駱 敏，駱澤如，陳 蕾，余觀夏，林楊帆

(1.南京林業(yè)大學(xué) 物理教學(xué)實驗中心，江蘇 南京 210037；2.南京市第一中學(xué)，江蘇 南京 210001)

光杠桿原理在工程、材料、精密儀器等方面都有很多的應(yīng)用[1-3]，在大學(xué)物理實驗中，常用光杠桿測量金屬線脹系數(shù)[4-5]和楊氏模量[6-7]. 傳統(tǒng)的光杠桿測量金屬線脹系數(shù)涉及的儀器較多，光路調(diào)節(jié)復(fù)雜；占用空間較大，一般標(biāo)尺和光杠桿平面鏡之間的距離要1 m以上，測量中存在很大的誤差. 針對這些問題，本文設(shè)計了多重反射光杠桿測量微位移系統(tǒng)，通過2個平面鏡多次反射增大光程，從而進(jìn)行微小變化量的放大，利用螺旋測微計來確定放大倍數(shù).

1 實驗原理

金屬線脹系數(shù)是描述金屬受熱膨脹的重要參數(shù)，當(dāng)固體溫度升高時，由于分子的熱運動，固體微粒間的距離增大，從而使固體膨脹. 因為一般物質(zhì)的物理性質(zhì)存在各向異性，為了準(zhǔn)確研究物質(zhì)某個方向的熱膨脹性質(zhì)，通常將固體做成該方向的一維線桿，在受熱溫度不太大時，固體在該方向長度變化是溫度的線性函數(shù)，將這種現(xiàn)象叫固體的線膨脹，滿足以下方程

Lt=L0(1+αt),

(1)

其中，L0表示物體在0 ℃時的長度，Lt表示物體在溫度為t時的長度，α為固體線脹系數(shù).

由于0 ℃時的長度不易獲取，通常取2個任意的溫度t1和ti，故式(1)中固體的線脹系數(shù)α又可表示為

(2)

式中L1表示固體在溫度t1時的長度，ΔL為固體溫度由t1升到ti時的伸長量.

1.1 傳統(tǒng)光杠桿測量原理

如圖1所示，傳統(tǒng)光杠桿的測量原理為

(3)

其中，光杠桿的放大倍數(shù)為N=2D/b，xi和x1分別為溫度ti和t1是對應(yīng)標(biāo)尺的讀數(shù).

圖1 傳統(tǒng)光杠桿測量原理圖

由式(2)～(3)可得

xi=αNL1ti+x1-αNL1t1=Kti+C,

(4)

其中，斜率K=αNL1,截距C=x1-αNL1. 實驗測出多組數(shù)據(jù)(ti,xi),通過作圖求出斜率K，由此得到金屬線脹系數(shù)為

(5)

1.2 多重反射光杠桿的放大倍數(shù)

如圖2所示，激光入射角度為θ0(小角度)，當(dāng)光杠桿沒有發(fā)生微小變化時，1～3次反射后對應(yīng)的觀察點位置分別為x1，x2，x3，當(dāng)光杠桿微小變化ΔL,偏轉(zhuǎn)小角度為θ時，此時1～3次反射后觀察點位置分別變化為x1′，x2′，x3′，則反射1次觀察點位置對應(yīng)的變化量為

圖2 多重反射光杠桿放大原理圖

x1′-x1=Dtan (2θ+θ0)+Dtanθ0-2Dtanθ0=2D×θ,

(6)

反射2次觀察點位置對應(yīng)的變化量為

x2′-x2=Dtan (4θ+θ0)+

Dtan (2θ+θ0)+Dtan (2θ+θ0)+

Dtanθ0-4Dtanθ0=2D×4θ,

(7)

反射3次觀察點位置對應(yīng)的變化量為

x3′-x3=Dtan (6θ+θ0)+Dtan (4θ+θ0)+

Dtan (4θ+θ0)+Dtan (2θ+θ0)+

Dtan (2θ+θ0)+Dtanθ0-

6Dtanθ0=2D×9θ.

(8)

由式(6)～(8)可推導(dǎo)得，n次反射觀察點位置對應(yīng)的變化量為

xn′-xn=2Dn2θ,

(9)

其中θ=ΔL/b，由式(9)可得

(10)

則放大倍數(shù)為

(11)

根據(jù)式(10)，為了更好地保證多次反射后觀察點位置的變化量(xn′-xn)和銅棒伸長量(ΔL)的關(guān)系是線性的，測量時保持反射次數(shù)n不變，本文測量保持n=3.

1.3 多重反射光杠桿測量原理

光杠桿原理利用光線的反射定律將微小位移放大，通過測量放大量和放大倍數(shù)間接測量微小變化量. 多重反射激光光杠桿的方法為：1)用2個相同的平面反射鏡A和B代替?zhèn)鹘y(tǒng)光杠桿中的平面鏡增加光在傳播過程中反射次數(shù)，提高放大倍數(shù)；2)通過螺旋測微計確定放大倍數(shù).

實驗測量裝置如圖3所示. 光學(xué)放大的核心由2個平面鏡A和B組成，平面鏡B固定，平面鏡A可動，動鏡A前足尖放在被測銅桿的頂端，后足尖放在螺旋測微計平移臺上面. 激光發(fā)射器發(fā)出的激光經(jīng)過2個平面鏡之間的多次反射，由平面鏡A照射到標(biāo)尺上面. 當(dāng)被測銅桿受熱變化微小位移時，前足尖帶動動鏡A偏轉(zhuǎn)微小角度，由平面鏡A照射在標(biāo)尺上的激光相應(yīng)地會產(chǎn)生較大位移量. 同時可通過調(diào)整激光的入射角度或平面鏡長度，增加光束在2個平面鏡間的反射次數(shù)，從而增大光杠桿的放大倍數(shù). 在加熱測量前，通過調(diào)節(jié)螺旋測微計讀出使動鏡A升高或者降低微小位移d，同時記錄激光在標(biāo)尺上的前后讀數(shù)差ΔD，從而直接確定放大倍數(shù)N=ΔD/d.

圖3 實驗裝置示意圖

2 實驗數(shù)據(jù)及處理

2.1 銅桿長度的數(shù)據(jù)處理

使用50分度的游標(biāo)卡尺多次測量被測銅桿的長度，見表1.

表1 室溫下銅桿長度測量數(shù)據(jù) mm

經(jīng)計算得銅桿長度L為

L=(496.41±0.02) mm.

2.2 放大倍數(shù)確定和數(shù)據(jù)處理

表2 放大倍數(shù)測量

采用標(biāo)尺和螺旋測微計的最小分度分別為0.5 mm和0.01 mm，則標(biāo)尺的Δ儀=0.25 mm，螺旋測微計的Δ儀=0.005 mm. 由此可得

u(d1-d0)=0.004 mm,

u(D1-D0)=0.204 mm,

則放大倍數(shù)間接不確定度為

u(N)=1.2,

放大倍數(shù)為N=43.9±1.2.

2.3 標(biāo)尺讀數(shù)

采用降溫方式測量[8],將被測銅桿加熱到105 ℃停止加熱，讓銅桿自然降溫，記錄降溫過程中溫度為85,80,75,70,65,60,55，50，45，40 ℃，激光分別對應(yīng)標(biāo)尺上的讀數(shù)xi，見表3.

表3 降溫測量的實驗數(shù)據(jù)

2.4 金屬線脹系數(shù)計算

根據(jù)表3的數(shù)據(jù)通過Origin作圖擬合曲線如圖4所示，得出斜率為K=0.383±0.002 mm/℃，則測量結(jié)果為

α=(1.76±0.05)×10-5/℃.

圖4 數(shù)據(jù)線性擬合圖

3 結(jié)束語

通過測量結(jié)果可知，該光杠桿測量系統(tǒng)可以滿足實驗的測量要求. 在保留光杠桿測量微小量的放大作用的同時，使待測物理量減少和降低產(chǎn)生誤差的因素，使實驗原理和現(xiàn)象更加直觀，操作簡單，節(jié)省實驗時間. 利用平面鏡和激光器代替望遠(yuǎn)鏡，降低實驗儀器成本，占用空間減小.