姜蘇英

(寶雞文理學院電子電氣工程學院,陜西 寶雞 721013)

0 引 言

實際系統(tǒng)中很多是分數階的[1]，如加熱系統(tǒng)、粘彈性系統(tǒng)等，對于這些分數階系統(tǒng)，如果采用傳統(tǒng)的PID控制算法控制效果不是很理想，必須使用分數階控制器對這類系統(tǒng)進行控制，才能滿足需要。分數階PIλDμ控制器由著名學者I.Podlubny教授提出，由于該控制器引入了微積分階次λ和μ，因此多了2個可調參數，控制器的設計變得更加靈活，控制效果有所提高，但是控制器參數整定的難度也有所增加。近年來，分數階PIλDμ控制器應用越來越廣泛，因此PIλDμ控制器參數的整定與優(yōu)化也成了控制界重點關注的課題。

很多學者在分數階PID控制器參數的整定方面做了大量研究，并取得了一定的研究成果，如文獻[2]提出了一種基于給定相位裕量和幅值裕量整定分數階PIλDμ控制器參數的方法，該方法有效地實現了控制器參數的整定，但是該算法有點復雜；文獻[3-5]基于伯德理想傳遞函數討論了分數階PIλDμ的設計。上述方法均可以實現對控制器參數的整定，但是算法的實現都比較復雜。

還有很多學者使用優(yōu)化算法，如遺傳算法(GA)、PSO算法等整定PIλDμ控制器參數。文獻[6]提出一種使用GA算法對PIλDμ的參數進行整定，但是該算法本身具有一定的局限性，如GA算法需要復制、交叉、變異操作，迭代過程復雜，因此整定的參數有時無法達到最優(yōu)；文獻[7]提出采用PSO算法解決PIλDμ參數的優(yōu)化設計問題。PSO算法由美國學者J.Kennedy和R.C.Eberhart于1995年提出，該算法的基本思想是：隨機初始化一群沒有體積沒有質量的粒子，將每個粒子看作優(yōu)化問題的一個可行解，粒子的好壞由一個事先設定好的適應度函數來決定。每個粒子將在可行解空間中運動，并由一個速度變量決定其方向和距離。通常粒子將追隨當前的最優(yōu)粒子，并經逐代搜索最后得到最優(yōu)解。在該算法的每一次迭代過程中，粒子都將追蹤2個極值，即粒子本身能找到的最優(yōu)解和整個群體能找到的最優(yōu)解。在這種情況下，種群中粒子的多樣性會逐漸減小，種群會很快在自身和全局近優(yōu)點附近陷入局部最優(yōu)，也就是說該算法容易陷入局部最優(yōu)解。因此，使用傳統(tǒng)PSO算法整定PIλDμ控制器的參數不一定是最優(yōu)參數。

針對上述問題，本文提出一種基于細菌趨化的改進粒子群算法的分數階PIλDμ參數優(yōu)化方法。該方法主要思想是：將細菌趨化現象中的吸引與排斥轉換操作引入帶收縮因子的粒子群優(yōu)化算法中，得到一種改進PSOPB算法，并使用該算法設計分數階PIλDμ控制器的參數，使系統(tǒng)的魯棒性更強。最后，以某加熱系統(tǒng)為對象，進行仿真研究，仿真結果表明使用該算法整定分數階PIλDμ參數更簡潔，且系統(tǒng)的魯棒性更好。

1 基于改進PSOPB算法的PIλDμ控制器設計

1.1 分數階PIλDμ控制器

分數階PIλDμ控制器的傳遞函數為：

(1)

式(1)中，Kp、Ki、Kd分別為比例、積分、微分增益；λ、μ分別為積分階次和微分階次。

本文的分數階微積分算子均采用Oustaloup濾波器逼近。在[wb,wh]頻段內實現分數階微分算子sα的近似，則逼近表達式為[8-11]：

(2)

其中，N為非負整數，且：

(3)

(4)

(5)

由式(1)可以看出，當λ、μ為0和1的不同組合時，即為傳統(tǒng)的P、PI、PD、PID控制器。這些類型的PID控制器都是分數階PIλDμ的某一個特殊情況。分數階PIλDμ控制器比傳統(tǒng)PID控制器多了λ、μ這2個參數。通過合理地選擇PIλDμ控制器的5個參數，可以提高系統(tǒng)的控制效果。為了使控制器的參數盡可能地趨于最優(yōu)，控制效果盡可能最好，本文提出一種使用基于細菌趨化的改進粒子群算法優(yōu)化分數階PIλDμ控制器參數的方法。

1.2 基于細菌趨化的改進PSO算法

為了提高PSO算法的搜索能力，M.Clerc在SPSO算法中引入收縮因子，提出了帶收縮因子的粒子群優(yōu)化算法，在該算法中用收縮因子取代SPSO算法中的慣性權重。

設在N維搜索空間中，由m個粒子構成一個種群。第i個粒子的當前位置為Xi=(xi1,xi2,…,xiN)T，粒子的飛行速度為Vi=(vi1,vi2,…,viN)T，該粒子所經歷的最優(yōu)位置為Pi=[pi1,pi2,…,piN]T，種群的全局最優(yōu)位置為Pg=[pg1,pg2,…,pgN]T，那么第i個粒子根據式(6)、式(7)更新自己的速度和位置[12-16]。

(6)

(7)

式(6)中K為收縮因子，由式(8)決定。

(8)

帶收縮因子的PSO算法能更有效地控制約束粒子的飛行速度，增強算法局部搜索能力。但是，在帶收縮因子的PSO算法中，每個粒子在飛行過程中都向自己的歷史最優(yōu)位置和群體最優(yōu)位置靠近，這樣，種群的多樣性會失去，種群極易陷入自身及局部最優(yōu)[17]，因此，該算法和SPSO算法一樣容易陷入局部最優(yōu)解。鑒于此，本文提出一種在確保PSO算法多樣性的同時不改變算法收斂速度及避免早熟收斂的方法。

本文從生物學角度研究帶收縮因子的PSO算法因多樣性丟失而陷入局部最優(yōu)的問題。趨化是細菌群體的一種常見的生物行為。趨化機制可以使細菌個體趨向有利于自身生長的環(huán)境，而逃避不利的生長環(huán)境。本文將細菌趨化現象中的吸引與排斥機制引入帶收縮因子的PSO算法中，提出基于細菌趨化的改進PSO算法。

在基于細菌趨化的改進PSO算法中，吸引操作定義為每個粒子向自身的最優(yōu)位置與群體最優(yōu)靠近，粒子速度按式(6)更新。

排斥操作規(guī)定為逃離粒子的歷史最差位置與群體最差位置，粒子的速度按式(9)更新：

vid=K(vid-R1c1(Wid-xid)-R2c2(Wgd-xid))

(9)

式(9)中，Wid表示粒子的歷史最差位置；Wgd表示群體最差位置。

因此，在基于細菌趨化的改進PSO算法中，粒子的行為既受到最優(yōu)位置的影響，也受到最差位置的影響。在該改進PSO算法中，粒子被前面的最優(yōu)位置和自身的最優(yōu)位置吸引，同時也被自身歷史最差位置和群體最差位置所排斥。當粒子受到當前最差位置排斥時，粒子向較好區(qū)域飛行的可能性更大，更有可能找到更好的位置。在改進PSO算法中，當算法為吸引操作時，多樣性會逐漸失去，當算法為排斥操作時，多樣性會逐漸增加。

為了確保吸引操作及排斥操作在任何情況下執(zhí)行，本文使用一種多樣性控制方法。多樣性的度量公式[18]如下：

(10)

對于種群的多樣性，可以設定一個范圍dlow和dhigh，當種群的多樣性小于dlow時，基于細菌趨化的改進PSO算法就會轉入排斥操作機制，從而增加種群的多樣性；當種群多樣性大于dhigh時，該算法轉入吸引操作機制，從而使種群的多樣性減少。通過這種策略使種群的多樣性在一個范圍內，不至于太大，也不至于太小，從而保證粒子能在最短的時間內找到最優(yōu)位置。

1.3 算法實現

本文選取時間與誤差平方乘積的積分(ISTE)函數作為優(yōu)化指標。采用基于細菌趨化的改進PSO算法整定PIλDμ控制器的5個參數，具體步驟如下：

1)初始化各類參數。根據本文情況設置以下參數：種群規(guī)模S，學習因子c1、c2，粒子維度D，粒子速度范圍[vmin,vmax]，多樣性閾值范圍[dlow,dhigh]，最大迭代次數tmax，收斂精度ξ，隨機給定粒子的最初位置與速度。

2)設置當前迭代次數t=0，當前模式為吸引操作,對每個粒子i執(zhí)行如下操作。

3)根據適應度函數即本文優(yōu)化指標，計算粒子的適應度函數值。

7)更新個體最優(yōu)位置和群體最優(yōu)位置，個體最差位置和群體最差位置。

8)若當前迭代次數達到了預先設定的最大次數tmax，或最終結果小于預先設定的收斂精度ξ要求，則停止迭代，輸出最優(yōu)解，否則轉到步驟3。

2 仿真研究與分析

2.1 對象模型

為了驗證本文算法的有效性，本文選取某加熱系統(tǒng)為研究對象進行仿真研究。該加熱系統(tǒng)主要由2個部分組成，即鋼制管道和熱電模塊，其中管道中的物料是均勻放置的，本文只考慮一種物料的情況。

管道上縱向位置Z處的溫度與加熱源處熱通量的動態(tài)關系如式(11)所示[19]：

(11)

其中，T(s,z)為系統(tǒng)輸出，H(s,0)為系統(tǒng)輸入。k=0.8209，a=33.0597，z=0.2623，α=0.7779。

通過階躍響應辨識法，對式(11)進行降階[19]：

(12)

其中，模型參數K=0.589，T=44.085，L=19.237，β=0.797。

2.2 參數設置

以上述加熱系統(tǒng)為對象，使用分數階PIλDμ控制器對其控制，控制器的參數通過文中改進粒子群優(yōu)化算法整定。

采用改進粒子群算法優(yōu)化PIλDμ控制器的參數，仿真過程參數設置如下：種群規(guī)模為100；最大迭代次數為100；收斂精度為0.001；慣性權重wstart=0.9，wend=0.4；學習因子c1、c2的最大值和最小值一致，分別為cmax=2.5，cmin=0.5；搜索空間Kp∈[0.001,5]，Ki∈[0.001,5]，kd∈[0.001,5]，λ∈[0.05,2]，μ∈[0.001,2]；多樣性閾值范圍dlow=0.25，dhigh=0.35。

2.3 仿真結果分析

為了驗證本文算法的有效性，分別使用GA、SPSO算法、本文改進算法來優(yōu)化PIλDμ控制器的5個參數。為了確保對比的公平性，仿真過程中，各種算法的搜索空間保持一致。同時，為了消除算法隨機性的影響，每個算法獨立運行20次，取20次優(yōu)化結果的平均值作為控制器的最終參數。分別使用這3種算法得到的控制器，對本文加熱系統(tǒng)進行控制，系統(tǒng)的時間乘以誤差絕對值積分指標及各算法運行20次所得平均最優(yōu)適應值如表1所示，系統(tǒng)的單位階躍響應曲線如圖1所示。

表1 各算法的結果

算法平均適應值ITAEGA46952.041892SPSO35614.082651本文算法28480.591531

由表1可知，使用本文算法整定控制器參數，最優(yōu)適應度函數值的平均值最?。皇褂帽疚乃惴ǖ玫降目刂破鲗ο到y(tǒng)進行控制，系統(tǒng)的ITAE指標最小，因此，使用本文算法整定控制器參數，系統(tǒng)誤差更小。

圖1 3種算法相應速度對比

由圖1明顯可見，當使用SPSO算法、遺傳算法優(yōu)化控制器參數時，系統(tǒng)響應曲線有較大的超調，使用本文算法優(yōu)化控制器參數，系統(tǒng)超調極小?？芍斒褂帽疚乃惴ǖ玫降目刂破鲗ο到y(tǒng)進行控制時，系統(tǒng)能更快進入穩(wěn)態(tài)，系統(tǒng)響應度快，調節(jié)時間短。

圖2 對象參數增大時響應曲線對比

圖3 對象參數減小時響應曲線對比

當被控對象增益、時間常數及時滯均增大或減小20%時，控制器參數不變，系統(tǒng)響應曲線分別如圖2、圖3所示。由圖2可知，當被控對象參數增大時，使用SPSO、GA算法，系統(tǒng)超調較大，而使用本文算法系統(tǒng)超調量很小。由圖3可知，當被控對象參數減小時，使用SPSO、GA算法，系統(tǒng)有超調，但使用本文算法系統(tǒng)沒有超調量。綜上所述，當被控對象的參數攝動時，使用本文算法得到的控制器對系統(tǒng)進行控制，系統(tǒng)響應曲線波動小，比較穩(wěn)定，本文算法控制效果更好，因此本文算法的魯棒性更好。

3 結束語

由于分數階PIλDμ控制器有5個參數，且各個參數之間有一定的耦合性，因此整定時比較復雜。如果使用試湊法，有時控制器參數無法達到最優(yōu)，并且比較費時間；如果使用SPSO算法，由于粒子容易陷入局部最優(yōu)解，所以優(yōu)化得到的控制器參數可能不是最優(yōu)解。由于存在上述問題，因此本文使用一種基于細菌趨化的改進粒子群算法對PIλDμ控制器參數進行優(yōu)化整定，使控制器參數的調整變得簡單。然后，以加熱系統(tǒng)為對象，使用分數階PIλDμ控制器對其控制，分別使用SPSO算法、GA、本文方法優(yōu)化控制器參數，并進行仿真研究。仿真結果表明，與SPSO算法和遺傳算法相比，使用基于細菌趨化的改進粒子群算法得到的分數階PIλDμ控制器，可使系統(tǒng)的動態(tài)性能更好，同時還保證了系統(tǒng)的魯棒性。