孫芳錦， 畢 鵬， 呂艷卓

(1.東南大學(xué) 混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210096；2.遼寧工程技術(shù)大學(xué) 建筑工程學(xué)院，遼寧 阜新 123000)

風(fēng)與膜結(jié)構(gòu)的流固耦合作用是被研究人員廣泛關(guān)注但尚未深入研究的前沿課題之一。隨著計(jì)算機(jī)軟硬件技術(shù)的迅速提高，數(shù)值模擬方法已發(fā)展成為分析風(fēng)與膜結(jié)構(gòu)流固耦合作用的重要工具。目前研究膜結(jié)構(gòu)風(fēng)振中的流固耦合效應(yīng)的數(shù)值方法包括弱耦合分區(qū)法、強(qiáng)耦合分區(qū)法和強(qiáng)耦合整體法[1]。弱耦合分區(qū)法是在每一時(shí)間步內(nèi)先對(duì)流體控制方程和結(jié)構(gòu)控制方程分別獨(dú)立求解，然后將作用在流體域模型上的氣動(dòng)力荷載通過流體和結(jié)構(gòu)的交界面?zhèn)鬟f給結(jié)構(gòu)域模型，用來預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)的位移，然后再將結(jié)構(gòu)的位移作為新的荷載傳遞給流體域，此過程如此反復(fù)，直到結(jié)果收斂于指定值。強(qiáng)耦合分區(qū)法就是在流體域和結(jié)構(gòu)域各自求解器的基礎(chǔ)上再增加一次迭代循環(huán)，在每一個(gè)時(shí)間步求解非線性方程組，計(jì)算出全場(chǎng)變量的值。強(qiáng)耦合整體方法是指在每一時(shí)間步內(nèi)對(duì)流體控制方程和結(jié)構(gòu)控制方程同時(shí)聯(lián)立求解；狹義的說，就是對(duì)整個(gè)流固耦合問題用一個(gè)方程組表示并進(jìn)行求解[2-4]。

國內(nèi)外學(xué)者大都采用強(qiáng)耦合分區(qū)法或弱耦合分區(qū)法對(duì)膜結(jié)構(gòu)風(fēng)振中流固耦合效應(yīng)進(jìn)行了研究[5-9]；采用強(qiáng)耦合整體方法計(jì)算流固耦合問題的研究還非常有限[10-12]，但強(qiáng)耦合整體方法在穩(wěn)定性和精度等方面卻顯示出其優(yōu)勢(shì)。文獻(xiàn)[13]推導(dǎo)出了風(fēng)與膜結(jié)構(gòu)的流固耦合計(jì)算的強(qiáng)耦合整體方程，并對(duì)典型形狀膜結(jié)構(gòu)的風(fēng)振流固耦合計(jì)算進(jìn)行了分析，研究結(jié)果表明采用強(qiáng)耦合整體方法求解風(fēng)與膜結(jié)構(gòu)的流固耦合作用具有在精度和穩(wěn)定性方面都具有優(yōu)勢(shì)，但由于強(qiáng)耦合整體方法采用一個(gè)非線性方程組表示流固耦合系統(tǒng)，通常需要采用Newton方法線性化后進(jìn)行求解。在求解該方程過程中，大量的機(jī)時(shí)都耗費(fèi)在了對(duì)雅可比矩陣的反復(fù)集成和相應(yīng)線性體系解的Newton修正中[14-15]，這往往會(huì)導(dǎo)致該問題的計(jì)算量非常大，因此對(duì)強(qiáng)耦合整體方程進(jìn)行高效的求解是需要重點(diǎn)解決的問題之一。

本文針對(duì)柔性膜結(jié)構(gòu)經(jīng)歷大變形的特點(diǎn)，對(duì)傳統(tǒng)投影法進(jìn)行修正來求解上述強(qiáng)耦合整體方程，在經(jīng)典投影法的基礎(chǔ)上，在校正步中引入壓力修正因子迭代修正使原始動(dòng)量方法中隱性定義的壓力約束條件得到滿足，并給出了該方法求解的過程。應(yīng)用提出的修正投影法對(duì)經(jīng)典二維流固耦合問題和三維柔性膜結(jié)構(gòu)風(fēng)致流固耦合作用進(jìn)行計(jì)算，評(píng)估了本文修正投影法的性能和效率。

1 控制方程和邊界條件

1.1 流體控制方程

流體控制方程由為不可壓黏性Navie-Stokes方程(簡(jiǎn)稱N-S方程)，即連續(xù)方程和動(dòng)量方程

▽·νf=0

(1)

(2)

式中:νf為流體流動(dòng)速度；▽為空間梯度;ρf為流體密度;σf為流體的全應(yīng)力張量(壓力和黏性力)，σf=μ[▽vf+(▽vf)T]-pI，μ是流體黏度；p為流體壓力;fBf為流體體積力。

1.2 結(jié)構(gòu)控制方程

膜結(jié)構(gòu)可以看成是經(jīng)歷大變形的彈性體，其控制方程可由Total Lagrangian方程描述為

▽·σl+fs=0

(3)

上式表示T.L.方法中，差分平衡方程基于初始未變形位形的表達(dá)；σl是Piola-Lagrange應(yīng)力張量，它是相對(duì)于未變形表面已發(fā)生變形位形的應(yīng)力。

1.3 流體和結(jié)構(gòu)的耦合

引入線彈性模型來處理流體域的變形，解決流體域和結(jié)構(gòu)域交界面處的數(shù)據(jù)傳遞問題，實(shí)現(xiàn)流體和結(jié)構(gòu)的耦合。線彈性模型的方程為

(4)

(5)

(6)

(7)

流體和結(jié)構(gòu)在交界面上的耦合條件為

(8)

(9)

(10)

式中:νs是結(jié)構(gòu)速度;us是未知結(jié)構(gòu)位移;σc是Cauchy應(yīng)力，σc=FσpFT/J，J=det(F)是雅可比行列式;ns=-nf,nf是流體邊界面的外法線方向單位向量，ns是流體邊界面的外法線方向單位向量。

1.4 流固耦合體系的強(qiáng)耦合整體方程

強(qiáng)耦合整體方程的推導(dǎo)就是對(duì)流體域、結(jié)構(gòu)域以及線彈性模型方程進(jìn)行時(shí)間和空間上的離散的過程。流體方程、結(jié)構(gòu)方程和線彈性方程均采用Galerkin有限元法進(jìn)行離散，時(shí)間上的離散采用隱式有限差分方法，具體推導(dǎo)過程可參見文獻(xiàn)[13]。

膜結(jié)構(gòu)風(fēng)致流固耦合問題的加權(quán)殘差方程fFSI可以寫作

2 求解方法

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

最后將上述預(yù)測(cè)得到的速度投影到無散向量場(chǎng)空間，得到非線性方程組的速度、壓力和位移

(22)

(23)

(24)

3 算例分析

3.1 二維流固耦合問題

這里應(yīng)用上述模型對(duì)典型的流固耦合問題進(jìn)行了計(jì)算[17]。實(shí)驗(yàn)中流體水的密度ρf=1 000 kg/m3，固體為類似橡膠材料，幾何尺寸如圖1所示。試驗(yàn)共分為FSI1、FSI2和FSI3三個(gè)試驗(yàn)，其中FSI1試驗(yàn)為穩(wěn)態(tài)試驗(yàn)，F(xiàn)SI2和FSI3試驗(yàn)為非穩(wěn)態(tài)流固耦合二維計(jì)算，這里分別對(duì)FSI2和FSI3試驗(yàn)進(jìn)行計(jì)算。試驗(yàn)中為低雷諾數(shù)情況，試驗(yàn)中計(jì)算域長(zhǎng)度L=2.5 m，高度H=0.41 m，結(jié)構(gòu)模型包含剛性圓柱和其右后的一彈性桿，圓柱圓心位置(從計(jì)算域左下角位置算起)C為(0.2,0.2,)，半徑為0.05。彈性結(jié)構(gòu)桿件的長(zhǎng)度為l=3.5，高H=0.02；右下角的位置是(0.6,0.19)，且其左側(cè)與固定圓柱是完全連接的。整個(gè)結(jié)構(gòu)控制點(diǎn)A(t)的位置是A(0)=(0.6,0.2)。受篇幅所限，這里僅給出模擬FSI3試驗(yàn)的計(jì)算結(jié)果。

圖1 經(jīng)典流固耦合問題幾何尺寸

設(shè)定λ1≈104經(jīng)過多次修正迭代得到的結(jié)果與采用Newton-Rapshon求解方法的結(jié)果和原試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。圖2和圖3分別給出了本文計(jì)算的彈性梁端結(jié)點(diǎn)A的不同方向位移時(shí)程，以及作用在圓柱和梁上的升力和阻力。

從圖中可以看出，本文引入修正因子的投影法的計(jì)算結(jié)果與采用Newton-Rapshon求解方法和原試驗(yàn)結(jié)果非常接近，說明本文方法的正確性。

為了說明本文方法的求解效率，表1給出了采用本文方法計(jì)算得到彈性梁端結(jié)點(diǎn)A的x方向位移dx和y方向位移dy隨不同修正迭代的誤差范數(shù)變化，并與其他方法結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。

從表1中可以看出，與傳統(tǒng)Newton-Rapshon法相比，經(jīng)過同樣的迭代次數(shù)，本文中引入修正因子的投影方法的誤差范數(shù)要小得多；且本文的方法只需經(jīng)過較少的迭代次數(shù)便可以達(dá)到較小的誤差，證明了本文方法的收斂速度快，誤差小。

(a)

(b)

Fig.2 Displacement time history comparison at different directions of nodeA

表1 彈性梁端結(jié)點(diǎn)A的誤差范數(shù)比較

3.2 三維柔性膜結(jié)構(gòu)風(fēng)致振動(dòng)流固耦合效應(yīng)分析

(a)

(b)

這里以典型的鞍型膜結(jié)構(gòu)為例，應(yīng)用以上的強(qiáng)耦合整體方法程序進(jìn)行風(fēng)振響應(yīng)分析計(jì)算。膜結(jié)構(gòu)的計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖4所示，其基本參數(shù)如下：跨度L=20 m，高度H=5 m，矢跨比f/L=1/8，預(yù)張力T=2.0 kN/m，薄膜厚度為1 mm，單位面積的質(zhì)量g=1.25 kg/m2，張拉剛度為Et=8.0×105N/m,剪切剛度Gt=1.2×104N/m，泊松比υ=0.3。由于本文重點(diǎn)考察修正投影法的性能，因此暫未考慮湍流的影響。以典型的三維鞍型膜結(jié)構(gòu)為例，應(yīng)用以上的強(qiáng)耦合整體方法和預(yù)處理器對(duì)其進(jìn)行風(fēng)振響應(yīng)分析計(jì)算，計(jì)算中的具體參數(shù)設(shè)置與文獻(xiàn)[13]相同，這里不再贅述。

為了說明本文的修正投影法的計(jì)算效率和性能，這里首先分析了修正投影法中修正值λ1對(duì)膜結(jié)構(gòu)分區(qū)風(fēng)壓系數(shù)的影響，其中鞍型膜結(jié)構(gòu)的分區(qū)情況見圖5。

表2給出了本文方法中選取不同修正值時(shí)與Newton-Rapson方法的分區(qū)風(fēng)壓系數(shù)(0°風(fēng)向角)相比的誤差范數(shù)，其中Newton-Rapson方法的分區(qū)風(fēng)壓系數(shù)來自文獻(xiàn)[13]，其中迭代次數(shù)為10次。

分析表2，可以得出如下結(jié)論，

(a)(b)圖4 鞍型膜結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖Fig.4 Geometry of saddle membrane structure圖5 鞍型膜結(jié)構(gòu)分區(qū)圖Fig.5 Dividing of saddle membrane structure

表2不同修正值對(duì)平均風(fēng)壓系數(shù)(均值)的影響

Tab.2Effectsofdifferentmodifedvaluesonmeanwindpressurecoefficients

分區(qū)Newton-Rapson方法本文方法取不同修正值的誤差范數(shù)103104105A1-0.522.14×10-41.22×10-43.23×10-4A2-0.341.49×10-42.03×10-52.98×10-4A3-0.223.23×10-41.29×10-41.22×10-5A4-0.542.33×10-51.78×10-43.22×10-4B1-1.563.21×10-41.44×10-52.03×10-4B2-1.350.92×10-41.68×10-42.43×10-4B3-0.862.31×10-41.09×10-51.65×10-4C1-0.762.33×10-41.02×10-52.11×10-5C2-0.150.94×10-43.76×10-42.76×10-5C3-0.133.66×10-41.34×10-53.22×10-4D10.181.75×10-50.54×10-53.18×10-4E1-1.280.43×10-51.29×10-40.87×10-5

(1) 本文的修正投影法得到的分區(qū)風(fēng)壓系數(shù)與Newton-Rapson方法計(jì)算得到的分區(qū)風(fēng)壓系數(shù)非常接近，證明了本文方法計(jì)算三維膜結(jié)構(gòu)風(fēng)致流固耦合計(jì)算的正確性。

(2) 本文修正投影法的修正值λ1的取值對(duì)風(fēng)壓系數(shù)的影響并不是很大，可以看到，隨著修正值λ1增大，風(fēng)壓系數(shù)誤差范數(shù)的變化并不明顯，但是計(jì)算中發(fā)現(xiàn)，修正值的增大會(huì)導(dǎo)致計(jì)算機(jī)時(shí)明顯增加，且增加了計(jì)算不穩(wěn)定的風(fēng)險(xiǎn)。因此修正值建議取在一定合適的范圍內(nèi)即可。

表3給出了迭代次數(shù)的變化對(duì)于風(fēng)壓系數(shù)的影響，這里還計(jì)算了0°風(fēng)向角時(shí)分區(qū)風(fēng)壓系數(shù)與Newton-Rapson方法相比的誤差范數(shù)變化，其中修正值λ1≈103。

分析表3可以看出，修正投影法的計(jì)算精度較高，且迭代次數(shù)對(duì)于風(fēng)壓系數(shù)是有重要影響的：迭代次數(shù)越大，風(fēng)壓系數(shù)的誤差范數(shù)越小，結(jié)果越準(zhǔn)確。但是要注意計(jì)算結(jié)果精確度和計(jì)算耗時(shí)之間的平衡。計(jì)算中發(fā)現(xiàn)，迭代次數(shù)平均增大達(dá)到約20%，計(jì)算精度提高約19%，計(jì)算耗時(shí)平均約增加7%，說明采用修正投影法計(jì)算膜結(jié)構(gòu)的風(fēng)致流固耦合風(fēng)壓系數(shù)，計(jì)算精度的提高速度是高于迭代次數(shù)和計(jì)算耗時(shí)的，因此如果需要得到更高精度的結(jié)果，在計(jì)算硬件條件容許的情況下是可以通過增加迭代次數(shù)實(shí)現(xiàn)的。

表3 不同迭代次數(shù)對(duì)平均風(fēng)壓系數(shù)(均值)的影響

同時(shí)，為進(jìn)一步說明本文修正投影法的計(jì)算精度和效率，本文還對(duì)比了不同求解方法在不同網(wǎng)格數(shù)下計(jì)算膜結(jié)構(gòu)中點(diǎn)的前40 s的風(fēng)振響應(yīng)時(shí)，采用相同迭代數(shù)時(shí)的相對(duì)殘差R和耗費(fèi)機(jī)時(shí)T(小時(shí))，其中修正投影法的修正值λ1≈103，對(duì)比結(jié)果如表4所示。

表4不同網(wǎng)格數(shù)下的相對(duì)殘差和耗費(fèi)機(jī)時(shí)

Tab.4Relativeresidualsandcomputingtimefordifferentmeshnumbers

網(wǎng)格總數(shù)(萬)Newton-Rapson方法本文方法RTRT314.419×10-51491.122×10-584334.204×10-51788.329×10-693363.986×10-52095.788×10-6103393.795×10-52473.866×10-6114

分析表4可以看出，

(1) 在同樣網(wǎng)格精度和迭代次數(shù)條件下，無論采用傳統(tǒng)Newton-Rapson方法還是本文方法，隨著網(wǎng)格的精細(xì)化程度提高，計(jì)算相對(duì)殘差都逐漸減小，耗費(fèi)機(jī)時(shí)也都增加。但本文修正投影法的相對(duì)殘差和耗費(fèi)機(jī)時(shí)均小于傳統(tǒng)Newton-Rapson方法，說明本文方法的計(jì)算精度和效率都是較高的。

(2) 采用傳統(tǒng)Newton-Rapson方法時(shí)，當(dāng)網(wǎng)格精度平均提高約10%時(shí)，計(jì)算精度平均提高約5%，而耗費(fèi)機(jī)時(shí)卻平均增加了約20%，穩(wěn)定性基本不受影響，表明網(wǎng)格劃分的精細(xì)程度對(duì)于計(jì)算結(jié)果的精度和穩(wěn)定性影響是不大的。

(3) 當(dāng)采用本文修正投影法時(shí)，當(dāng)網(wǎng)格精度平均提高約10%時(shí)，計(jì)算精度平均提高約30%，而耗費(fèi)機(jī)時(shí)卻平均只增加了約10%，穩(wěn)定性同樣基本不受影響；說明在同樣網(wǎng)格精度提高的條件下，本文修正投影法的計(jì)算精度和效率顯著提高，也說明本文方法的計(jì)算結(jié)果對(duì)網(wǎng)格的依賴度較高。

4 結(jié) 論

本文針對(duì)柔性膜結(jié)構(gòu)經(jīng)歷大變形的特點(diǎn)，對(duì)傳統(tǒng)投影法進(jìn)行修正來求解上述強(qiáng)耦合整體方程，應(yīng)用于二維流固耦合問題和三維柔性膜結(jié)構(gòu)風(fēng)致流固耦合作用進(jìn)行計(jì)算，得到的主要結(jié)論有：

(1) 修正投影法可以用于柔性膜結(jié)構(gòu)的風(fēng)致流固耦合計(jì)算，且其計(jì)算精度和效率要高于傳統(tǒng)Newton-Rapson方法。

(2) 修正投影法的修正值對(duì)于結(jié)果的影響不大，而計(jì)算迭代次數(shù)是影響結(jié)果的重要因素.

(3) 采用修正投影法的計(jì)算結(jié)果對(duì)網(wǎng)格的依賴度較高，計(jì)算中可以通過增加迭代次數(shù)的方法較大幅度的提高計(jì)算精度，且計(jì)算機(jī)時(shí)增加相對(duì)較少，計(jì)算穩(wěn)定性不受影響。