王晞，唐權(quán)，陳禮頻，張玉鴻，闞力豐，李華強(qiáng)

(1．國(guó)網(wǎng)四川省電力公司 經(jīng)濟(jì)技術(shù)研究院，成都610041;2．四川大學(xué) 電氣信息學(xué)院，成都610065)

0 引言

隨著工業(yè)過(guò)程中大量敏感設(shè)備投入使用，電壓暫降和短時(shí)中斷對(duì)工業(yè)敏感用戶造成的經(jīng)濟(jì)損失日趨嚴(yán)重［1-3］。國(guó)際電氣和電子工程師協(xié)會(huì)(IEEE)定義電壓暫降為電壓有效值快速下降到額定值的90%-10%，持續(xù)時(shí)間為0．5 周波至 1min［4］的電能質(zhì)量現(xiàn)象。電網(wǎng)故障是電壓暫降的主要成因［5］，工業(yè)敏感用戶是否受電壓暫降的影響與自身敏感度、所處位置和電網(wǎng)故障點(diǎn)位置等因素有關(guān)［6］。電壓暫降凹陷域是指系統(tǒng)故障引起電壓暫降使系統(tǒng)中所關(guān)注的公共連接點(diǎn)(Point of Common Coupling，PCC)電壓降至最低耐受電壓幅值以下的故障點(diǎn)所在的區(qū)域［5］。電壓暫降凹陷域識(shí)別的意義在于其對(duì)電網(wǎng)規(guī)劃、改造以及工業(yè)敏感用戶選址提供的理論依據(jù)和數(shù)據(jù)支撐。

現(xiàn)有的電壓暫降凹陷域識(shí)別方法主要包括實(shí)測(cè)法和預(yù)估法［7-11］。實(shí)測(cè)法需要對(duì)電力系統(tǒng)和電力用戶進(jìn)行長(zhǎng)期觀測(cè)，其時(shí)間成本和經(jīng)濟(jì)成本都很高，可行性不強(qiáng)。文獻(xiàn)［7］和文獻(xiàn)［8-10］分別介紹了臨界距離法和故障點(diǎn)法，但臨界距離法適用于輻射型網(wǎng)絡(luò)的計(jì)算，而不適用于環(huán)網(wǎng)計(jì)算;故障點(diǎn)法若要達(dá)到1%的精度則需在每條線路均勻設(shè)置100個(gè)故障點(diǎn)，且對(duì)于故障點(diǎn)的設(shè)置國(guó)內(nèi)外尚無(wú)統(tǒng)一認(rèn)識(shí)［8］。文獻(xiàn)［11］提出一種利用暫降幅值解析計(jì)算式計(jì)算凹陷域的方法，遺憾的是其求解使用的數(shù)值處理方法單一，算法性能有待提高。

針對(duì)上述問(wèn)題，提出一種基于多種數(shù)值分析方法的電壓暫降凹陷域解法，詳細(xì)闡述了凹陷域解析計(jì)算所涉及的數(shù)值分析方法。在保證計(jì)算準(zhǔn)確度的前提下提高計(jì)算速度，為大型系統(tǒng)的凹陷域計(jì)算提供快速準(zhǔn)確的計(jì)算方法。將臨界故障點(diǎn)的求解問(wèn)題簡(jiǎn)化為二次函數(shù)與暫降閾值的交點(diǎn)問(wèn)題，并按根的個(gè)數(shù)分情況處理，避免逐一計(jì)算各線路故障導(dǎo)致敏感節(jié)點(diǎn)電壓暫降的最大幅值和最小幅值，彌補(bǔ)了對(duì)所有線路采取同樣的數(shù)值處理方法所導(dǎo)致的算法低效和局部不收斂的不足。

1 電壓暫降幅值解析式

假設(shè)傳輸線路i－j上f點(diǎn)發(fā)生故障，用p表示故障距離，如圖1所示。

圖1 故障距離示意圖Fig．1 Fault distance schematic diagram

式中p∈ [ 0 ，1 ] ;Lif為線路首端到故障點(diǎn)f的距離;Lij為線路首端到末端的距離。

電壓暫降幅值解析式可用故障距離p為變量表示如下:

式中m表示所關(guān)注PCC節(jié)點(diǎn);f為故障點(diǎn);Zmf為所關(guān)注節(jié)點(diǎn)與故障點(diǎn)的互阻抗矩陣;Zff為故障點(diǎn)阻抗矩陣;0、1、2分別表示零序、正序和負(fù)序。

其中正、負(fù)、零序阻抗矩陣的計(jì)算方法文獻(xiàn)［11］已做詳細(xì)闡述，文中不再贅述。各類型故障情況下節(jié)點(diǎn)電壓幅值計(jì)算式如式(4)～式(10)所示，其中不對(duì)稱故障均以A相為基準(zhǔn)相。

三相接地短路:單相接地短路:

式中 α =ej120°;下標(biāo) a，b，c分別代表系統(tǒng)中的A、B、C 相。

2 臨界故障點(diǎn)計(jì)算

臨界故障點(diǎn)計(jì)算是凹陷域識(shí)別的關(guān)鍵步驟［11］，而現(xiàn)有臨界故障點(diǎn)計(jì)算使用的數(shù)值處理方法單一，算法性能較差。由前文所述易知，電壓暫降幅值解析計(jì)算式是故障距離的二次函數(shù)，待求的臨界故障點(diǎn)方程為高階非線性方程。因此，在給定電壓閾值的情況下，臨界故障點(diǎn)的求解問(wèn)題可等效為二次函數(shù)與電壓閾值的交點(diǎn)問(wèn)題，如圖2所示。

圖2 暫降幅值解析式與閾值的交點(diǎn)示意圖Fig．2 Schematic diagram of the intersection of sag amplitude equation and threshold

2．1 根的個(gè)數(shù)問(wèn)題

由圖2可知，曲線1～3分別刻畫(huà)了根個(gè)數(shù)為2個(gè)、1個(gè)(重根)和無(wú)根的情況。此外，在實(shí)際求解過(guò)程中，還伴隨著根值無(wú)意義的情況，即pi＜0或pi＞1，此時(shí)需要視具體情況做區(qū)別處理。根的個(gè)數(shù)，可通過(guò)兩種途徑得到，一是利用搜索算法求得曲線中的最大值，通過(guò)比較最大值與暫降閾值的大小關(guān)系判定根的個(gè)數(shù);二是利用插值方法求出暫降幅值對(duì)故障距離的顯式表達(dá)式近似替代真實(shí)的幅值表達(dá)式，進(jìn)一步利用判別式與根個(gè)數(shù)的關(guān)系判斷，下面對(duì)兩種方法展開(kāi)解釋。

2．1．1 最大值搜索算法

電壓暫降幅值解析式是一種典型的一元單峰函數(shù)，黃金分割搜索法能快速求解一元單峰函數(shù)最值。該算法在函數(shù)定義區(qū)間內(nèi)依據(jù)黃金分割比例對(duì)稱取得一系列搜索點(diǎn)，通過(guò)計(jì)算和比較對(duì)應(yīng)的函數(shù)值不斷縮小搜索區(qū)間來(lái)逼近函數(shù)最值解和對(duì)應(yīng)的最值［12-13］。通過(guò)黃金分割搜索算法求解最大暫降幅值對(duì)應(yīng)的故障距離，求解步驟如下:

(1)確定搜索上界pu和下界pd，由式(11)計(jì)算故障距離p1和p2:

(2)將故障距離代入電壓暫降幅值計(jì)算式得到V(p1)和V(p2);

(3)比較V(p1)和V(p2)的大小，若V(p1)＜V(p2)，則最大暫降幅值處于 ［p1，pu］內(nèi)，令 pd=p1;反之最大暫降幅值則處于［pd，p2］，令pu=p2;

2．1．2 插值方法

牛頓插值法不但繼承了迭代插值便于增加節(jié)點(diǎn)的優(yōu)點(diǎn)，還能給出插值多項(xiàng)式的顯式表達(dá)式［14］。由于暫降幅值表達(dá)式是故障距離p的二次函數(shù)，因此使用牛頓插值法時(shí)僅用到二階均差即可，如式(12)所示，牛頓插值系數(shù)可由式(13)～式(15)計(jì)算得到。

在利用牛頓插值法得到暫降幅值顯式表達(dá)式的基礎(chǔ)上，將二次方程求根公式求出的根值作為弦割法迭代初值。

2．2 根的求解方法

非線性方程根的數(shù)值求解方法有很多:牛頓迭代法(如式(16)所示)收斂速度快，但它對(duì)導(dǎo)數(shù)表達(dá)式f'(xk)的要求在f(xk)未知的情況下難以滿足;簡(jiǎn)化牛頓法(如式(17)所示)將f'(xk)用常數(shù)C替換，其計(jì)算性能依賴于常數(shù)C的選取，然而實(shí)際計(jì)算中合適的C值很難選取;弦割法(式(18)所示)較好地避免了上述問(wèn)題，且其幾何意義明確［14］，如圖3所示。本文利用弦割法求解臨界故障點(diǎn):

圖3 弦割法求解示意圖Fig．3 Schematic diagram of secant method

過(guò)曲線 y=f(x) 上兩點(diǎn) Pk－1，Pk作直線 PkPk－1，將該直線與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)xk+1作為根α新的近似值，該割線方程為:

經(jīng)整理可得:

經(jīng)推導(dǎo)得到臨界故障距離迭代表達(dá)式:

式中k為迭代次數(shù);Vthre為電壓暫降閾值。

3 基于數(shù)值分析理論的凹陷域求解方法

上述方法的適用場(chǎng)景、計(jì)算速度和迭代精度都不盡相同，因此本文提出基于數(shù)值分析理論的凹陷域求解方法旨在保證算法精度的前提下提高計(jì)算速度，以期為大型系統(tǒng)的計(jì)算提供幫助。

計(jì)算各節(jié)點(diǎn)故障時(shí)敏感節(jié)點(diǎn)s的暫降幅值，形成PCC點(diǎn)暫降幅值n維向量Vsag:

Vsag= ［V1s…Vns］T(21)

式中Vis為母線i故障時(shí)敏感負(fù)荷所在節(jié)點(diǎn)s的暫降幅值。

計(jì)算各節(jié)點(diǎn)故障時(shí)敏感節(jié)點(diǎn)暫降幅值與電壓暫降閾值的差值，形成差值向量ΔVsag。通過(guò)判斷該向量元素的正負(fù)可知各節(jié)點(diǎn)是否處在敏感節(jié)點(diǎn)的暫降凹陷域內(nèi)，可以避免計(jì)算整條線路中引起暫降幅值最大和最小的點(diǎn)，從而節(jié)省了計(jì)算時(shí)間開(kāi)支。

式中Vsag(i)為節(jié)點(diǎn)i的電壓暫降幅值。

為便于計(jì)算，將ΔVsag大于等于0的母線標(biāo)記為1，反之標(biāo)記為0，并形成節(jié)點(diǎn)記號(hào)向量B。

相應(yīng)地，將每條線路中:首端節(jié)點(diǎn)和末端節(jié)點(diǎn)都處在敏感節(jié)點(diǎn)的暫降凹陷域內(nèi)的線路(以下簡(jiǎn)稱“凹陷域”)標(biāo)記為2;將一端處在凹陷域內(nèi)的線路標(biāo)記為1;首末端都不位于凹陷域中的線路記為0。由此可形成線路記號(hào)向量L。結(jié)合二次函數(shù)圖像分析如下:

Case 1:L=0表示線路首末節(jié)點(diǎn)電壓幅值均低于電壓閾值，由二次函數(shù)的幾何意義易知該條線路都不在凹陷域內(nèi);

Case 2:L=1表示線路首末節(jié)點(diǎn)有一個(gè)處于凹陷域內(nèi)，該情況又可分為2種情況，如圖4的1，2曲線所示。此時(shí)均需求解二次函數(shù)與閾值的另一個(gè)交點(diǎn)，使用牛頓插值法以線路首、末、中點(diǎn)故障距離和暫降幅值為插值點(diǎn)求解顯式表達(dá)式，即(0，Vfrom)、(0．5，V0．5)和(1，Vto)，利用二次函數(shù)求根公式求該插值函數(shù)的根作為弦割法迭代的初始解;

圖4 L=1時(shí)臨界故障點(diǎn)示意圖Fig．4 Critical fault point schematic diagram when L=1

Case 3:L=2表示線路首末節(jié)點(diǎn)暫降幅值均低于閾值，此時(shí)僅需通過(guò)確定暫降幅值的最大值與電壓閾值的大小關(guān)系即可確定臨界故障點(diǎn)個(gè)數(shù)。若暫降幅值最大值大于電壓閾值則說(shuō)明該線路有兩個(gè)臨界故障點(diǎn);反之則表示該條線路完全處于凹陷域內(nèi)。如圖5所示，具體計(jì)算步驟如下:

(1)首先計(jì)算給定的系統(tǒng)的正、負(fù)、零節(jié)點(diǎn)阻抗矩陣，并使用式(4)～式(10)分別計(jì)算得到敏感負(fù)荷所在節(jié)點(diǎn)在各節(jié)點(diǎn)發(fā)生不同故障類型時(shí)電壓暫降幅值;

(2)根據(jù)步驟(1)得到的敏感節(jié)點(diǎn)的暫降幅值向量Vsag，按照式(23)計(jì)算節(jié)點(diǎn)記號(hào)向量B和線路記號(hào)向量L，并開(kāi)始逐條線路輪詢。若Li為0說(shuō)明此線路不在凹陷域內(nèi)，則直接計(jì)算下一條線路;若Li為1則說(shuō)明該條線路首末節(jié)點(diǎn)有一個(gè)處在凹陷域內(nèi)，用牛頓插值法尋找暫降幅值的顯式表達(dá)式;若Li為2則用黃金分割搜索法求解其最大值。將求得的最大值與電壓閾值比較，若最大幅值小于等于閾值，則說(shuō)明此線路處在凹陷域內(nèi)，否則使用牛頓插值法利用(0，Vfrom) 、(pmax，Vmax) 和(1，Vto)三點(diǎn)求暫降幅值表達(dá)式。得到顯式表達(dá)式后均采用弦割法迭代求解準(zhǔn)確值;

(3)重復(fù)步驟(1)、步驟(2)直到完成系統(tǒng)所有線路的迭代或輪詢，此時(shí)可得到給定閾值和敏感負(fù)荷節(jié)點(diǎn)下的電壓暫降凹陷域。

圖5 電壓暫降凹陷域快速求解算法流程圖Fig．5 Flowchart of fast solution algorithm for vulnerable area of voltage sag

算例使用的計(jì)算機(jī) CPU為 Intel Celeron，2．9 GHZ，RAM 為2．00 GB，操作系統(tǒng)為64 位 Windows 7，仿真軟件為Matlab 6．0。采用IEEE-30進(jìn)行仿真分

4 算例分析

析。IEEE-30系統(tǒng)包含6臺(tái)發(fā)電機(jī)組、30條母線、37條線路以及4臺(tái)變壓器，假設(shè)所有變壓器均采用Y0/Y0接線方式，假設(shè)節(jié)點(diǎn)10為敏感負(fù)荷所在節(jié)點(diǎn)，如圖6所示。

圖6 IEEE30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)Fig．6 IEEE30-node system

在該系統(tǒng)中分別設(shè)置電壓閾值為 0．8，0．7，0．6 p．u．。利用前文所述的計(jì)算方法，可得節(jié)點(diǎn)10對(duì)應(yīng)的凹陷域如圖7所示，圖中所示凹陷域由外到內(nèi)對(duì)應(yīng)的電壓閾值依次為 0．8、0．7、0．6。為對(duì)比各算法性能，本文采用三種方法求解該系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)10在電壓閾值為0．8 p．u．時(shí)的凹陷域。三種方法依次是故障點(diǎn)法、單一數(shù)值解法和本文所述方法。限于篇幅，文中對(duì)各算法的對(duì)比分析僅以三相短路為例。

圖7 三相短路時(shí)節(jié)點(diǎn)10對(duì)應(yīng)的電壓暫降凹陷域Fig．7 Vulnerable area of voltage sag corresponds to node-10 caused by three-phase short-circuit fault

設(shè)置故障點(diǎn)法的計(jì)算精度為0．01，對(duì)線路采用均勻設(shè)置故障點(diǎn)的方式，要達(dá)到0．01的精度需對(duì)每條線路均勻設(shè)置100個(gè)故障點(diǎn)。由于每條線路中的臨界故障點(diǎn)最多兩個(gè)，因此，文中將每條線路的凹陷域分為兩個(gè)區(qū)間表示，如:線路1-2的凹陷域?yàn)椋?．780，1］表示按1-2 的方向，從線路 0．780 的位置到線路末端均處于凹陷域內(nèi)。部分線路的計(jì)算結(jié)果(含有臨界故障點(diǎn)的線路)如表1所示。

表1 故障點(diǎn)法與本文方法部分計(jì)算結(jié)果對(duì)比Tab．1 Comparison of part of calculation results between fault position method and the proposed method

若以故障點(diǎn)法的計(jì)算結(jié)果為標(biāo)準(zhǔn)，表1中，單一數(shù)值解法的計(jì)算結(jié)果較故障點(diǎn)法有不同程度偏差，同等條件下，文中算法的計(jì)算結(jié)果更接近故障點(diǎn)法的計(jì)算結(jié)果。由于實(shí)際系統(tǒng)中線路分布情況更為復(fù)雜，因此對(duì)計(jì)算結(jié)果的精度要求更高。

各算法的性能對(duì)比如表2所示。不難發(fā)現(xiàn)，使用單一數(shù)值解法盡管在求解速度上較故障點(diǎn)法有一定提高，但由于其對(duì)每條線路均采取先插值得到顯式表達(dá)式再求臨界故障點(diǎn)的方式，算法低效、靈活性較差，且難以避免迭代不收斂情況的發(fā)生。

表2 各算法的性能對(duì)比Tab．2 Performance comparison of the algorithms

5 結(jié)束語(yǔ)

(1)利用電壓暫降幅值解析計(jì)算式求解暫降凹陷域?qū)τ诟鞣N結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)具有廣泛適用性，計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確可靠;

(2)將臨界故障點(diǎn)的求解簡(jiǎn)化為解析式二次函數(shù)與電壓閾值的交點(diǎn)問(wèn)題使該問(wèn)題的幾何意義明確化，在此基礎(chǔ)上引入多種數(shù)值求解方法系統(tǒng)性求解，避免了對(duì)每條線路使用單一數(shù)值解法導(dǎo)致的算法低效性，大幅提升了算法性能。