楊玉虎，杜愛倫，王世宇,

(1. 天津大學機械工程學院，天津 300072；2. 天津市非線性動力學與控制重點實驗室，天津 300072)

環(huán)狀結構廣泛應用于工程實際中，例如軸承的內外圈、旋轉電機的定轉子以及行星傳動的齒圈等．在工作過程中，該類結構通常受接觸或非接觸、均布或離散載荷的作用，產生振動和噪聲，同時降低工作效率，甚至發(fā)生永久破壞而導致事故．因此，研究該類結構的振動及其抑制措施尤為重要．目前，大量研究通常僅限于面內振動，具體內容涉及自由振動、受迫振動、參激振動以及非線性振動等方面．專門針對環(huán)狀周期結構的面外振動研究相對較少．

環(huán)狀周期結構通?？煞譃閱巍㈦p環(huán)結構．其中，單環(huán)結構十分常見，理論研究也較為深入．Kim 等[1]研究了旋轉圓環(huán)的面內和面外自由振動和非線性振動，比較了非線性與線性模型，得到了較為準確的應力-應變關系．同時指出：由于旋轉作用增大了圓環(huán)的剛度，因此不存在失穩(wěn)現象．Canchi等[2-4]和 Wu等[5]以行星傳動為背景，研究了環(huán)狀結構的動力學特性．其中，Canchi等[2-3]研究了受移動載荷作用的靜止和旋轉圓環(huán)的參激穩(wěn)定性，采用多尺度法揭示了結構參數與不穩(wěn)定邊界的映射關系；他們還給出了嚙合相位和重合度等基本參數與穩(wěn)定性之間的關系，為齒輪系統的參數設計提供了理論借鑒．Wu等[5]采用微元法建立了圓環(huán)的面內振動模型，探討了固有頻率分裂及振型耦合規(guī)律．此外，Lesaffre等[6]研究了受移動支撐激勵的圓環(huán)振動特性，采用 Routh-Hurwitz判據研究了穩(wěn)定性問題．Sadeghi等[7]采用多尺度法研究了由時變內應力導致的圓環(huán)穩(wěn)定性問題．

旋轉電機的定轉子也可視為受移動載荷的環(huán)狀周期結構．磁致振動和噪聲問題一直是該領域的重要研究內容．Xie等[8]采用能量法建立了雙定子電機轉子的二維動力學模型，分析了磁致彈性振動問題．Xia等[9]在磁場同步坐標系下建立了機-電-磁三場耦合動力學模型，通過求解特征值研究了三相對稱感應電機定子的振動規(guī)律，揭示了機、電和磁參數與動力穩(wěn)定性的映射關系，同時證明了即使三相對稱仍然存在發(fā)散和顫振不穩(wěn)定現象．Zhao等[10]建立了永磁電機定子的彈性動力學模型，采用多尺度法和Floquét理論研究了磁致參激振動規(guī)律，揭示了基本參數對不穩(wěn)定域的影響規(guī)律．應當指出，由于現有文獻通常在慣性坐標系下建模，因而得到的參激數學模型含時變系數，不存在解析解，只能采用近似或數值方法求解．其中，攝動法只適合弱參激系統，而數值方法計算效率較低，且通常為個案分析，很難揭示普遍規(guī)律．

本文擬研究受面外旋轉載荷激勵的環(huán)狀周期結構的參激彈性振動規(guī)律．首先采用能量法[1-2,10-13]和坐標變換法分別在載荷隨動坐標系和慣性系下建立含軸向彎曲和切向扭擺振動的二維模型，然后應用經典振動理論計算特征值，從而預測動力穩(wěn)定性，最后采用Floquét理論驗證了解析結果的正確性．

1 數學建模

1.1 模型描述

圖1為旋轉環(huán)狀周期結構及采用的坐標系．圓環(huán)的軸向高度、徑向厚度、密度、彈性模量、剪切模量和中性圓半徑分別為 h、b、ρ、E、G 和 R．OrθZ 和OρφZ分別為慣性和支撐隨動坐標系，原點位于幾何形心．O′xyz為截面坐標系，原點位于中性線上．x、y和 z分別沿徑向、切向和軸向．僅考慮面外振動，w表示中性面上任意一點的軸向位移，且為角度θ和時間 t的函數．與圓環(huán)垂直且等間隔分布的旋轉支撐kj(j＝1，2，…，N，N 為支撐個數)，剛度均為 ks且轉速為?．不失一般性，假設第1個支撐的初始位置位于極軸，因此兩種坐標系下第j個支撐的初始位置分別為

圖1 旋轉環(huán)狀周期結構及坐標系Fig.1 Rotational ring-shaped periodic structure and coordinates

1.2 支撐隨動系建模

本節(jié)在圖1所示隨動系下采用能量法建模．取圓環(huán)截面任意一點分析，假設該點的坐標為(x, z)，θφ、φr、φz分別為該點的切向、徑向和軸向轉角，該點的位移為uθ、ur和uz．在支撐隨動坐標系下，該點的位置矢量為

式(1)關于時間求導，有

其中

由于w和φθ是關于(?*,t)的函數，?*是隨動坐標系下的切向坐標，考慮旋轉作用，有?*=???t，則

又

因此

將上式代入式(2)可得圓環(huán)動能

式中：Ir( Ir= bh3/12)和Iz( Iz= b3h /12)分別為繞 x軸和z軸的截面慣性矩；B、Bx、Bz1和Bz2分別為

根據薄環(huán)假設，在空間應變狀態(tài)下中性面上的任一點的切向應變[14]為

式中為截面中心切向應變，且

為由圓環(huán)變形引起的曲率改變量，此處為0．又

綜合式(4)和(5)，可得圓環(huán)的應變能

式中：Ip( Ip= bh( b2+h2)/12)為圓環(huán)截面慣性矩；A1～A3分別為

旋轉支撐的彈性勢能為

式中：δ為狄拉克函數；q′為整數，其作用為保證

根據Hamilton原理可得

將式(3)、(6)和(7)代入式(8)中，可得動力學方程.引 入 無 量 綱 運 算 ?s=T?、=t/ T、=w/ R、=φθ/R和= ksR/( E A)，可得無量綱動力學方程．為書寫方便，將?s、和分別替換為?、t、w、φθ和ks，可得含陀螺項的偏微分方程為

其中

式中：M ′和 K ′0分別表示支撐隨動坐標系下光滑圓環(huán)的質量和剛度矩陣算子；K ′1為旋轉離散支撐產生的附加剛度矩陣算子．

采用 Galerkin方法對式(9)進行離散[15]，為此，選取一個滿足圓環(huán)邊界條件的形狀函數 ein?，構造軸向彎曲振動和切向扭擺振動響應．首先假設

定義內積運算

將式(10)代入式(9)中，并與 e?in?做內積，分離實、虛部，然后寫為矩陣形式，可得

其中

根據三角函數的運算性質，有

若2n/ N不為整數，則旋轉支撐的激勵作用消失，系統始終處于穩(wěn)定狀態(tài)，故此處不做具體討論；若2n/ N為整數，則

其中

由于式(12)為常系數微分方程，可直接求解出特征值，進而預測系統的動力穩(wěn)定性．

1.3 慣性系建模

針對旋轉支撐隨動坐標系 OρφZ下的非時變運動方程(9)，引入坐標變換θ=?+?t，可將其轉換至慣性坐標系OrθZ下，得到時變運動方程

其中

2 數值仿真

為了確定系統的參激振動特性及穩(wěn)定性，可根據式(12)計算特征值．為此，假設

則

式中：x(t)為 8×1的狀態(tài)矩陣；B為 8×8的周期矩陣；0和I分別表示4×4零矩陣和單位矩陣．假設

式中λ為系統特征值．將式(16)代入式(15)中，可得特征方程

表1給出了一個典型旋轉環(huán)狀周期結構的基本參數，其中圓環(huán)的徑厚比滿足薄環(huán)條件．如果沒有特別指出，下文所用參數均取自表1．

表1 環(huán)狀周期結構基本參數Tab.1 Specifications of a ring-shaped periodic structure

根據式(16)計算出的特征值進行仿真，可得圖2和圖3所示特征值實、虛部隨轉速的變化規(guī)律以及波數、支撐剛度及其個數的影響．需要指出的是，圖中所示情形均滿足2n/N為整數的條件．

圖2中藍線和紅線分別代表系統的 1、2階特征值，且分別對應彎曲和扭擺振動，其中實線和虛線分別為正、余弦模態(tài)．可以看出，當結構靜止時，各階特征值的虛部均不為零，且數值隨波數而增大；若支撐剛度增大，則 1、2階余弦模態(tài)的特征值虛部隨之增大，但正弦模態(tài)數值均無變化．當旋轉支撐轉速較大時，各階特征值正、余弦模態(tài)均不重合，產生分裂現象[16]，且在振動波數相同的前提下，支撐剛度越小，分裂越顯著．總體來看，在較低轉速范圍內，各階特征值虛部受支撐剛度影響較大，但隨著轉速上升，波數更容易影響虛部數值及變化趨勢．

根據特征值實部可預測系統的穩(wěn)定性．若實部大于零，則響應隨時間發(fā)散，因而不穩(wěn)定．由于不穩(wěn)定現象通常涉及1階模態(tài)的彎曲振動，因此低階振動普遍受到重點關注．從圖3可以看出，當波數增加時，不穩(wěn)定區(qū)域范圍減小，并且出現的位置更加聚集；當支撐剛度增大時，引起不穩(wěn)定的轉速區(qū)間明顯擴大且不穩(wěn)定程度顯著增強．在工程實際中，應當合理選擇設計參數，使工作轉速遠離不穩(wěn)定區(qū)域．

圖2 特征值虛部隨旋轉支撐轉速的變化規(guī)律Fig.2 Imaginary part of eigenvalue versus rotation speed of rotating supports

圖3 特征值實部隨旋轉支撐轉速的變化規(guī)律Fig.3 Real part of eigenvalue versus rotation speed of rotating supports

圖4描述了不穩(wěn)定域隨波數的變化規(guī)律．對比圖2(a)可知，圖4(a)中左側第 1個不穩(wěn)定域的“尖點”位置對應的1階正弦模態(tài)的特征值虛部為零，因而為發(fā)散不穩(wěn)定；同理，第2和第3區(qū)域均為發(fā)散不穩(wěn)定，無顫振不穩(wěn)定現象．同理，圖4(b)和圖2(b)有相同的對應關系．

圖4 不穩(wěn)定域隨波數的變化規(guī)律Fig.4 Unstable regions versus wave number

為了進一步驗證不穩(wěn)定域及其類型的正確性，在圖4(a)中的穩(wěn)定和不穩(wěn)定區(qū)域任意選取 3組參數{ks=0.7，?=8}、{ks=0.7，?=18}、{ks=0.1，? =8}，在其他初始條件均相同的情況下，采用變步長龍格-庫塔方法分別求解時域響應，可得圖5所示結果．其中藍線和紅線分別對應軸向彎曲和切向扭擺振動的響應．可以看出，圖5(a)和(b)均呈現發(fā)散特征，圖5(c)和(d)則呈現周期特征．顯然，數值計算與理論預測結果相符．

圖5 時域動態(tài)響應Fig.5 Time-domain dynamic response

3 數值驗證

為了進一步驗證上述結果的正確性，本節(jié)基于Floquét理論，針對慣性系下的時變動力學模型進行數值計算，預測系統的動力穩(wěn)定性，進而驗證坐標變換方法及支撐隨動坐標系下解析結果的正確性．采用式(10)的設解形式對式(13)進行Galerkin離散，可得

其中

將式(18)改寫為狀態(tài)空間形式，可得

式中：Q為8×1的狀態(tài)變量矩陣；A(t)為8×8的時變周期矩陣；Tm是與支撐轉速相關的激勵周期．根據A( t)可近似構造 Floquét轉換矩陣，然后根據特征乘子判斷系統的動力穩(wěn)定性[15,17]．具體計算結果如圖6所示．

圖6 不穩(wěn)定域預測Fig.6 Estimation of unstable regions

對比圖4和圖6可知，在忽略計算誤差的前提下，兩個坐標系下的計算結果一致，從而驗證了隨動系下得到的不穩(wěn)定域位置及其邊界的正確性．

4 結 論

(1) 采用 Hamilton原理在載荷隨動坐標系下建立了描述軸向彎曲和切向扭擺振動且含定常系數的彈性動力學模型．

(2) 根據特征值預測了系統的動力學特性，具體分析了動力穩(wěn)定性及其類型，揭示了發(fā)散不穩(wěn)定現象及其變化規(guī)律．

(3) 采用Floquét理論在慣性坐標系下計算了動力穩(wěn)定性，從而驗證了載荷隨動坐標系處理方法的正確性．