魯 晉 旺，萬(wàn) 天 明

(中國(guó)水利水電第七工程局有限公司 機(jī)電安裝分局，四川 彭山 620860)

1 概 述

作為水電站引水道布置的重要組成部分，引水壓力鋼管的空間平面彎管(簡(jiǎn)稱彎管)的安裝計(jì)算往往不可避免，亦是施工單位比較復(fù)雜的難點(diǎn)之一。計(jì)算不正確將會(huì)使其后的測(cè)量放點(diǎn)、安裝出現(xiàn)錯(cuò)誤，導(dǎo)致彎管出現(xiàn)偏移、非設(shè)計(jì)折線等而造成不必要的水頭損失、惡化彎管的受力條件，甚至使彎管報(bào)廢返工，既浪費(fèi)施工成本，又影響施工工期。筆者在文中介紹的使用解析幾何建立空間平面彎管的數(shù)學(xué)模型以及安裝施工中的控制參數(shù)計(jì)算方法，可以確保彎管的施工安裝質(zhì)量。

2 空間平面參數(shù)

2.1 立體坐標(biāo)系

2.1.1 坐標(biāo)系的描述

以塔貝拉水電站鋼管設(shè)計(jì)圖為例(圖1)，管線坐標(biāo)給出了A、B、C三個(gè)軸線控制點(diǎn)的測(cè)量放樣坐標(biāo)(東-北-高程)，為研究空間平面，首先建立三維立體坐標(biāo)系，x、y、z軸坐標(biāo)分別對(duì)應(yīng)圖紙中坐標(biāo)的東-北-高程數(shù)據(jù)。

2.1.2 平面法向量

由向量BA、BC計(jì)算得到平面ABC的法向量：

n=a,b,c

(1)

取c=1，計(jì)算a、b：

axBA+byBA+czBA
axBC+byBC+czBC

(2)

2.1.3 平面方程

由點(diǎn)法式得:

a(x-xB)+b(y-yB)+c(z-zB)

(3)

圖1 空間彎管示意圖

即ax+by+cz=axB+byB-1+czB

(4)

2.2 球極坐標(biāo)系

在上述坐標(biāo)系中，將平面ABC與水平面(z=0)的交線與x軸的夾角記為方位角θ，將平面ABC與水平面(z=0)的夾角記為仰角φ，則任意空間平面可以用一組方位角θ與仰角φ表示。

2.2.1 仰 角

(5)

(6)

2.2.2 方位角

(7)

需注意：

(1)θ∈(0,2π)，計(jì)算中需根據(jù)正弦、余弦的大小判斷角度在第幾象限。

(2)球極坐標(biāo)系中坐標(biāo)與三維直角坐標(biāo)系間的關(guān)系見(jiàn)式(3)。

3 空間平面圓

3.1 圓心坐標(biāo)

如圖2所示，設(shè)圓P是∠ABC的內(nèi)切圓(圓心為P)，切點(diǎn)分別為D、E，由比例關(guān)系可得D、E坐標(biāo)。

圖2 空間平面示意圖

由于點(diǎn)P是平面ABC上分別過(guò)D、E垂直于BA、BC兩條直線的交點(diǎn)，其可由平面的點(diǎn)法式方程分別得到過(guò)D、E且垂直于BA、BC的平面解析式：

DP⊥BAxBA+yBAy+zBAz=xBAxD+yBAyD+zBAzD

(8)

EP⊥BCxBC+yBCy+zBCz=xBCxE+yBCyE+zBC+zE

(9)

聯(lián)立式4、8、9可解得P點(diǎn)坐標(biāo)。

3.2 軸線內(nèi)切圓方程

彎管轉(zhuǎn)彎半徑為R，圓上的點(diǎn)在圓平面內(nèi)的極角為γ，則圓的球極坐標(biāo)方程為：

(10)

3.3 軸線外接圓方程

將R=R外cosπ代入式(10)計(jì)算外接圓任意點(diǎn)的坐標(biāo)。

4 內(nèi)切點(diǎn)與外接點(diǎn)

4.1 內(nèi)切點(diǎn)

根據(jù)式(10)及D點(diǎn)坐標(biāo)可以得到y(tǒng)D。結(jié)合彎管分節(jié)情況、按γ的大小得到相應(yīng)的管節(jié)與軸線內(nèi)切圓的切點(diǎn)坐標(biāo)。

4.2 外接點(diǎn)

同樣，根據(jù)式(10)及yD、代入彎管管節(jié)數(shù)據(jù)取γ，得到相應(yīng)的軸線與外接圓安裝面拼接控制相接的點(diǎn)坐標(biāo)。

5 安裝拼接面的控制

將軸線彎曲平面與水平面平行時(shí)的彎管定義為初始狀態(tài)，將安裝就位時(shí)彎管的狀態(tài)與初始狀態(tài)相比較，管節(jié)需要繞軸線旋轉(zhuǎn)角度ω。

5.1 相對(duì)安裝轉(zhuǎn)角ω

在管節(jié)橫截面上有：

sinω=sinφcosε

(11)

式中ε為基準(zhǔn)軸線在水平面上的投影與x軸的夾角。

(12)

式(12)中，ω為這節(jié)鋼管軸線與水平面的夾角，是平面ABC與水平面的夾角。

5.2 “中心線”安裝傾角

在空間彎管安裝過(guò)程中，鋼管制作時(shí)所設(shè)定的“上、下、左、右”四個(gè)幾何中心標(biāo)記(應(yīng)在管口處樣沖打出中心，并用紅油漆標(biāo)出不方便定位的安裝尺寸)。但“左中心”與“右中心”的連接線H(安裝面橢圓長(zhǎng)軸)在平面ABC上，而且其延長(zhǎng)線過(guò)P點(diǎn)，故計(jì)算H與水平面的夾角有助于空間平面彎管的安裝定位及驗(yàn)收檢查。

由式(10)得到彎管管節(jié)左、右中心線與安裝平面的交點(diǎn)坐標(biāo)，則：

(13)

安裝面短軸(上、下中心連線I)：sinφ1=cosφ

(14)

5.3 空間彎管安裝尺寸的檢查

檢查空間彎管安裝高程的方法一般有兩種：(1)測(cè)量人員放點(diǎn)時(shí)，根據(jù)計(jì)算結(jié)果在邊墻上放出每節(jié)鋼管管口中心的高程點(diǎn)，在地面放出管口中心的投影點(diǎn)；彎管安裝時(shí)，在鋼管管口的幾何中心處焊上線架并繃上鋼絲線，鋼絲線的十字交點(diǎn)即為管口中心點(diǎn)，用放樣控制點(diǎn)檢查該點(diǎn)是否符合設(shè)計(jì)要求。(2)每節(jié)彎管安裝后，使用全站儀檢查管口中心點(diǎn)的誤差，其效果更佳。

檢查空間彎管安裝轉(zhuǎn)角的方法有三種：(1)制作鋼管時(shí)，在鋼管內(nèi)壁任意整圓上標(biāo)記幾何中心線，用以對(duì)照安裝過(guò)程中的水平、垂直位置。(2)使用全站儀測(cè)量管口四個(gè)幾何中心點(diǎn)的位置，計(jì)算安裝轉(zhuǎn)角。(3)測(cè)量管口安裝面橢圓長(zhǎng)軸兩端的高度差，對(duì)照預(yù)先計(jì)算好的各管節(jié)安裝面參數(shù)表，判斷其是否達(dá)到安裝要求。相比之下，第三種方法的檢查方法更為簡(jiǎn)捷，也是筆者進(jìn)行計(jì)算的根本目的。

6 結(jié) 語(yǔ)

用解析幾何方法計(jì)算空間彎管的控制點(diǎn)坐標(biāo)，可以精確地確定彎管的安裝位置；在制作空間彎管過(guò)程中，可以根據(jù)計(jì)算結(jié)果在管口準(zhǔn)確的位置做安裝標(biāo)記；結(jié)合安裝拼接面的關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)，可以為空間彎管的安裝驗(yàn)收提供參考數(shù)據(jù)，可以有效防止安裝過(guò)程中出現(xiàn)偏移、非設(shè)計(jì)偏差等影響安裝質(zhì)量的隱患。