(北京林業(yè)大學(xué)信息學(xué)院，北京 100083)

對(duì)高等院校而言，大學(xué)生學(xué)習(xí)能力的評(píng)價(jià)在自主招生、研究生推免、研究生培養(yǎng)潛力分析等方面具有非常重要的參考價(jià)值。通常習(xí)慣于把核心課程成績(jī)的加權(quán)平均法作為大學(xué)生學(xué)習(xí)能力的評(píng)價(jià)方法，即通過對(duì)歷次測(cè)驗(yàn)成績(jī)進(jìn)行算術(shù)平均或按固定比例將平時(shí)成績(jī)與考試成績(jī)進(jìn)行加權(quán)平均取得核心課程成績(jī)并以此評(píng)價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。但是，這一評(píng)價(jià)方法不能準(zhǔn)確地反映學(xué)生在學(xué)習(xí)中的努力“趨勢(shì)”。而且，在對(duì)大學(xué)生學(xué)習(xí)能力進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)時(shí)，往往采取定性描述的方法，而不能予以定量化。

隨著我國(guó)高等教育改革的不斷深入，對(duì)本科生和研究生的學(xué)習(xí)能力、適應(yīng)能力、培養(yǎng)前途等的綜合性評(píng)價(jià)結(jié)果成為越來越重要的考核指標(biāo)。因此，研究大學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的努力趨勢(shì)以及學(xué)習(xí)能力和適應(yīng)性的發(fā)展趨勢(shì)，并基于這些變化趨勢(shì)準(zhǔn)確地對(duì)大學(xué)生的綜合能力做出科學(xué)可靠的評(píng)價(jià)，正成為大學(xué)生綜合能力評(píng)價(jià)方法研究的一個(gè)重要發(fā)展方向。為此，筆者提出采用不包含周期性變動(dòng)的非季節(jié)性時(shí)間序列分析方法——指數(shù)平滑模型來反映大學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的能力變化趨勢(shì)，并基于此對(duì)大學(xué)生的綜合能力做出較為可靠的預(yù)測(cè)。

一、指數(shù)平滑模型

指數(shù)平滑模型是C.C.Holt于1958年提出的[1]，后經(jīng)統(tǒng)計(jì)學(xué)家的深入研究，針對(duì)非季節(jié)性時(shí)間序列指數(shù)平滑模型形成了簡(jiǎn)單指數(shù)平滑法(也稱基本指數(shù)平滑法)、Holt線性趨勢(shì)分析法和Brown線性趨勢(shì)分析法、阻尼趨勢(shì)分析法等多種平滑分析方法。其中，簡(jiǎn)單指數(shù)平滑法適用于具有水平發(fā)展趨勢(shì)的時(shí)間序列分析，但是如果時(shí)間序列具有上升或下降趨勢(shì)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生比較大的預(yù)測(cè)偏差[1]；阻尼趨勢(shì)分析法適用于處理具有逐漸消失的不包含季節(jié)成分的時(shí)間序列線性趨勢(shì)數(shù)據(jù)[2]。因此，簡(jiǎn)單指數(shù)平滑法和阻尼趨勢(shì)分析法不適用于反映學(xué)習(xí)能力變化趨勢(shì)的研究。而Brown線性趨勢(shì)分析法是Holt模型的一種特殊情況[2]，所以筆者采用Holt線性趨勢(shì)分析法作為大學(xué)生學(xué)習(xí)能力變化趨勢(shì)的分析方法。

為了清晰地說明指數(shù)平滑模型的“指數(shù)”與“平滑”的含義，筆者從簡(jiǎn)單指數(shù)平滑模型開始推證。

(一)簡(jiǎn)單指數(shù)平滑模型

簡(jiǎn)單指數(shù)平滑模型在用于分析不含趨勢(shì)成分和季節(jié)成分的序列時(shí)，具有十分良好的效果。其平滑公式如下：

Ft+1=aYt+(1-a)Ft

(1)

式(1)中：Ft+1為t+1期的指數(shù)平滑趨勢(shì)預(yù)測(cè)值，F(xiàn)t為t期的指數(shù)平滑趨勢(shì)預(yù)測(cè)值；Yt為t期的實(shí)際觀測(cè)值；a為平滑系數(shù)(也稱權(quán)重系數(shù))，取值為[0，1]。

依據(jù)式(1)，從Ft=aYt-1+(1-a)Ft-1可得到t期的指數(shù)平滑預(yù)測(cè)值，代入式(1)中則得到：

Ft+1=aYt+(1-a)[aYt-1+(1-a)Ft-1]=aYt+(1-a)aYt-1+(1-a)2Ft-1

(2)

同理，依次類推，得到簡(jiǎn)單平滑指數(shù)模型的通用公式：

Ft+1=aYt+(1-a)aYt-1+(1-a)aYt-2+(1-a)2aYt-2+(1-a)3aYt-3+…+(1-a)naYt-n+…+(1-a)tF1

(3)

式(3)中：F1是第1期的預(yù)測(cè)值，但由于數(shù)據(jù)序列中并沒有第1期的預(yù)測(cè)值，所以一般以前3期實(shí)際觀測(cè)值的算術(shù)平均值代替。同時(shí)，由于權(quán)重系數(shù)為[0，1]，所以(1-a)tF1接近于0[3]，對(duì)式(3)基本沒有影響。

由式(3)可以看出，t+1期的預(yù)測(cè)值和t期及之前所有期的實(shí)際觀測(cè)值按(1-a)n的n指數(shù)遞增，即“指數(shù)”的含義。

由于(1-a)n的n指數(shù)按步長(zhǎng)1遞增，而(1-a)為[0，1]，所以(1-a)n的值會(huì)越來越小。也就是說，對(duì)離預(yù)測(cè)值較近的觀測(cè)值賦予較大的權(quán)數(shù)，對(duì)離預(yù)測(cè)值較遠(yuǎn)的觀測(cè)值賦予較小的權(quán)數(shù)，權(quán)數(shù)由近到遠(yuǎn)按指數(shù)規(guī)律遞減，即“平滑”的含義。

(二)Holt線性趨勢(shì)模型

Holt線性趨勢(shì)模型保留了趨勢(shì)信息，適用于處理具有線性趨勢(shì)成分但不含季節(jié)性成分的時(shí)間序列數(shù)據(jù)。該模型由1個(gè)預(yù)測(cè)公式和2個(gè)平滑公式組成，其中2個(gè)平滑公式一個(gè)反映的是線性平滑信息，另一個(gè)反映的是平滑后的趨勢(shì)(增量)。

線性平滑公式：Ft=aYt+(1-a)(Ft-1+bt-1)

(5)

趨勢(shì)(增量)平滑公式：bt=β(Ft-Ft-1)+(1-β)bt-1

(6)

將式(6)展開得到下式：

bt=β(Ft-Ft-1)+(1-β)β(Ft-1-Ft-2)+(1-β)2β(Ft-2-Ft-3)+(1-β)3β(Ft-3-Ft-4)+…+(1-β)tβb1

(7)

式(7)中：b1是第1期的趨勢(shì)增量值，但數(shù)據(jù)序列中并沒有第1期的預(yù)測(cè)值，所以一般取前3期趨勢(shì)增量值的算術(shù)平均值代替；同時(shí)，由于權(quán)重系數(shù)為[0，1]，所以(1-β)tβb1接近于0，對(duì)式(7)基本沒有影響[3]。

從式(7)得到：對(duì)離預(yù)測(cè)值較近的趨勢(shì)增量被賦予了較大的權(quán)數(shù)，對(duì)離預(yù)測(cè)值較遠(yuǎn)的趨勢(shì)增量被賦予了較小的權(quán)數(shù)，權(quán)數(shù)由近到遠(yuǎn)按指數(shù)規(guī)律遞減，即趨勢(shì)增量平滑。

(三)平滑系數(shù)取值的確定

指數(shù)平滑法的估計(jì)是非線性的，其目標(biāo)是使預(yù)測(cè)值與觀測(cè)值之間的均方誤差(MSE)達(dá)到最小[2]。因此，a、β的取值原則是使預(yù)測(cè)值與觀測(cè)值間的均方誤差達(dá)到最小。在實(shí)際計(jì)算中，平滑系數(shù)取值的確定一般采用試算法，即根據(jù)時(shí)間序列情況，取a、β值進(jìn)行試算，比較不同的均方誤差，使其達(dá)到最小。

二、指數(shù)平滑模型檢驗(yàn)指標(biāo)

指數(shù)平滑模型擬合常用檢驗(yàn)指標(biāo)有R方統(tǒng)計(jì)量、平穩(wěn)的R方統(tǒng)計(jì)量和均方根誤差(RMSE)。

(一)R方統(tǒng)計(jì)量(R-Squre)

R方統(tǒng)計(jì)量用來估計(jì)由模型解釋的變異在總變異中的比例，計(jì)算公式為：

R方統(tǒng)計(jì)量為負(fù)值時(shí)，表示當(dāng)前模型沒有基本均值模型可靠；為正值時(shí)(小于1)，表示當(dāng)前模型優(yōu)于基本均值模型[3]。

(二)平穩(wěn)的R方統(tǒng)計(jì)量(Stationary R-Squre)

平穩(wěn)的R方統(tǒng)計(jì)量用來比較模型中的固定成分與簡(jiǎn)單均值模型的差別。當(dāng)原始序列中有趨勢(shì)成分或季節(jié)性成分時(shí)，其優(yōu)于R方統(tǒng)計(jì)量。其計(jì)算公式為：

平穩(wěn)的R方統(tǒng)計(jì)量為負(fù)值時(shí)，表示當(dāng)前模型沒有基本均值模型可靠；為正值時(shí)(小于1)，表示當(dāng)前模型要優(yōu)于基本均值模型[2]。

(三)均方根誤差(Root Mean Square Error，RMSE)

均方根誤差(RMSE)用來度量原始因變量序列與它的模型預(yù)測(cè)值之間的差異[3]，計(jì)算公式為：

三、指數(shù)平滑模型在學(xué)習(xí)能力變化趨勢(shì)評(píng)價(jià)中的應(yīng)用

(一)數(shù)據(jù)來源

為了評(píng)價(jià)大學(xué)生學(xué)習(xí)能力發(fā)展變化趨勢(shì)，筆者在積累網(wǎng)絡(luò)工程專業(yè)某專業(yè)課一學(xué)期的學(xué)生平時(shí)測(cè)驗(yàn)成績(jī)的基礎(chǔ)上，采用簡(jiǎn)單指數(shù)平滑模型和Holt線性趨勢(shì)模型分別估計(jì)學(xué)生學(xué)習(xí)能力發(fā)展趨勢(shì)的預(yù)測(cè)值；然后將預(yù)測(cè)值與均值進(jìn)行比較，用以評(píng)價(jià)指數(shù)平滑模型在學(xué)生學(xué)習(xí)能力發(fā)展變化趨勢(shì)評(píng)價(jià)中的適用性。具體操作如下：首先，采用機(jī)械抽樣方法，從網(wǎng)絡(luò)工程專業(yè)某專業(yè)課29人的教學(xué)班級(jí)中抽取學(xué)號(hào)為奇數(shù)的14組課程平時(shí)測(cè)驗(yàn)成績(jī)作為時(shí)間序列樣本(樣本編號(hào)為S1、S3、S5……S27)；其次，選取每周進(jìn)行一次的課程測(cè)驗(yàn)時(shí)間構(gòu)成符合無季節(jié)性變動(dòng)的隨機(jī)時(shí)間序列數(shù)據(jù)；最后，基于樣本數(shù)據(jù)(詳見表1)，采用簡(jiǎn)單指數(shù)平滑模型與Holt線性趨勢(shì)模型分別估計(jì)學(xué)生學(xué)習(xí)能力發(fā)展趨勢(shì)的預(yù)測(cè)值。

表1 網(wǎng)絡(luò)工程專業(yè)某專業(yè)課平時(shí)測(cè)驗(yàn)時(shí)間序列樣本數(shù)據(jù)

(二)數(shù)據(jù)預(yù)處理

指數(shù)平滑模型要求時(shí)間序列擬合樣本數(shù)據(jù)具有平穩(wěn)性。數(shù)據(jù)平穩(wěn)性的判斷條件是：均值不隨時(shí)間變化，方差不隨時(shí)間變化，自相關(guān)系數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)而與所處的具體時(shí)刻無關(guān)。

為了獲得時(shí)間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性，需對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)性預(yù)處理，可采取的方法有差分法、中心移動(dòng)平均法、平滑法等。筆者采用中心移動(dòng)平均方法(MA(var，1，1))來獲得樣本時(shí)間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性。

(三)指數(shù)平滑模型數(shù)據(jù)處理結(jié)果

筆者采用SPSS統(tǒng)計(jì)分析軟件對(duì)上述14組時(shí)間序列樣本數(shù)據(jù)分別進(jìn)行了簡(jiǎn)單指數(shù)平滑模型和Holt線性趨勢(shì)模型的擬合，從而獲得分別以Simple預(yù)測(cè)值和Holt預(yù)測(cè)值表示的學(xué)生學(xué)習(xí)能力發(fā)展趨勢(shì)的預(yù)測(cè)值；然后將預(yù)測(cè)值與樣本數(shù)據(jù)的均值進(jìn)行比較，獲得反映學(xué)生學(xué)習(xí)能力變化趨勢(shì)的結(jié)果，詳見表2。

表2 基于網(wǎng)絡(luò)工程專業(yè)某專業(yè)課平時(shí)測(cè)驗(yàn)時(shí)間序列樣本數(shù)據(jù)的指數(shù)平滑模型數(shù)據(jù)處理結(jié)果

(四)結(jié)果分析

1.與基本均值模型的比較分析

由于采用帶有趨勢(shì)增量的Holt線性趨勢(shì)模型，所以在檢驗(yàn)指標(biāo)中主要參考平穩(wěn)的R方指標(biāo)。從表2可以得到，所有樣本的平穩(wěn)R方值均大于0且接近于1，這說明Holt線性趨勢(shì)模型要優(yōu)于基本均值模型。

2.樣本學(xué)習(xí)能力發(fā)展趨勢(shì)評(píng)價(jià)分析

從表2可以得到，在14個(gè)樣本時(shí)間序列數(shù)據(jù)中，有1個(gè)樣本的變化趨勢(shì)是“下降”，即樣本的學(xué)習(xí)能力出現(xiàn)下降趨勢(shì)，下降幅度為8.9%；有3個(gè)樣本的變化趨勢(shì)是“持平”；有10個(gè)樣本的變化趨勢(shì)是“上升”，其中樣本學(xué)習(xí)能力變化最大的，上升幅度為21.6%。

筆者從變化趨勢(shì)為“上升”“持平”“下降”的樣本中各隨機(jī)選取了1個(gè)樣本，即S7、S15、S23樣本；然后使用Holt線性趨勢(shì)模型擬合出10次課程平時(shí)測(cè)驗(yàn)的趨勢(shì)預(yù)測(cè)值，并繪制了實(shí)際數(shù)據(jù)與Holt線性趨勢(shì)模型預(yù)測(cè)值的對(duì)比折線圖(詳見圖1)。

圖1 變化趨勢(shì)為“上升”“持平”“下降”樣本的課程平時(shí)測(cè)驗(yàn)實(shí)際觀測(cè)值與Holt線性趨勢(shì)模型預(yù)測(cè)值的對(duì)比結(jié)果

以圖1中的實(shí)際觀測(cè)值與預(yù)測(cè)值的對(duì)比結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，Holt線性趨勢(shì)模型能夠明顯地反映S7樣本學(xué)習(xí)能力變化的下降趨勢(shì)、S15樣本學(xué)習(xí)能力變化的持平趨勢(shì)、S23樣本學(xué)習(xí)能力變化的上升趨勢(shì)。

3.Holt線性趨勢(shì)模型與簡(jiǎn)單指數(shù)平滑模型的比較

從表2中的Simple預(yù)測(cè)值和均值的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，簡(jiǎn)單指數(shù)平滑模型反映的樣本學(xué)習(xí)能力變化趨勢(shì)較為滯后，且預(yù)測(cè)值更加接近于均值。

4.Holt線性趨勢(shì)模型預(yù)測(cè)的效果驗(yàn)證

為了驗(yàn)證Holt線性趨勢(shì)模型預(yù)測(cè)的實(shí)際效果，筆者將14個(gè)樣本的課程期未總評(píng)成績(jī)作為真值，與Holt線性趨勢(shì)模型預(yù)測(cè)值、平時(shí)10次課程測(cè)驗(yàn)成績(jī)的算術(shù)平均值(即“均值”)進(jìn)行比較，得到的結(jié)果詳見表3。

由表3可以看出，與課程期末總評(píng)成績(jī)相比較，Holt線性趨勢(shì)模型預(yù)測(cè)值比平時(shí)課程測(cè)驗(yàn)成績(jī)的均值更能反映樣本學(xué)習(xí)能力發(fā)展趨勢(shì)的變化，且對(duì)趨勢(shì)的變化更加敏感；即便Holt預(yù)測(cè)值與期末總評(píng)成績(jī)間存在著[-10%，10%〗的誤差，但在與期末總評(píng)成績(jī)存在±10%的誤差概率條件下仍能較好地反映樣本學(xué)習(xí)能力發(fā)展的變化趨勢(shì)。

表3 14個(gè)樣本的課程期未總評(píng)成績(jī)與Holt線性趨勢(shì)模型預(yù)測(cè)值和平時(shí)課程測(cè)驗(yàn)成績(jī)均值的比較結(jié)果

四、基于指數(shù)平滑模型的學(xué)習(xí)能力變化趨勢(shì)評(píng)價(jià)方法的研究結(jié)論

筆者認(rèn)為，在對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、努力程度、學(xué)習(xí)適應(yīng)性等進(jìn)行評(píng)價(jià)時(shí)，應(yīng)通過觀察一定時(shí)期內(nèi)的時(shí)間序列數(shù)據(jù)，給出具有發(fā)展趨勢(shì)性的評(píng)價(jià)。然而，當(dāng)前廣泛使用的基于算術(shù)平均的基本均值模型評(píng)價(jià)機(jī)制掩蓋了學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的發(fā)展趨勢(shì)，不能準(zhǔn)確地反映學(xué)生的努力程度和持續(xù)性，更不能完整地反映學(xué)生學(xué)習(xí)能力的發(fā)展變化過程。而在學(xué)生學(xué)習(xí)能力變化趨勢(shì)評(píng)價(jià)方法的研究過程中，筆者發(fā)現(xiàn)運(yùn)用指數(shù)平滑模型對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、努力程度、學(xué)習(xí)適應(yīng)性等的發(fā)展趨勢(shì)進(jìn)行評(píng)價(jià)時(shí)，指數(shù)平滑模型中的Holt線性趨勢(shì)模型能夠較為準(zhǔn)確地給出模型預(yù)測(cè)值，既優(yōu)于簡(jiǎn)單指數(shù)平滑模型，也優(yōu)于基本均值模型；而且經(jīng)效果驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)，將帶有趨勢(shì)的Holt預(yù)測(cè)值與均值相比較，能夠比較準(zhǔn)確、定量化地反映學(xué)生學(xué)習(xí)能力的發(fā)展變化趨勢(shì)，從而較好地對(duì)學(xué)生的綜合能力進(jìn)行客觀的評(píng)價(jià)。