張 璇

(天津泰達(dá)電子工程有限公司 天津 300450)

0 引 言

電力系統(tǒng)可靠性是通過定量的可靠性指標(biāo)來衡量的。在一般性的可靠性分析方法中，電力系統(tǒng)的可靠性指標(biāo)——故障率λ、故障修復(fù)時(shí)間 t及年停電時(shí)間u等均由元件的基本可靠性指標(biāo)求得。在這里就出現(xiàn)了一個(gè)近似條件，即認(rèn)為當(dāng)支路(設(shè)備)狀態(tài)變化滿足齊次馬爾可夫過程特點(diǎn)時(shí)，節(jié)點(diǎn)狀態(tài)變化同樣滿足，所以才有了通過支路(設(shè)備)可靠性指標(biāo)去求節(jié)點(diǎn)指標(biāo)的各種方法，但其中網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)變化是否符合條件并未有相應(yīng)的解釋。

因此，本文擬應(yīng)用計(jì)算機(jī)軟件，在不考慮容量約束的情況下，通過仿真設(shè)備(支路)的狀態(tài)變化對網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)狀態(tài)的影響，來判斷節(jié)點(diǎn)狀態(tài)變化是否符合或者近似符合齊次馬爾可夫過程。

1 網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)與支路狀態(tài)的可靠性分析方法

1.1 馬爾可夫(Markov)過程簡介

可修系統(tǒng)模型是一種重要的可靠性模型，因其引入了允許設(shè)備修復(fù)的概念，使系統(tǒng)可靠性研究得以更加完善。假定設(shè)備的故障率λ和修復(fù)率μ均為常數(shù)，則各部件的故障分布和修復(fù)時(shí)間分布均為指數(shù)分布，在這種條件下，總可以找到適當(dāng)?shù)南到y(tǒng)狀態(tài)，以使用馬爾可夫過程描述[1]?；隈R爾可夫過程的這類可修系統(tǒng)是可靠性分析中研究及應(yīng)用最多的一類系統(tǒng)。

1.1.1 馬爾可夫過程的定義

則稱隨機(jī)過程{ X (t), t ≥ 0 }為連續(xù)時(shí)間、有限狀態(tài)空間的馬爾可夫過程。

若對任意t，u≥0，均有：

若用Pj(t)表示t時(shí)刻系統(tǒng)處于狀態(tài) j的概率，則：

對于此處描述的有限狀態(tài)空間 E的齊次馬爾可夫過程，以下極限存在且有限。

1.1.2 馬爾可夫可修系統(tǒng)模型

存在一個(gè)可修系統(tǒng)，在t時(shí)刻所處的運(yùn)行狀態(tài)可以用 X (t)來表示。該存在N+1個(gè)運(yùn)行狀態(tài)，其中狀態(tài) 0，1，…，K是系統(tǒng)的正常工作狀態(tài)；K+1，…，N是異常故障狀態(tài)。記假定所表示的馬爾可夫過程為齊次的，且在足夠小的時(shí)間Δt內(nèi)的轉(zhuǎn)移概率函數(shù)滿足：

顯然：

則由式(4)可知：

在系統(tǒng)的可靠性分析過程中，各類可靠性指標(biāo)就可以通過上述齊次馬爾可夫過程的一般應(yīng)用模型來求得。

1.1.3 系統(tǒng)的可用度

系統(tǒng)在任意時(shí)刻t，處于可用狀態(tài)的概率稱為系統(tǒng)的可用度。下面對用馬爾可夫過程分析可修復(fù)系統(tǒng)瞬時(shí)和穩(wěn)態(tài)可用度的方法及過程作一些介紹。

①瞬時(shí)可用度

公式(10)可以寫成矩陣的形式：

②穩(wěn)態(tài)可用度

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度是評估系統(tǒng)可靠性的重要依據(jù)，與瞬時(shí)可用度相比，工程實(shí)踐更加注重系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度?？梢赃\(yùn)用 P (t)的極限分布來求得系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度，此處引用以下結(jié)果[2]。

由式(5)和(8)，可知定理1的條件滿足。由于：

當(dāng)t→∞時(shí)，根據(jù)定理1，上式右端極限存在，因而左端的極限也存在，且：

定理2，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度為：

這樣，穩(wěn)態(tài)可用度A就可以通過瞬時(shí)可用度A(t)來計(jì)算。

1.1.4 分析馬爾可夫型可修系統(tǒng)的步驟

給定一個(gè)滿足上述定義條件的具體的馬爾可夫型可修系統(tǒng)，可通過以下步驟求得系統(tǒng)的各項(xiàng)可靠性分析指標(biāo)。①定義系統(tǒng)的狀態(tài)，并保證該狀態(tài)能夠完整地表示并區(qū)分系統(tǒng)的正常和故障運(yùn)行情況。令為系統(tǒng)的狀態(tài)集合，分別表示系統(tǒng)正常運(yùn)行狀態(tài)的集合和故障狀態(tài)的集合。②定義t時(shí)刻的隨機(jī)過程。若各部件的故障分布和修復(fù)時(shí)間分布均為指數(shù)分布，則該隨機(jī)過程是一個(gè)有限狀態(tài)空間E上的齊次馬爾可夫過程。③求轉(zhuǎn)移率矩陣A。對前面定義的隨機(jī)過程 X (t)，可以求得轉(zhuǎn)移概率函數(shù)：

進(jìn)一步寫出轉(zhuǎn)移率矩陣：

④求解 Pi(t)=P{X(t)=j}，j∈E。解微分方程組：

可以利用拉氏變換的方法，先將其轉(zhuǎn)化為線性方程組求解，再作反變換，得出微分方程組的解。⑤求系統(tǒng)的瞬時(shí)可用度和穩(wěn)態(tài)可用度。由上述介紹可知：

1.2 系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)可靠性的計(jì)算方法

系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)可靠性的分析是在元件故障和修復(fù)數(shù)據(jù)以及系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，求得的能夠表明系統(tǒng)可靠性的定量指標(biāo)[3]。目前，研究系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)可靠性的基本分析方法主要有兩種：解析法和蒙特卡洛模擬法，下面分別予以簡要介紹。

1.2.1 解析法

解析法基于馬爾可夫模型，常用于一些簡化了的或小型的組合系統(tǒng)的可靠性評估，通過建立并求解電力系統(tǒng)的可靠性分析數(shù)學(xué)模型，從而計(jì)算得出系統(tǒng)的可靠性分析指標(biāo)。

這種計(jì)算方法的優(yōu)點(diǎn)在于利用了精確的數(shù)學(xué)模型，概念清晰，易于理解，且邏輯關(guān)系明確，模型的精度較高；其缺點(diǎn)是當(dāng)系統(tǒng)規(guī)模較大時(shí)，計(jì)算量便會隨著系統(tǒng)復(fù)雜程度的增大呈現(xiàn)指數(shù)增長。因此解析法僅適用于系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)規(guī)模較小，元件數(shù)目不太多但故障時(shí)有重大影響的情況。

解析法中應(yīng)用較為廣泛的主要有網(wǎng)絡(luò)法、故障樹分析法(Fault Tree Analysis)和狀態(tài)空間法。至于具體選擇何種方法，則需要根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和規(guī)模、元件的獨(dú)立性和可修復(fù)性、故障時(shí)間及修復(fù)時(shí)間的概率分布(指數(shù)或非指數(shù)分布)、故障模式(獨(dú)立、相關(guān)或共同模式故障)以及運(yùn)行方式和環(huán)境的影響等[3]進(jìn)行判斷。下面僅對本文算例中用到的狀態(tài)空間法進(jìn)行簡要介紹。

系統(tǒng)某一時(shí)刻所處的狀態(tài)取決于系統(tǒng)中各元件的狀態(tài)。系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)中的元件一般為兩狀態(tài)元件：正常工作狀態(tài)或異常故障狀態(tài)。對于一個(gè)給定的系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)，可能出現(xiàn)的所有可能的狀態(tài)集，就稱為狀態(tài)空間，其中任何一個(gè)元件的狀態(tài)發(fā)生變化，都將使系統(tǒng)從當(dāng)前狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪粋€(gè)狀態(tài)。

所謂狀態(tài)空間法，就是用系統(tǒng)所處的狀態(tài)和這些狀態(tài)之間可能發(fā)生的轉(zhuǎn)移來表示系統(tǒng)，并由故障判據(jù)劃分出系統(tǒng)正常工作狀態(tài)和故障狀態(tài)，以求得系統(tǒng)的可靠性指標(biāo)[3]。

在元件的故障密度函數(shù)和修復(fù)密度函數(shù)服從指數(shù)分布的情況下，元件的故障率和修復(fù)率都是常數(shù)，便可以應(yīng)用齊次馬爾可夫過程來描述系統(tǒng)的狀態(tài)變化，對其求解來得到各項(xiàng)可靠性指標(biāo)。對于規(guī)模較小的系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)，狀態(tài)空間法的基本計(jì)算步驟如下：列舉出所有可能的系統(tǒng)狀態(tài)，并規(guī)定系統(tǒng)故障判據(jù)；根據(jù)元件的兩狀態(tài)概率計(jì)算系統(tǒng)處于某一狀態(tài)的概率；分析各狀態(tài)之間如何轉(zhuǎn)換，并根據(jù)計(jì)算出的轉(zhuǎn)移概率，畫出系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移聯(lián)絡(luò)圖；按照規(guī)定的故障判據(jù)，將各種系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行分類(一般可靠性分析中只需將各種系統(tǒng)狀態(tài)分為正常和故障兩大類)，然后逐個(gè)檢驗(yàn)其事故后果，針對某一類狀態(tài)計(jì)算系統(tǒng)的可靠性指標(biāo)[4]。

本文所討論的“考慮支路可靠性過程的網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)狀態(tài)仿真”，針對具體問題所用到的狀態(tài)空間法的分析過程不盡相同。

1.2.2 電力系統(tǒng)可靠性評估的模擬法

模擬法又稱隨機(jī)抽樣方法，其本質(zhì)思想就是一種概率模擬的方法：為了求解一個(gè)問題，首先建立一個(gè)概率模型或隨機(jī)過程，使它的參數(shù)等于問題的解，然后通過對模型或過程的觀察或抽樣實(shí)驗(yàn)來計(jì)算所求參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征，最后給出所求問題的近似解，并給出解的精度或誤差[3]。蒙特卡洛模擬法的優(yōu)點(diǎn)是模型簡單，省去了復(fù)雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和演算，比較直觀，易于理解和掌握，因此該方法在電力系統(tǒng)可靠性評估中的應(yīng)用得到了快速發(fā)展，并逐漸成為可靠性評估的重要方法[5-7]。

2 網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)可靠性仿真算例

2.1 仿真網(wǎng)絡(luò)模型介紹

本文所采用的仿真實(shí)例是由24個(gè)單元設(shè)備組成的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，其結(jié)構(gòu)如圖 1所示。其中，A、B節(jié)點(diǎn)為電源節(jié)點(diǎn)，向網(wǎng)絡(luò)中供電，C節(jié)點(diǎn)為負(fù)荷節(jié)點(diǎn)。假設(shè)設(shè)備正常工作時(shí)為0狀態(tài)，故障時(shí)為1狀態(tài)。

從該網(wǎng)絡(luò)圖中我們可以得到如下信息：支路數(shù)14條；使負(fù)荷節(jié)點(diǎn) C可以正常工作的所有最小路狀態(tài)容易得知。

圖1 仿真網(wǎng)絡(luò)模型Fig.1 Simulation network model

仿真程序中的一個(gè)輸入變量即是這14個(gè)能夠使負(fù)荷節(jié)點(diǎn) L正常工作的最小路的狀態(tài)，即只要在每個(gè)狀態(tài)中相應(yīng)元件為 0，系統(tǒng)就可以正常工作，不論其他元件的狀態(tài)是 0或者 1。在仿真程序中，我們允許2個(gè)及以上設(shè)備同時(shí)發(fā)生故障。

對于每個(gè)單元設(shè)備，為了簡化分析過程，我們假定其故障率λ和修復(fù)率μ均相同，且為常數(shù)。用MATLAB軟件進(jìn)行程序仿真。仿真程序的輸入變量為負(fù)荷節(jié)點(diǎn)能夠正常工作的最小路狀態(tài)集 P、系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)間T以及設(shè)備數(shù)量N。輸出變量STA為負(fù)荷節(jié)點(diǎn)L在所有運(yùn)行時(shí)間中在每一段時(shí)間的狀態(tài)(0狀態(tài)和 1狀態(tài))，以及系統(tǒng)在相當(dāng)長一段時(shí)間內(nèi)的穩(wěn)態(tài)可用度A，同時(shí)還能夠生成穩(wěn)態(tài)可用度A隨時(shí)間t的變化關(guān)系圖。

仿真流程圖如圖2所示。

圖2 仿真流程圖Fig.2 Simulation flow chart

2.2 仿真結(jié)果統(tǒng)計(jì)與分析

仿真結(jié)果得到的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度 A的變化規(guī)律如圖3所示。

圖3 可用度變化曲線Fig.3 Availability change curve

從理論與實(shí)驗(yàn)圖的對比中，我們可以看到，穩(wěn)態(tài)可用度A隨時(shí)間t的變化分布規(guī)律是大致相同的。此外，在 t很小的時(shí)候，可用度 A在局部有小的波動，而由理論值得到的圖是十分標(biāo)準(zhǔn)的呈 e的負(fù)指數(shù)次冪衰減的曲線。

3 結(jié) 論

在一般性的可靠性分析方法中，網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的可靠性指標(biāo)——故障率λ、故障修復(fù)時(shí)間r及年停電時(shí)間u等均由元件的基本可靠性指標(biāo)求得。針對許多實(shí)際應(yīng)用中直接假定網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)變化與設(shè)備狀態(tài)變化規(guī)律相同，都滿足齊次馬爾可夫過程而未加證明的問題，本文作了相關(guān)研究和討論，得到以下結(jié)論：在設(shè)備(支路)的狀態(tài)變化滿足齊次馬爾可夫過程的條件下，網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)變化也基本滿足齊次馬爾可夫過程的假設(shè)是成立的，并且偏差數(shù)值在可接受的范圍之內(nèi)；以往計(jì)算中所假定的情況，根據(jù)齊次馬爾可夫過程的計(jì)算條件，在每一個(gè)tΔ的計(jì)算時(shí)間內(nèi)，最多只有 1個(gè)設(shè)備發(fā)生故障，但由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看到，在允許2個(gè)及以上設(shè)備同時(shí)發(fā)生故障的情況下，所得到的網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)可用度依然按照 e的負(fù)指數(shù)次冪衰減的曲線規(guī)律變化。因此，在實(shí)際的可靠性評估計(jì)算中，為了簡化工作量，可以將2個(gè)及以上設(shè)備同時(shí)出現(xiàn)故障的概率認(rèn)為是零，這對于評估結(jié)果不會產(chǎn)生較大的影響，可以得到相對準(zhǔn)確的可靠性指標(biāo)。