吳志強，王耀光，張祥云，王 喆

(1. 天津大學(xué)機械工程學(xué)院，天津 300072；2. 天津理工大學(xué)理學(xué)院，天津 300384)

隨機 P分岔是一類典型隨機非線性動力學(xué)現(xiàn)象，通常是指系統(tǒng)參數(shù)變化時引起系統(tǒng)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)概率密度圖峰數(shù)的變化[1-2]．除幾類典型系統(tǒng)外，絕大部分研究通過數(shù)值計算穩(wěn)態(tài)響應(yīng)(聯(lián)合)概率密度圖，來判斷系統(tǒng)中是否存在隨機分岔現(xiàn)象[3-4]，極少涉及物理系統(tǒng)實驗驗證．

存在隨機 P分岔行為的系統(tǒng)，其確定性行為通常有多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象．含平衡點與極限環(huán)共存的隨機 P分岔現(xiàn)象，在理論上與廣義 Hopf分岔有關(guān)，在應(yīng)用上與機翼顫振[5-9]、列車失穩(wěn)[10-11]等重要工程問題有關(guān)，因而在近年來引起人們的關(guān)注．

因物理意義清晰、代表性廣、形式相對簡單，廣義van der Pol方程常被作為范例來研究含平衡點與極限環(huán)多穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的隨機分岔行為．為探索強非線性阻尼的影響，人們引入不同階次的阻尼項形成不同類型的多穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)，如含5次非線性阻尼的雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)[12-13](平衡點與極限環(huán))、含7次非線性阻尼的雙節(jié)律系統(tǒng)[14](極限環(huán)與極限環(huán))以及含 9次非線性阻尼的三穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)[15-17](平衡點、極限環(huán)與極限環(huán))．

確定性分岔不同的系統(tǒng)，其隨機 P分岔行為通常也不同，如雙穩(wěn)態(tài) van der Pol方程，穩(wěn)定性系數(shù)(與線性阻尼系數(shù)反號)變化時，亞臨界 Hopf分岔產(chǎn)生的極限環(huán)發(fā)生1次鞍結(jié)分岔，而三穩(wěn)態(tài)時會發(fā)生2次鞍結(jié)分岔，二者確定性分岔有本質(zhì)的不同．在加性高斯白噪聲激勵情況下，兩類系統(tǒng)的隨機 P分岔圖均表示在穩(wěn)定系數(shù)、隨機激勵強度組成的參數(shù)平面內(nèi)，雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的分岔圖只含有1個形如三角形的雙模響應(yīng)區(qū)[12-13]，而三穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的分岔圖包含2個形如三角形的多模響應(yīng)區(qū)[15-16]，同樣有明顯的區(qū)別．

確定性分岔等價的系統(tǒng)，其隨機 P分岔行為的等價性問題，目前還未見到明確的結(jié)論．本文擬以一類三穩(wěn)態(tài)的 van der Pol方程為對象來探索這一問題．首先理論分析其確定性及隨機 P分岔行為，然后再通過電路實驗加以驗證．

1 廣義van der Pol方程及其近似解

為討論含有平衡點與極限環(huán)的多穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的隨機動力學(xué)行為，引入廣義van der Pol方程

式中：ε為穩(wěn)定系數(shù)；αi(i＝1，…，4)為非線性阻尼項系數(shù)；ξ()τ代表單位高斯白噪聲激勵，其特征描述為＜ξ(τ)＞＝0，＜ξ(τ)ξ(τ＋t1)＞＝δ(t1)．

假設(shè)系統(tǒng)存在如下形式的解：

式中：y(t)為響應(yīng)的幅值；?＝τ＋θ(τ)表示相位．

對于確定性情形(D＝0)，應(yīng)用確定性平均法，可求得平均方程為

由此可討論系統(tǒng)確定性分岔行為．

對于隨機激勵情形(D≠0)，利用隨機平均法得到系統(tǒng)Ito方程，再求解相應(yīng)的FPK方程，可求得系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值的概率密度函數(shù)(PDF)表達式為

其中κ為歸一化常數(shù)．由此通過PDF的定性變化討論系統(tǒng)的隨機P分岔現(xiàn)象．

需要特別強調(diào)，本文中參數(shù)取值為α1＝2.45，α2＝4.6，α3＝2.5，α4＝0.4，均與現(xiàn)有文獻不同．ε、D作為可調(diào)參數(shù)用來分析穩(wěn)定系數(shù)和噪聲強度對系統(tǒng)行為的影響．

2 確定性分岔

響應(yīng)的分岔圖見圖1中細實線．為驗證近似解的精度，圖中還給出了 Poincare分岔圖計算結(jié)果，并用綠色*標(biāo)記．二者吻合很好，說明確定性平均的結(jié)果具有足夠的精度，利用隨機平均法得到的概率密度函數(shù)也有望獲得對系統(tǒng)隨機行為的高精度描述．

圖1 確定性分岔圖Fig.1 Deterministic bifurcation diagram

從圖1分岔曲線看，近似解與數(shù)值解重合的部分是穩(wěn)定的，沒有數(shù)值解對應(yīng)的部分是不穩(wěn)定的[15,18].ε＜-0.215,V系統(tǒng)僅有唯一穩(wěn)定的解是零解；-0.215,V＜ε＜-0.192,V 系統(tǒng)零解和小極限環(huán)共存；-0.192,V＜ε＜-0.131,V 系統(tǒng)同時存在零解和大、小極限環(huán)；-0.131,V＜ε＜0,V系統(tǒng)存在零解和大極限環(huán)；ε＞0,V系統(tǒng)僅有唯一穩(wěn)定的解是大極限環(huán)．

盡管系數(shù)αi(i＝1，…，4)取值不同，但該分岔圖與文獻[15]所給分岔圖定性相同(注意這是 ε等同于原文-μ)．通常認為確定性分岔定性相同的系統(tǒng)，其隨機分岔也應(yīng)相似，但這里所討論的情況正相反(見第3節(jié))．

為說明系統(tǒng)有3個穩(wěn)態(tài)行為的特點，圖2以情況ε＝-0.172,V為例給出了對應(yīng)的相圖和時間歷程圖．顯然，除穩(wěn)定平衡點外，系統(tǒng)還同時存在 2個穩(wěn)定的極限環(huán)．

圖2 ε＝-0.172 V相圖及時間歷程圖Fig.2 Phase diagram and time history diagram for ε＝-0.172 V

3 隨機P分岔現(xiàn)象

奇異性理論概率密度曲線峰數(shù)變化臨界條件為

計算結(jié)果見圖3(a)，文獻中通常稱其為隨機 P分岔圖，能反映穩(wěn)定系數(shù)、噪聲強度相互作用導(dǎo)致系統(tǒng)幅值概率密度圖變化的規(guī)律，是一類雙參數(shù)分岔圖．為比較方便，圖3(b)給出了文獻[15]得到的隨機P分岔圖．盡管確定性分岔圖定性相同，但隨機 P分岔圖有本質(zhì)不同．圖3(a)中尖點 C2位于尖點 C1左側(cè)，圖3(b)則正相反．其直接后果是出現(xiàn)新的概率密度曲線演化序列(見圖4)．

圖4給出了ε＝－0.235,V時噪聲強度變化對PDF曲線的影響．隨著 D的增加，PDF演化過程為單峰—雙峰—單峰—雙峰—單峰．發(fā)生了 4次隨機 P分岔，這種現(xiàn)象在文獻[15]中是不可能出現(xiàn)的．這一結(jié)果表明，確定性分岔定性相同的系統(tǒng)其隨機 P分岔行為可能不同．這一較為反常的現(xiàn)象還鮮見文獻報道．

圖3 隨機P分岔圖Fig.3 Stochastic P bifurcation diagram

圖5給出了 D＝0.005時穩(wěn)定系數(shù)ε變化對 PDF曲線的影響．

給定 D或ε，還可得到一系列單參數(shù)變化導(dǎo)致的PDF演化序列，其種類遠多于雙穩(wěn)態(tài)情形．限于篇幅本文不再贅述．

圖4 不同噪聲強度D下的PDF曲線(ε＝-0.235 V)Fig.4 PDF curves for different noise intensities D(ε＝-0.235 V)

圖5 不同穩(wěn)定系數(shù)ε 下的PDF曲線(D＝0.005)Fig.5 PDF curves for different stable parameters ε(D＝0.005)

4 實驗研究

本文實驗所用非線性van der Pol電路如圖6所示．Vn為噪聲激勵端口．實驗裝置見圖 7，主要包括信號發(fā)生器、直流穩(wěn)壓電源、示波器、示波記錄儀、電路板等．

圖6 噪聲激勵下三穩(wěn)態(tài)van der Pol電路原理Fig.6 Circuit diagram of tri-stable van der Pol oscillator with noise

圖7 實驗裝置Fig.7 Experimental devices

根據(jù)基爾霍夫電壓電流定理，該電路的動力學(xué)方程為

式中：V1為反向積分器A1輸出的電壓信號，V；Ri(i＝1，…，16)分別對應(yīng)電路中電阻，Ω；C1、C2分別對應(yīng)電路中電容值，F(xiàn)．各元器件參數(shù)取值見表1．

表1 電路元器件參數(shù)Tab.1 Parameters of devices in the circuit

4.1 確定性分岔實驗

關(guān)閉隨機輸入端口 Vn，即可進行確定性動力學(xué)行為實驗．實驗中，通過示波記錄儀顯示并采集運算放大器 A1、A2輸出電壓 V1、V2，以此獲得系統(tǒng)響應(yīng)的狀態(tài)．

圖8給出了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的時間歷程截屏圖，上面波形為 V1的信號，下面波形為 V2的信號．圖 9給出了實驗得到的三穩(wěn)態(tài)行為相圖．其中

圖8 確定性系統(tǒng)實驗結(jié)果Fig.8 Experimental results of deterministic system

圖9 三穩(wěn)態(tài)行為相圖Fig.9 Tri-stable behavior phase diagram

圖10給出了分岔圖的對比，從對比情況來看，確定性系統(tǒng)的實驗有足夠的準確度，電路設(shè)計及參數(shù)選擇是合理的，在此基礎(chǔ)上進行隨機實驗是可行的．

圖10 實驗與理論結(jié)果對比Fig.10 Comparison of experimental and theoretical results

4.2 隨機P分岔實驗

通過 Vn端口接入隨機信號即可研究式(1)的隨機動力學(xué)行為．分別選擇不同噪聲強度(Vpp)、不同穩(wěn)定系數(shù)，記錄電路系統(tǒng)進入穩(wěn)態(tài)后的數(shù)據(jù)，統(tǒng)計響應(yīng)幅值的分布．

保持穩(wěn)定系數(shù)不變，取ε＝-0.235,V，噪聲強度對系統(tǒng)行為的影響見圖11和圖12．

圖11 同噪聲強度下的實驗結(jié)果Fig.11 Experimental results for different intensities

噪聲強度Vpp＝0.5,V時，系統(tǒng)響應(yīng)主要集中在平衡點附近，呈單模響應(yīng)特點，PDF僅有單峰，對應(yīng)平衡點，與圖4中D＝0.009,5理論結(jié)果相近．

噪聲強度Vpp＝0.8,V時，系統(tǒng)響應(yīng)主要在平衡點和小極限環(huán)附近切換，形成雙模響應(yīng)，PDF出現(xiàn)雙峰，分別對應(yīng)平衡點和小極限環(huán)，與圖4中D＝0.025理論結(jié)果相似．

噪聲強度Vpp＝1.5,V時，系統(tǒng)響應(yīng)主要集中在小極限環(huán)附近，呈單模響應(yīng)特點，PDF僅有單峰，對應(yīng)小極限環(huán)，與圖4中D＝0.075理論結(jié)果相近．

噪聲強度Vpp＝2.5,V時，響應(yīng)主要在大小極限環(huán)之間切換，呈現(xiàn)雙模響應(yīng)特點，大小極限環(huán)附近維持時間相近．PDF出現(xiàn)兩個峰，分別對應(yīng)大、小極限環(huán)，與圖4中D＝0.195理論結(jié)果相似．

噪聲強度Vpp＝3.2,V時，系統(tǒng)響應(yīng)主要集中在大極限環(huán)附近，呈單模響應(yīng)特點，PDF僅有單峰，對應(yīng)大極限環(huán)，與圖4中D＝0.35理論結(jié)果相近．

圖12 波形截屏圖(ε＝-0.25 V)Fig.12 Recorded waveform(ε＝-0.25 V)

保持噪聲強度不變，取 D＝0.005，穩(wěn)定系數(shù)對系統(tǒng)行為影響見圖13和圖14．

圖13 不同穩(wěn)定系數(shù)下的實驗結(jié)果Fig.13 Experimental results under different stability parameters

圖14 波形截屏圖(D＝0.005)Fig.14 Recorded waveform(D＝0.005)

穩(wěn)定系數(shù)ε＝-0.23,V時，響應(yīng)主要集中在平衡點附近，呈現(xiàn)單模響應(yīng)特點．PDF僅有單峰，與圖5中ε＝-0.23,V理論結(jié)果定性相同．

穩(wěn)定系數(shù)ε＝-0.21,V時，響應(yīng)主要在平衡點與小極限環(huán)之間切換，呈現(xiàn)雙模響應(yīng)特點．PDF出現(xiàn)雙峰，分別對應(yīng)平衡點和小極限環(huán)，與圖5中ε＝-0.20,V理論結(jié)果定性相同．

穩(wěn)定系數(shù)ε＝-0.18,V時，系統(tǒng)出現(xiàn)平衡點與大、小極限環(huán)之間切換，形成三模響應(yīng)．PDF出現(xiàn) 3個峰，分別對應(yīng)平衡點和大、小極限環(huán)，與圖5中 ε＝-0.17,V理論結(jié)果定性相同．

穩(wěn)定系數(shù)ε＝-0.13,V時，響應(yīng)主要在大極限環(huán)和小極限環(huán)之間切換，呈現(xiàn)雙模響應(yīng)特點．PDF出現(xiàn)雙峰，分別對應(yīng)大、小極限環(huán)，與圖5中 ε＝-0.15,V理論結(jié)果定性相同．

綜合上面分析可知，噪聲強度和穩(wěn)定系數(shù)的變化導(dǎo)致了系統(tǒng)發(fā)生隨機 P分岔，同時相圖與時間歷程圖都可以定性地看出系統(tǒng)響應(yīng)的變化情況．

5 結(jié) 語

針對含9次非線性阻尼項的廣義van der Pol系統(tǒng)，設(shè)計并搭建了電路實驗系統(tǒng)，實驗驗證了系統(tǒng)在確定性及隨機激勵情況下的分岔行為．

確定性情況下，隨著穩(wěn)定系數(shù)增加，系統(tǒng)穩(wěn)定行為演化過程為：平衡點—平衡點/小極限環(huán)—平衡點/小極限環(huán)/大極限環(huán)—平衡點/大極限環(huán)—大極限環(huán)．

隨機激勵情況下，實驗結(jié)果定性表明，噪聲強度、穩(wěn)定系數(shù)變化都能引起隨機 P分岔．但較雙穩(wěn)態(tài)情形更復(fù)雜，當(dāng)噪聲強度發(fā)生變化時，PDF曲線演化過程為：單峰—雙峰—單峰—雙峰—單峰，發(fā)生 4次隨機P分岔；當(dāng)穩(wěn)定系數(shù)發(fā)生變化時，PDF曲線演化過程為：單峰—雙峰—三峰—雙峰，發(fā)生了 3次隨機P分岔．

與已有文獻結(jié)果比較還發(fā)現(xiàn)：確定性分岔行為相似的系統(tǒng)，其隨機 P分岔行為可能不同．其動力學(xué)機制還有待進一步研究．