謝偉平， 章 濤， 何 衛(wèi)， 馮金鵬

(1. 武漢理工大學(xué) 土木工程與建筑學(xué)院，武漢 430070；2. 武漢理工大學(xué) 理學(xué)院，武漢 430070)

隨著大跨輕柔結(jié)構(gòu)的逐步發(fā)展，人致振動(dòng)問(wèn)題日益凸顯。對(duì)于該類(lèi)問(wèn)題的研究，重點(diǎn)和難點(diǎn)在于人行荷載的模擬，國(guó)內(nèi)外學(xué)者們?cè)谠擃I(lǐng)域已開(kāi)展了大量關(guān)于人行荷載模擬的研究工作。步行荷載模型有不考慮相互作用的時(shí)域力模型和考慮相互作用生物動(dòng)力模型兩類(lèi)。迄今為止，在該領(lǐng)域已經(jīng)取得了較多的成果，現(xiàn)在面臨的問(wèn)題是，對(duì)于現(xiàn)有的這些模型，我們?cè)撊绾芜x取，以便更精確的預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)，關(guān)于這一方面的研究，國(guó)內(nèi)外尚未見(jiàn)文獻(xiàn)報(bào)道。本文基于最基礎(chǔ)的單人步行荷載，開(kāi)展不同荷載模型的對(duì)比分析與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證工作，為單人步行荷載模型的選取提供參考。

人與大跨輕柔結(jié)構(gòu)之間存在不可忽略的相互作用[8]，為了研究這種相互作用，人體被簡(jiǎn)化為不同形式的彈簧、質(zhì)量和阻尼(Spring Mass Damper, SMD)系統(tǒng)。Archblod[9]認(rèn)為不考慮相互作用對(duì)于單人和人群響應(yīng)預(yù)測(cè)都會(huì)偏于保守。Kim等[10]基于生物力學(xué)領(lǐng)域的雙足行走模型(Bipedal Walking Model, BWM)，提出了具有時(shí)不變阻尼的雙足模型。秦敬偉等[11]在Kim的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，提出了具有時(shí)變阻尼和反饋機(jī)制的新雙足模型，使得每一步的起始足底反力能從零開(kāi)始并且保持人體平衡。何衛(wèi)，謝衛(wèi)平等[12-13]分析了結(jié)構(gòu)上人體對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的影響，并基于雙足模型分析了人-結(jié)構(gòu)相互作用對(duì)足底反力的影響。謝旭等[14]采用BWM對(duì)一人行橋的計(jì)算結(jié)果表明不考慮相互作用的計(jì)算結(jié)果明顯大于考慮相互作用的計(jì)算結(jié)果。丁陽(yáng)等[15]基于靜止人體的兩自由度SMD模型[16]，構(gòu)建了考慮相互作用的隨機(jī)人行荷載模型，其認(rèn)為考慮相互作用會(huì)降低結(jié)構(gòu)響應(yīng)。Silva等[17]基于單自由度自激勵(lì)A(yù)SMD模型(Actuator Spring Mass Damper，ASMD)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析得到了人體行走狀態(tài)下的模型參數(shù)，簡(jiǎn)化了人體行走模型。

對(duì)已有步行荷載模型進(jìn)行評(píng)述，分析了模型各自的特點(diǎn)及適用范圍；在此基礎(chǔ)上，建立了包含亞諧分量自激勵(lì)的ASMD模型Ⅱ，并開(kāi)展人致振動(dòng)實(shí)驗(yàn)對(duì)其進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 步行荷載模型

不考慮相互作用的時(shí)域力模型有連續(xù)的傅里葉級(jí)數(shù)模型和單步落足“M”曲線(xiàn)兩種形式，SMD模型有BWM模型和ASMD模型，見(jiàn)表1所列。本節(jié)將對(duì)這五種步行荷載模型進(jìn)行評(píng)述。

表1 人行荷載模型

1.1 不考慮相互作用的時(shí)域力模型

1.1.1 模型A1：IABSE模型

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)動(dòng)載因子(Dynamic Load Factor，DLF)取值進(jìn)行了豐富的研究工作，比較有代表性為Kerr和陳雋的實(shí)驗(yàn)研究工作，兩者的研究結(jié)果均表明：在正常步頻范圍內(nèi)，一階DLF的取值隨步頻的增大而增大，高階DLF與步頻相關(guān)性不明顯。

國(guó)際橋梁與結(jié)構(gòu)工程協(xié)會(huì)(IABSE)推薦使用三階傅里葉級(jí)數(shù)模型來(lái)描述步行荷載，如式(1)所示。

(1)

式中：F(t)為步行荷載；G為人體自重；fp為步頻；t為時(shí)間；ai為第i階動(dòng)載因子，φi為第i階諧波初相位，α1=0.4+0.25(fs-2)，α2=α3=0.1，φ1=0，φ2=φ3=π/2。

圖1為一階DLF隨步頻的變化關(guān)系，由圖可知，IABSE模型的一階DLF取值在低頻偏大，偏于保守考慮，以IABSE模型為連續(xù)傅里葉級(jí)數(shù)模型的代表進(jìn)行后續(xù)分析。

圖1 第一階動(dòng)載因子 Fig.1 First order dynamic load factor

1.1.2 模型A2：?jiǎn)尾铰渥闱€(xiàn)

單步足底反力表現(xiàn)為“M”曲線(xiàn)，其加載方式在空間上以步幅為增量，在每個(gè)落足點(diǎn)進(jìn)行加載，表現(xiàn)為多點(diǎn)時(shí)滯激勵(lì)。聶建國(guó)和陳宇等基于Young提出的連續(xù)傅里葉級(jí)數(shù)模型，逆向構(gòu)建了包含五階頻率分量的標(biāo)準(zhǔn)單步落足“M”曲線(xiàn)，表達(dá)式為

(2)

式中：F(t)為單步落足力；t為時(shí)間；αi為第i階動(dòng)載因子；Te為單步足底接觸時(shí)間，Te=1/0.76fp，fp為步頻。

圖2 模型A2和A3足底反力 Fig.2 Ground reaction force of model A2 and A3

如圖2所示為體重80 kg，步頻為2 Hz時(shí)的單步落足力，模型A2相對(duì)IABSE模型而言，加載方式能更加真實(shí)的反映人行走過(guò)程中的空間變化和雙腿交替的過(guò)程，且不含初始相位，簡(jiǎn)化了模型參數(shù)。

1.2 考慮相互作用的SMD模型

1.2.1 模型A3：雙足步行模型

BWM包含人體質(zhì)量m、雙腿彈簧k、阻尼c、沖切角θ和腿長(zhǎng)l，如圖3所示。BWM模型在行進(jìn)過(guò)程中，每一步起始時(shí)刻人腿的軸向速度都不為零，Kim提出的腿部阻尼恒定假設(shè)會(huì)使得每一步的起始足底反力不為零。秦敬偉提出的具有時(shí)變阻尼和反饋機(jī)制特性的新BWM模型，使每一步的足底反力能從零開(kāi)始并且保持人體平衡。

BWM與人體表觀(guān)特征相近，具有以下特點(diǎn)：

(1)BWM將腿部簡(jiǎn)化為彈簧阻尼模型，通過(guò)支撐腿與隨動(dòng)腿的轉(zhuǎn)換模擬人體系統(tǒng)的行走過(guò)程，產(chǎn)生的足底反力表現(xiàn)為單步落足曲線(xiàn)，與輕柔結(jié)構(gòu)之間的相互作用會(huì)使得腿部收縮量增大，導(dǎo)致足底反力增大，如圖2所示。

(2)BWM輸入?yún)?shù)較多，且難以觀(guān)測(cè)(如腿的支撐剛度等)；模型相對(duì)復(fù)雜，對(duì)于人群響應(yīng)的應(yīng)用難于實(shí)現(xiàn)。

雙足模型數(shù)值程序驗(yàn)證工作可見(jiàn)文獻(xiàn)[13]，此處不再贅述。

圖3 雙足行走模型Fig.3 Bipedal walking model

1.2.2 模型A4：ASMD模型Ⅰ

人體行走的過(guò)程中存在自激勵(lì)現(xiàn)象，學(xué)者們?cè)趩巫杂啥萐MD的基礎(chǔ)上，用簡(jiǎn)諧力來(lái)表示內(nèi)部自激勵(lì)，構(gòu)建了具有內(nèi)部自激勵(lì)的ASMD模型[19]來(lái)模擬運(yùn)動(dòng)人體，如圖4所示。圖中彈簧、質(zhì)量塊和阻尼表示人-結(jié)構(gòu)相互作用部分，A表示自激勵(lì)部分。

Sliva和Pimentel等以20名受試者為研究對(duì)象，將加速度傳感器安裝固定在其腰部，基于ASMD模型，通過(guò)實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析方法擬合得到了行走狀態(tài)下的模型參數(shù)m，c和k，見(jiàn)下式：

(3)

式中：mh為人體質(zhì)量；fp為步頻；m，c和k為單自由度模型的質(zhì)量、阻尼和彈簧剛度。

圖4 單自由度行走模型Fig.4 Single degree of freedom model for walking

Sliva等取Kerr的前三階傅里葉級(jí)數(shù)作為自激勵(lì)，如式(4)所示，構(gòu)建了ASMD模型Ⅰ。

(4)

式中：A1(t)為自激勵(lì)，各參數(shù)的含義與模型A1相同，fp為步頻；第二、三階動(dòng)載因子分別取值為0.07和0.05；第一階動(dòng)載因子表達(dá)式為

(5)

圖5為人體質(zhì)量為80 kg，步頻為2 Hz的ASMD模型和Matsumoto等[16]靜止站立模型的歸一化表觀(guān)質(zhì)量幅頻特性。從中可知，ASMD模型與靜止站立模型不同，人體行走過(guò)程中只有部分質(zhì)量參振。

圖5 圖 5人體歸一化表觀(guān)質(zhì)量幅頻曲線(xiàn)Fig.5 Normalized apparent mass response functions

1.2.3 模型A5：ASMD模型Ⅱ

Dey等[20]在輕型鋁橋上開(kāi)展了人致振動(dòng)實(shí)驗(yàn)，實(shí)測(cè)響應(yīng)中出現(xiàn)了顯著的瞬態(tài)振動(dòng)，包含各階亞諧分量；采用不考慮亞諧分量的數(shù)值模擬結(jié)果瞬態(tài)響應(yīng)十分微弱，不包含各階亞諧分量；其只對(duì)主諧動(dòng)載因子的取值進(jìn)行了修正，并沒(méi)有考慮亞諧分量。本文在輕質(zhì)人行橋上進(jìn)行單人行走實(shí)驗(yàn)時(shí)也發(fā)現(xiàn)，實(shí)測(cè)響應(yīng)中出現(xiàn)了顯著的亞諧頻率分量，且隨著人/結(jié)構(gòu)質(zhì)量比的增加，亞諧分量更顯著；在亞諧共振區(qū)時(shí)，模型A1、A2和A4的計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果相比偏小，且存在亞諧頻率成分缺失。

Zivanovic基于頻域逆向構(gòu)建了包含多階主諧和亞諧分量隨機(jī)時(shí)域荷載模型，每次構(gòu)建單人荷載需在[0,2π]之間隨機(jī)生成400個(gè)初相位，計(jì)算結(jié)果具有一定的離散性，需要獲取統(tǒng)計(jì)結(jié)果，應(yīng)用起來(lái)比較復(fù)雜。為便于揭示上述實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，在模型A4的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，引入Zivanovic的亞諧分量，將模型A4中的自激勵(lì)改進(jìn)為A2(t)，見(jiàn)式(6)，建立了ASMD模型Ⅱ。

(6)

(7)

模型A5包含了由于雙腿交替不對(duì)稱(chēng)產(chǎn)生的亞諧頻率分量，更加細(xì)致的反映了步行力特征。

2 荷載模型對(duì)比分析

將模型A1～A5應(yīng)用到不同頻率的結(jié)構(gòu)上，比較各模型結(jié)果之間的差異性。人體質(zhì)量取85 kg，步頻為1.7 Hz，以模型A1為基準(zhǔn)，只考慮二、三階倍頻共振，結(jié)構(gòu)頻率變化范圍為2.0 ～ 5.5 Hz。雙足模型參數(shù)依據(jù)謝偉平等研究取值為：質(zhì)量為85 kg，阻尼比為8%，剛度為21.25 kN/m，腿長(zhǎng)取1.0 m，沖切角為69°，初始輸入能量為855.5 J。

定義標(biāo)準(zhǔn)加速度為：

as=apM0/mh

(8)

式中：as為標(biāo)準(zhǔn)加速度；ap為加速度峰值；M0為結(jié)構(gòu)模態(tài)質(zhì)量；mh為人體質(zhì)量。

圖6為標(biāo)準(zhǔn)加速度計(jì)算結(jié)果，模型A5由于包含步頻亞諧分量，與其他模型相比存在亞諧共振區(qū)，從中可知：

(1)在亞諧共振區(qū)：除模型A3外，模型A5的計(jì)算結(jié)果與其他模型相比偏大；模型A3僅在二階亞諧共振區(qū)時(shí)，其計(jì)算結(jié)果才表現(xiàn)為偏大，在高頻區(qū)無(wú)明顯偏大現(xiàn)象，與秦敬業(yè)等的結(jié)論一致。

(2)在倍頻共振區(qū)：模型A1計(jì)算結(jié)果顯著大于A5，表明不考慮相互作用會(huì)放大結(jié)構(gòu)共振響應(yīng)，這與Archbold和丁陽(yáng)的結(jié)論一致；模型A5在二階步頻共振區(qū)與A3結(jié)果相當(dāng)，在高頻區(qū)共振區(qū)略大于其結(jié)果；A4的自激勵(lì)動(dòng)載因子偏小，所以計(jì)算結(jié)果較小。

圖6 標(biāo)準(zhǔn)加速度計(jì)算結(jié)果Fig.6 The standard acceleration calculation results

3 荷載模型實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

本節(jié)在基頻不同的兩單跨簡(jiǎn)支人行橋上進(jìn)行單人行走實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證上節(jié)的數(shù)值分析結(jié)果和ASMD模型Ⅱ的有效性。

3.1 剛度較小人行橋

3.1.1 結(jié)構(gòu)模型

人行橋全長(zhǎng)10.5 m，兩邊簡(jiǎn)支，計(jì)算跨度為10.3 m，寬1.0 m，該結(jié)構(gòu)有未敷設(shè)混凝土和敷設(shè)混凝土前后兩種狀態(tài)，圖7所示為未敷設(shè)混凝土狀態(tài)。對(duì)敷設(shè)前后兩種結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)測(cè)試，結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性如表2所列。

圖7 人行鋼橋(未敷設(shè)混凝土)Fig.7 Pedestrian Bridge (without deck)

3.1.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

在節(jié)拍器的引導(dǎo)下，體重為85 kg的受試者S1在上述結(jié)構(gòu)上進(jìn)行了不同步頻下的單人行走實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)工況詳情及實(shí)測(cè)結(jié)果見(jiàn)表2所列，工況二為參考組。

表2 實(shí)驗(yàn)工況與結(jié)果

圖8 工況二實(shí)測(cè)結(jié)果Fig.8 Measured result in case 2

圖9 工況二實(shí)測(cè)結(jié)果頻譜Fig.9 Measured result spectrum in case 2

圖8和9為工況二實(shí)測(cè)結(jié)構(gòu)跨中加速度響應(yīng)時(shí)程和頻譜，由圖可知，響應(yīng)頻譜中包含了多階主諧和亞諧頻率分量，亞諧貢獻(xiàn)突出。為了定量分析響應(yīng)中亞諧分量的影響程度及變化規(guī)律，定義亞諧幅值比例系數(shù)μ和αi為：

式中：mi和si分別為響應(yīng)頻譜在第i階主諧和亞諧頻率處的幅值。

圖10為四種工況下的比例系數(shù)μ和αi計(jì)算結(jié)果，由圖可知，四種工況中亞諧分量處所貢獻(xiàn)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)幅值均占有較大的比重，比例系數(shù)μ高達(dá)37%～45%，其中以第二階亞諧分量(與結(jié)構(gòu)基頻相近)占主導(dǎo)。工況一中各階亞諧分量幅值都比較顯著，與工況二相比可知，隨著人/結(jié)構(gòu)質(zhì)量比的減小，μ減小而α2增大，其余各階亞諧分量占比均減小。

以上分析表明：當(dāng)人/結(jié)構(gòu)質(zhì)量比較大時(shí)，各階亞諧分量所貢獻(xiàn)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)都會(huì)很顯著；隨著質(zhì)量比的增加，亞諧分量的影響會(huì)減弱，并逐漸以基頻亞諧分量的影響為主。

圖10 比例系數(shù)Fig.10 The coefficient of proportionality

3.1.3 荷載模型驗(yàn)證

結(jié)構(gòu)M1和M2的基頻落入亞諧共振區(qū)，采用模型A1～A5對(duì)上述四種工況進(jìn)行計(jì)算。受試者S1的雙足模型參數(shù)為：質(zhì)量為85 kg，阻尼比為8%，剛度為21.25 kN/m，沖切角為69°，腿長(zhǎng)取1.0 m，工況一至四初始輸入能量為依次為：858 J、858 J、866 J和876 J。

表3為上述四種工況下各模型跨中加速度峰值計(jì)算結(jié)果，由表可知，模型A1、A2和A4忽略了亞諧分量，與實(shí)測(cè)結(jié)果相比，其計(jì)算結(jié)果明顯偏小，工況三中誤差達(dá)到最大，分別為-31.0%、-32.7%和-49.6%。模型A3計(jì)算結(jié)果整體偏大，工況一中誤差高達(dá)83.4%，這是因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)頻率較低，模型A3與結(jié)構(gòu)產(chǎn)生了顯著的相互作用所致。模型A5的計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)相比，工況三中誤差最大，高達(dá)13.02%；這是因?yàn)槿梭w行走過(guò)程在一定程度上具有變異性，不能完全產(chǎn)生亞諧共振；相比之下，A5與實(shí)測(cè)結(jié)果吻合較好。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證A5的適用性，令體重分別為60.5 kg、64.5 kg和73.5 kg的三受試者S2、S3和S4在節(jié)拍器的控制下，在結(jié)構(gòu)“M2”上以亞諧共振步頻1.855 Hz行走。

表4為S2-S4的實(shí)測(cè)與數(shù)值結(jié)果，從中可知，A5的誤差在10% 以?xún)?nèi)，與實(shí)測(cè)結(jié)果吻合較好，其余模型的誤差與S1的結(jié)果一致。

表3 S1的實(shí)測(cè)與數(shù)值結(jié)果

圖11為工況二的加速度時(shí)程和頻譜，模型A4與A1的頻譜特性相近，A2與A3的頻譜特性相近，故只給出了模型A1、A3和A5的頻譜。從中可知，模型A1～A4的頻譜基頻響應(yīng)貢獻(xiàn)偏小，模型A5的基頻響應(yīng)顯著，且包含相應(yīng)的亞諧分量，與實(shí)測(cè)結(jié)果吻合較好。

表4 S2-S4實(shí)測(cè)與數(shù)值結(jié)果

以上分析表明：當(dāng)結(jié)構(gòu)基頻落入亞諧共振區(qū)時(shí)，亞諧分量影響非常顯著，忽略亞諧分量，會(huì)導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果偏小，模型A5在時(shí)頻域均與實(shí)測(cè)結(jié)果吻合較好。

圖11 工況二模擬結(jié)果Fig.11 Simulation results in case 2

3.2 剛度較大人行橋

將結(jié)構(gòu)“M2”的跨度調(diào)整為8.4 m，經(jīng)模態(tài)測(cè)試得結(jié)構(gòu)基頻變化為4.297 Hz，記為結(jié)構(gòu)“M3”，此時(shí)結(jié)構(gòu)基頻落入二階步頻共振區(qū)，可進(jìn)行倍頻共振驗(yàn)證工作。使S2-S4在節(jié)拍器的引導(dǎo)下，在結(jié)構(gòu)M3上以共振步頻2.148 Hz行走。

表 5 所列為實(shí)測(cè)與數(shù)值模擬結(jié)果，S4的跨中加速度時(shí)程圖和頻譜圖如圖12所示，由圖可知，結(jié)構(gòu)產(chǎn)生了共振現(xiàn)象。由表可知，模型A1和A2的計(jì)算結(jié)果顯著偏大，平均高于實(shí)測(cè)結(jié)果70%以上，結(jié)果偏于保守；模型A3～A5的計(jì)算結(jié)果與A1和A2相比，與實(shí)測(cè)結(jié)果較為接近，A3的最大誤差為39.6%，A5最大誤差為34.5%，能更好的預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)共振響應(yīng)。

以上分析結(jié)果表明：不考慮人-結(jié)構(gòu)相互作用的荷載模型，其共振響應(yīng)預(yù)測(cè)結(jié)果會(huì)偏于保守；考慮相互作用的SMD模型能更好的預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)共振響應(yīng)，其中模型A5能在相對(duì)較小的偏差范圍內(nèi)預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)共振響應(yīng)。

表5 實(shí)測(cè)與數(shù)值結(jié)果

圖12 S4的模擬結(jié)果Fig.12 Simulation results of S4

4 結(jié) 論

對(duì)荷載模型A1～A5進(jìn)行對(duì)比分析與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證工作，有以下結(jié)論：

(1)當(dāng)結(jié)構(gòu)基頻處于亞諧共振區(qū)時(shí)，需考慮亞諧分量的影響，其影響隨人/結(jié)構(gòu)質(zhì)量比的增加更顯著，忽略亞諧分量會(huì)導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果偏??；處于倍頻共振區(qū)時(shí)，不考慮相互作用的移動(dòng)力模型的計(jì)算結(jié)果與SMD模型相比顯著偏大，其共振響應(yīng)預(yù)測(cè)結(jié)果偏于保守。

(2)ASMD模型Ⅱ既考慮了人-結(jié)構(gòu)相互作用，又包含亞諧分量，能更好的預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)人致響應(yīng)，且較BWM模型更加簡(jiǎn)化。