(安徽建筑大學(xué)數(shù)理學(xué)院,安徽 合肥 230022)

0 引 言

期權(quán)定價(jià)問(wèn)題是金融工程學(xué)的核心問(wèn)題之一.1973年，美國(guó)著名的金融數(shù)學(xué)家Black和Scholes發(fā)表了關(guān)于期權(quán)定價(jià)的開(kāi)創(chuàng)性論文.文中以有效市場(chǎng)和股票價(jià)格滿(mǎn)足幾何布朗運(yùn)動(dòng)等為假設(shè)條件，利用無(wú)套利原理和伊藤公式推出了著名的Black-Scholes模型.該模型是期權(quán)定價(jià)發(fā)展史上的里程碑，它為期權(quán)乃至其他為定價(jià)權(quán)益的定價(jià)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，使得原本空洞的期權(quán)定價(jià)在理論上有了依據(jù).然而，Black-Scholes模型基于理性人假設(shè)和期望效用理論，是一種相對(duì)理想的狀況，在現(xiàn)實(shí)市場(chǎng)中，它的假設(shè)往往不符合投資者的實(shí)際.正是由于這樣的疑問(wèn)，試圖通過(guò)改變?cè)心Ｐ椭械哪承┘僭O(shè)，使模型更為合理。

1 Black-Scholes期權(quán)定價(jià)方法

1.1 模型的假設(shè)

Black-Scholes的期權(quán)定價(jià)理論假設(shè)條件如下：

(1)不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利的機(jī)會(huì)；(2)沒(méi)有交易費(fèi)用或稅收；

(3)所有證券都是高度可分的；(4)證券交易是連續(xù)的；

(5)在衍生證券的有效期內(nèi)沒(méi)有紅利支付；(6)在整個(gè)時(shí)間范圍內(nèi)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率是已知常數(shù)r；

(7)沒(méi)有賣(mài)空的限制，允許完全使用賣(mài)空所得資金；(8)僅考慮歐式期權(quán)，即到期才能執(zhí)行合約.

1.2 模型構(gòu)建與求解

假設(shè)在時(shí)刻t的資產(chǎn)價(jià)格s的變化遵循幾何布朗(Brown)運(yùn)動(dòng)

(1)

記f為期權(quán)價(jià)格，它依賴(lài)于股票價(jià)格s和時(shí)間t.由伊藤引理得

(2)

(3)

(4)

將(1)、(2)式代入(4)式得到:

(5)

由于(5)式中不含有隨機(jī)項(xiàng)dz，因此該組合不含有風(fēng)險(xiǎn)，所以根據(jù)假設(shè)，可得到

dπ=rπdt

(6)

根據(jù)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利原理得到等式：

(7)

即

(8)

(8)式就是Black-Scholes方程.它是一個(gè)拋物型偏微分方程.此方程的邊界條件為：

當(dāng)t=T時(shí)，C=max(S-X,0)

(9)

通過(guò)自變量變換和函數(shù)變換，可以將方程(8)和方程(9)轉(zhuǎn)化為熱傳導(dǎo)方程的初值問(wèn)題，由此可得歐式買(mǎi)入期權(quán)的定價(jià)公式為

C(s,t)=SΦ(d1)-Xe-rTΦ(d2)

類(lèi)似地，可以求得歐式賣(mài)出期權(quán)的定價(jià)公式：

P(s,t)=Xe-rTΦ(-d2)-SΦ(-d1)

2 改進(jìn)模型建立

2.1 模型假設(shè)的修正

(1)在期權(quán)有效期內(nèi)，支付的紅利率可以確切預(yù)測(cè)

(2)在除權(quán)日當(dāng)天股票價(jià)格會(huì)下降，下降幅度為每一股股票支付紅利的數(shù)量(紅利即為在除權(quán)日當(dāng)天由支付紅利引起的股票價(jià)格減少的量).

(3)把除權(quán)日當(dāng)天所支付的紅利平均分配到每一天，即認(rèn)為紅利是連續(xù)支付的.

(4)交易費(fèi)用可看成投資者在買(mǎi)賣(mài)股票時(shí)所產(chǎn)生的直接費(fèi)用，并且將其以交易額的固定比例表示出來(lái).

2.2 紅利支付

假設(shè)q是紅利率，則股票的持有者在dt時(shí)段內(nèi)的紅利收益為qSdt.因此，股票價(jià)格遵循的幾何布朗運(yùn)動(dòng)方程可修改為：

dS=(μ-q)Sdt+σSdz

S是隨機(jī)的微分過(guò)程，令f=(S,t)，代入伊藤引理，在一個(gè)Δt(不連續(xù))時(shí)間內(nèi)，f的變化值：

接著構(gòu)造一個(gè)投資組合(全微分形式)

在一個(gè)Δt(不連續(xù))時(shí)間內(nèi)，φ的變化值：

2.3 交易費(fèi)用與模型求解

前面已經(jīng)對(duì)相關(guān)方程進(jìn)行了離散型的構(gòu)造，這里直接引用.

(1)離散的股價(jià)變化過(guò)程：

(2)離散的衍生證券變化過(guò)程：

(3)離散的投資組合變化過(guò)程：

(4)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)表示為：

將相關(guān)式子代入到投資組合中，并且將交易費(fèi)用以交易額的固定比例H來(lái)表示，即交易了Y股價(jià)格為S的股票(當(dāng)Y>0時(shí)為買(mǎi)入，Y<0時(shí)為賣(mài)出)的費(fèi)用為H|Y|S，得到離散的投資組合表達(dá)式：

經(jīng)歷Δt時(shí)間后(Δt→0不成立)

則可以得到Y(jié)的初始表達(dá)式利用Talor公式，舍去高階項(xiàng)，最終可得到：

運(yùn)用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利原理：

得到有交易成本和支付紅利的期權(quán)定價(jià)方程：

3 模型分析

將此方程分解為兩個(gè)部分：

C(s,t)=(S-qS+H|Y|S)Φ(d1)-Xe-rTΦ(d2)

類(lèi)似地，可以求得歐式賣(mài)出期權(quán)的定價(jià)公式：

P(s,t)=Xe-rTΦ(-d2)-

(S-qS+H|Y|S)Φ(-d1)

可以清楚地看到，改進(jìn)后的定價(jià)公式中S、d1、d2有所改動(dòng)，但是對(duì)整個(gè)期權(quán)定價(jià)模型來(lái)說(shuō)已經(jīng)是一個(gè)突破。

4 結(jié) 語(yǔ)

在Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型的的基礎(chǔ)上，通過(guò)改變其假設(shè)條件，套用Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型的導(dǎo)出和求解過(guò)程，得出了在考慮支付紅利和交易費(fèi)用的因素下的期權(quán)定價(jià)模型.

雖然改進(jìn)了原有模型的假設(shè)，加入了紅利支付和交易費(fèi)用，使得原有模型更具有一般性，但是對(duì)于期權(quán)這一復(fù)雜的金融衍生品來(lái)說(shuō)，還有許多期權(quán)自身的影響因素，其中包括股票當(dāng)前的市場(chǎng)價(jià)格、國(guó)際國(guó)內(nèi)的經(jīng)濟(jì)形式、多種不可預(yù)知的金融風(fēng)險(xiǎn)等，都將成為致力于研究期權(quán)市場(chǎng)的人們的未來(lái)研究方向.

自從期權(quán)交易產(chǎn)生以來(lái)，尤其是標(biāo)準(zhǔn)期權(quán)交易產(chǎn)生以來(lái)，學(xué)者們就一直致力于期權(quán)定價(jià)問(wèn)題的探討.期權(quán)定價(jià)模型更是經(jīng)過(guò)了幾代人的努力最終形成了較為成熟的模型，其中最為突出的就是Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型，它不僅對(duì)后來(lái)的先關(guān)理論研究和投資實(shí)務(wù)操作都有巨大影響，而且對(duì)于現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)理論和財(cái)務(wù)理論的發(fā)展也有深遠(yuǎn)影響.