0,mk,q)+

(15)

然而,經過FRFT后,由于具有不同時頻特性的LFM信號在第q個信號峰值點(αq0,mk,q)處有較小的觀測值而被視為干擾項,則有:

Xk(αq0,mk,q)=Sk,q(αq0,mk,q)+Nk(αq0,mk,q)=

Aq(τk,q)S(αq0,mq0)+Nk(αq0,mk,q)

(16)

選擇FRFT域上所有入射信號數據作為觀測數據進行處理,用向量表示UCA所有陣元的空間時頻輸出:

X=AS+N=[X1X2…XM]T

(17)

A=[A1A2…AQ]

(18)

S=diag{S1(α10,m10),S2(α20,m20),…,SQ(αQ0,mQ0)}

(19)

其中:

Aq=[1Aq(τ2,q) …Aq(τM,q)]T

(20)

Xk=[Xk(α10,mk,1)Xk(α20,mk,2) …Xk(αQ0,mk,Q)]

(21)

空間時頻輸出X的相關陣為:

RXX=E[XXH]=AE[SSH]AH+E[NNH]+

AE[SNH]+E[NSH]AH

(22)

由于產生的噪聲是與信號無關的高斯白噪聲,且假設各天線陣元之間噪聲不相關,可以將式(22)表達為:

RXX=AE[SSH]AH+σ2I

(23)

對RXX進行特征值分解,有:

其中,ηq(q=1,2,…,Q)是RXX的Q個大特征值,Vq(q=1,2,…,Q)是大特征值對應的特征向量,γq(q=1,2,…,Q)是RXX的Q個小特征值,Uq(q=1,2,…,Q)是小特征值對應的特征向量。

為解決由空間欠采樣帶來的模糊項影響,采用整數搜索法進行到達角估計解模糊。針對由信號的Q個大特征值得到的主特征向量Vq=[Vq,1Vq,2…Vq,M]T,為減小搜索范圍、降低運算量,將Vq的相鄰元素進行相除求得復角:

(25)

其中,k=1,2,…,M-1,φq,m∈[-π,π),Cq=(2r/λq)sin (π/M),αq=sinθqcosφq,βq=sinθqsinφq,Kq,k是一個整數。

由于sin [φq-(2k-1)π/M]sinθq∈[-1,1],有-Cq-φq,k/2π≤Kq,k≤Cq+φq,k/2π。

令:

其中,round(x)表示最接近x的一個整數。搜索所有Kq,1和Kq,2的組合,計算得出最小的ΔKq,使得Kq,k(k=3,4,…,M-1)為整數,此時即最佳Kq,1、Kq,2組合,并得到正確的Kq,k(k=3,4,…,M-1)。

構造矩陣:

B[αqβq]T=C

(29)

求解方程:

綜上,本文提出的欠采樣環(huán)境下二維DOA估計方法的步驟為:

1)對接收到的信號進行FRFT,然后進行譜峰搜索得到Q個峰值坐標(αq0,μq0)(q=1,2,…,Q)。

2)計算各陣元接收信號關于αq0(q=1,2,…,Q)的FRFT,搜索峰值并構造空間時頻輸出矩陣X。

3)計算空間時頻輸出矩陣X的相關陣RXX并進行特征分解。

4)對由特征分解得到的Q個大特征值對應的特征向量進行整數搜索,得到正確的Kq,k。

6)根據式(32)、式(33)得到原始信號無模糊的俯仰角、方位角信息。

3 仿真結果與分析

1)算法精度校驗。設空間均勻圓陣天線陣陣元半徑為最小信號波長的5倍,天線由M=16個全向性陣元天線組成。圖3所示為信噪比為0時,對俯仰角進行0～90°搜索、對方位角進行0～360°搜索的二維DOA估計結果。圖4為信噪比以1 dB從-5 dB到5 dB步進時信號俯仰角和方位角的均方根誤差曲線。

圖3 信噪比為0時二維DOA估計結果

圖4 信噪比對二維DOA估計誤差的影響

從圖3可以看出,本文方法能夠在空間欠采樣條件下對寬帶LFM信號進行二維DOA估計。從圖4可以看出,文中方法在低信噪比條件下仍有較好的估計精度,且估計精度隨信噪比的增加而提高。

2)陣元個數對估計精度的影響。采用和上述實驗相同的寬帶LFM信號入射天線陣,建立具有不同陣元個數的均勻圓陣天線陣列,天線陣元個數依次為7、8、10、12、14、16、18、20,進行300次Monte-Carlo實驗。圖5所示是信噪比為0、天線陣元個數不同時,2個接收信號的俯仰角和方位角估計值的均方根誤差曲線。從圖5可以看出,隨著均勻圓陣陣元個數的增加,信號俯仰角和方位角估計值的均方根誤差均呈明顯下降趨勢。

圖5 陣元個數對二維DOA估計誤差的影響

3)均勻圓陣與非均勻L陣性能對比。設置均勻圓陣陣元個數為15,半徑為10.6 cm;非均勻L陣陣元個數為15,陣元間距依次為5.3 cm、6.0 cm、6.7 cm、7.4 cm、8.1 cm、8.8 cm、9.5 cm,滿足稀疏陣列設置,能夠保證整數搜索法結果的唯一性。假設空間信號被2種陣列接收,圖6所示為2種陣列俯仰角和方位角估計的均方根誤差對比曲線。從圖6可以看出,本文方法對信號俯仰角和方位角估計的均方根誤差比非均勻L陣小1個～2個數量級,且在低信噪比情況下,本文方法仍具有較高的估計精度。

圖6 非均勻L陣和均勻圓陣均方根誤差對比結果

4 結束語

本文依據FRFT對寬帶LFM信號的能量聚集特性,將空間寬帶LFM信號進行時頻分離,將其變換為FRFT域的一系列平穩(wěn)單頻信號,從而構建新的空間時頻分布數據模型。對于由空間欠采樣引起的相位模糊,采用整數搜索法進行多寬帶LFM信號的無模糊二維DOA估計。實驗結果表明,本文方法在欠采樣條件下進行二維DOA估計,能夠有效降低計算量和運算復雜度,從而降低硬件成本,減輕數字處理壓力。下一步考慮將本文算法應用于相干寬帶LFM信號的無模糊DOA估計,并建立精度更高的天線陣列模型。