郭學軍，蓋曉華，劉登第

(1.南陽理工學院 a.數(shù)學與統(tǒng)計學院; b. 電子與電氣工程學院，河南 南陽 473000;2.空軍指揮學院 作戰(zhàn)仿真研究所，北京 100097)

0 引言

加速壽命試驗是一種采用較產(chǎn)品正常狀態(tài)更加嚴酷的試驗條件，通過在有限時間內搜集更多的產(chǎn)品壽命與可靠性信息，提高或預測產(chǎn)品壽命與可靠性的內場試驗方法，主要是為了節(jié)省時間、降低費用.試驗的基本思想是利用加速退化數(shù)據(jù)對高可靠長壽命產(chǎn)品進行可靠性評估與壽命預測.這種試驗方法已被廣泛地應用在可靠性要求較高行業(yè)或領域之中，尤其是航空、航天及軍事等領域，多數(shù)情況下需要的樣本容量較少.如何在小樣本的情況下實現(xiàn)比較精確的外推，數(shù)據(jù)的挖掘建模技術就顯得非常重要[1,2].

小樣本問題的預測模型有很多種，其中灰色GM(1,1)模型就是一種典型的預測模型.它通過灰生成方式來挖掘數(shù)據(jù)的深層次信息，弱化系統(tǒng)的隨機性，從而使紊亂的原始數(shù)據(jù)列呈現(xiàn)出某種規(guī)律性.由于灰色預測所需要的數(shù)據(jù)量比較少，樣本分布不需要有規(guī)律性，檢驗方便，且預測比較準確，已成功地解決了生產(chǎn)、生活和科學研究中的大量實際問題.傳統(tǒng)的GM(1,1)模型其數(shù)據(jù)序列通常是等距的，然而現(xiàn)實問題中有許多非等距問題.對于非等距問題，文獻[3-6]分別從原始數(shù)據(jù)加權累加生成、背景值構造等方面進行了研究和探討，并取得了一定的效果，但運用中仍有其解決不了的問題存在.

本文給出了一種新的非等距GM(1,1)模型，該模型與傳統(tǒng)的非等距生成方式不同，在數(shù)據(jù)生成處理時，不是直接利用原始數(shù)據(jù)進行建模預測，而是通過對原始數(shù)據(jù)列取對數(shù)變換作降幅平滑處理和對背景值作相對權重的加權處理.平滑處理有利于規(guī)律的尋求和預測精度的提高.背景值加權的權重是相對距離，而不是絕對距離，可以有效地避免改變原始數(shù)據(jù)列的性質.

1 溫度應力下的Arrhenius模型

以文獻[7]所提供的表1數(shù)據(jù)進行非等距加速應力壽命預測.表1是某廠制造的一種新型材料，為了預測正常溫度150 ℃下的壽命，采用加速應力實驗得到的4個溫度下的壽命數(shù)據(jù).

表1 4個溫度下電機的平均壽命Tab. 1 Average life of motors at four temperatures

在加速壽命試驗中用溫度作為應力常數(shù)是常見的，因為高溫能使產(chǎn)品(電子元器件、絕艷材料等)內部加快化學反應，促使產(chǎn)品提前失效.Arrhenius在1800年研究了這類化學反應，在大量數(shù)據(jù)的基礎上，提出了加速模型:

θ=AeE/KT,

其中:θ是某壽命特征，如中位壽命、平均壽命等;A是一個常數(shù)，且A>0;E是激活能，與材料有關，單位是電子伏特，以eV表示;K是玻爾茲曼常數(shù)，為80617×10-5eV/℃，從而E/K的單位是溫度，故又稱E/K為激活溫度;T是絕對溫度，它等于攝氏溫度加273[7].

Arrhenius模型表明，壽命特征隨著溫度的上升而按指數(shù)下降.對此模型兩邊取對數(shù)，可得

lnθ=a+b/T,

(1)

其中a=lnA,b=E/K.它們都是待定的參數(shù).Arrhenius模型表明，壽命特征的對數(shù)是溫度倒數(shù)的線性函數(shù).根據(jù)表1中4個溫度下電機加速應力實驗數(shù)據(jù)，推測正常溫度下(150 ℃)的壽命.

電機的壽命特征隨著溫度的上升而按指數(shù)下降，按照最小二乘原理可求得模型lnθ=a+b/T中的

a=-3.697 5，b=5 674.9940.

壽命預測方程為

lnθ=-3.697 5+5 674.994 0/T.

(2)

根據(jù)方程(2)可得歷史數(shù)據(jù)與模擬數(shù)據(jù)的對比圖，如圖1所示.

根據(jù)方程(2)可得，絕對溫度為423 K(150 ℃)時，壽命值為16 623.625 h.現(xiàn)將原始數(shù)據(jù)和預測數(shù)據(jù)作對比，并計算相對誤差，結果如表2所示.從表2可以得出平均誤差為3.1%.

通常情況下，以溫度作為電機的加速應力的試驗壽命外推常采用Arrhenius模型，但Arrhenius模型是一種物性論模型，它只有當老化過程是一個單一的化學反應，而且用作評定材料老化的性能確能反應材料老化過程中組成或結構的變化時才能應用.這說明Arrhenius模型的使用存在一定的局限性[8,9].

圖1 Arrhenius模擬結果Fig. 1 Arrhenius simulation result

表2 電機壽命值對比表Tab. 2 Comparison of the motor life

由于灰色建模理論是應用數(shù)據(jù)生成手段來挖掘數(shù)據(jù)的深層次信息，實驗數(shù)據(jù)本身就蘊含著實驗過程的各種信息，這樣就可以有效地避免通過單一的因素分析給整體帶來的弊端.另一方面，灰色建模通過灰生成的方式弱化了系統(tǒng)的隨機性，具有所需樣本少、計算簡便、檢驗方便等特點.基于此，為避免Arrhenius模型在電機試驗壽命外推中的不足，可用灰色建模理論對電機的可靠性壽命進行預測.然而，灰色預測模型在使用過程中也會遇到檢驗勉強合格、不合格的狀況，即使檢驗為合格或好，但有時也不一定滿足實際要求的精度.于是灰色系統(tǒng)理論提出了利用殘差修正模型來進行建模.而殘差建模時，修正的殘差系列必須是從某一項起，均大于或小于原始數(shù)據(jù)才能建模，且殘差數(shù)據(jù)列不少于4個才能有效[10-12].為了有效地避免上述問題的發(fā)生，下面對灰色非等距GM(1,1)模型進行改進.

2 改進的非等距GM(1,1)模型

2.1 非等距GM(1,1)模型的基本思想

設原始數(shù)據(jù)列x(0)=(x(0)(t1),x(0)(t2),…,x(0)(tn)),其中Δti=ti-ti-1≠const,i=2,3,…,n，進行一次累加，生成數(shù)據(jù)列為

x(1)=(x(1)(t1),x(1)(t2),…,x(1)(tn)),

其中

由數(shù)據(jù)列x(1)建立GM(1，1)模型:

(3)

yn為向量:

yn=(x(0)(t2),x(0)(t3),…,x(0)(tn))T.

白化形式的微分方程的解為

k=1,2,…,n.

(4)

還原模型為

k=1,2,…,n.

(5)

2.2 改進的非等距GM(1,1)模型建模思想和步驟

傳統(tǒng)的非等距GM(1,1)模型在對原始數(shù)據(jù)列進行累加生成時，即

所乘的Δti=ti-ti-1≠const，i=2,3,…,n是絕對距離，不是相對距離，尤其是當原始數(shù)據(jù)列(x(0)(t1),x(0)(t2),…,x(0)(tn))中的|x(0)(tk)|數(shù)值比較小，而Δti的值相對比較大時，所生成的數(shù)據(jù)x(1)(tk)列會改變原始數(shù)據(jù)列x(0)(tk)的性質，這樣以x(1)(tk)為基礎建立的微分方程模型就不能真實反映原始數(shù)據(jù)列的規(guī)律性，求解結果容易產(chǎn)生較大偏差.現(xiàn)對傳統(tǒng)非等距GM(1,1)模型作改進，其步驟如下.

1)對原始數(shù)據(jù)列x(0)=(x(0)(t1),x(0)(t2),…,x(0)(tn))進行對數(shù)變換

y(0)=lnx(0)=

(lnx(0)(t1),lnx(0)(t2),…,lnx(0)(tn)).

2)作一次累加生成數(shù)據(jù)列為

y(1)=(y(1)(t1),y(1)(t2),…,y(1)(tn)),

其中

以y(1)為原始數(shù)據(jù)列建立GM(1，1)模型

(6)

3)采用加權緊鄰均值法構造背景值，

4)按最小二乘法求解得

(7)

k=1,2,…,n,

5)還原計算

(8)

k=1,2,…,n,

x(0)(tk)=ey(0)(tk),k=1,2,…,n.

(9)

其中，

然后計算后驗差比值c及小概率誤差p,

c=s2/s1，

根據(jù)表3來判定模型的精度.如果模型滿足后驗差檢驗要求，即認為模型合格.

表3 灰色預測模型精度Tab. 3 Precision of grey forecast model

灰生成是灰色系統(tǒng)理論最顯著的特點之一.改進的非等距GM(1,1)模型正是基于此思想.改進的主要目的和作用體現(xiàn)在兩個方面：1)作對數(shù)變換的目的是對原始數(shù)據(jù)列作降幅平滑處理.2)背景值作加權乘積中的權重是相對距離，而不是絕對距離，目的是避免改變原始數(shù)據(jù)列的性質.

3 非等距加速應力算例分析

3.1 改進的非等距灰色GM(1,1)模型應用

依據(jù)表1，根據(jù)改進后灰色預測模型的式(7)和式(8)可得還原后的模型方程為

(10)

利用Matlab編程可求得模型參數(shù)為

a=-0.073 8,u=6.562 58,

得模型方程

(11)

根據(jù)式(11)可繪出預測數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)對比圖，如圖2所示.進而可計算各溫度下預測壽命值及其相對誤差，其結果如表4所示.Matlab運行結果顯示p=1，c= 0.030 15，精度等級為好，并且平均相對誤差為2.087%.

圖2 預測值與原始值對比圖Fig. 2 Comparison between the predicted value andoriginal value

表4 改進非等距GM(1,1)模型預測值與原始值對比表Tab. 4 Comparison between improved non-equidistantGM (1,1) mode predicted data and original data

3.2 傳統(tǒng)的非等距灰色GM(1,1)模型

依據(jù)表1，根據(jù)改進后灰色預測模型的式(7)和式(8)可得還原后的模型方程為

(12)

即，還原后的模型方程為

(13)

根據(jù)式(13)可繪出預測數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)對比圖，如圖3所示.進而可計算各溫度下預測壽命值及其相對誤差，其結果如表5所示.Matlab運行結果顯示p=0.5，c=1.180 0，精度等級為差，并且平均相對誤差為97.61%.誤差太大，可見式(13)不能作為預測模型.

圖3 預測值與原始值對比圖Fig. 3 Comparison between predicted and original values

表5 傳統(tǒng)非等距GM(1,1)模型預測值與原始值對比表Tab. 5 Comparison between traditional non equidistantGM (1,1) mode predicted data and original data

3.3 幾種外推方法的比較

為了有效地說明幾種方法的優(yōu)劣，下面把幾種模型的平均誤差進行對比，其結果如表6所示.從表6可以看出，本文所給出的改進的非等距灰色GM(1,1)模型的效果好.

表6 模型平均相對誤差對比表Tab. 6 Comparison of average relative error ofdifferent models

4 結論

本文所給出的改進非等距GM(1,1)模型，從基于小樣本的灰色生成思想出發(fā)，進一步挖掘了灰色理論的建模優(yōu)勢，不僅改進了非等距GM(1,1)建模方法，而且有效地彌補了Arrhenius模型單因素建模預測的不足，在非等距加速應力預測運用方面顯示出了很好的建模優(yōu)勢，相信對相同性質問題的解決具有參考意義.但加速應力壽命試驗的外推技術是一個復雜的技術問題，本文所給出的方法仍有進一步探討的空間.