馬忠蓮

摘 要 文章完整的寫出了一元函數(shù)極限的25個定義，給出了25個定義的恰當(dāng)簡稱，通過對簡稱方式的教學(xué)使學(xué)生牢固把握極限的定義。把25個定義恰當(dāng)簡稱為四段式定義。通過四段式的對比與合理的搭配，結(jié)合自變量的變化過程和函數(shù)的變化趨勢得出讓學(xué)生快速、熟練、深刻把握極限四段式定義的方法。通過這方面的引導(dǎo)使學(xué)生對極限定義、符號和意義有了更深層次的理解和把握，為微積分的教學(xué)奠定必要的基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞 函數(shù) 極限 四段式

0引言

一元函數(shù)極限的定義是微積分的入門內(nèi)容，所有的微積分學(xué)建立在一元函數(shù)極限定義的基礎(chǔ)之上。一元函數(shù)的極限的定義一共有25個。25種定義是對極限概念完整深入把握的關(guān)鍵，實(shí)踐證明專科學(xué)生掌握25種定義是一個很困難復(fù)雜的教學(xué)內(nèi)容。實(shí)踐證明把極限定義分成四段，結(jié)合應(yīng)用自變量的變化過程與函數(shù)的變化趨勢的深入理解，熟練把握這25種一元函數(shù)極限定義行之有效的高效教學(xué)方法。（1）一元函數(shù)極限定義可以用①②恰當(dāng)?shù)慕o出每一個極限的恰當(dāng)叫法。（2）把25個極限定義統(tǒng)稱為四段式定義。通過這兩點(diǎn)對極限四段式定義找到較好的掌握方法，并對極限定義深入的理解，為微積分的學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

1一元函數(shù)極限的四段式定義

數(shù)學(xué)分析中的25個極限定義都可以分成四段，因此稱之為四段式定義。有的書上稱為不等式定義，有的稱定義，定義，定義或都未能全面的把25種恰當(dāng)概括。用極限四段式定義最為貼確，它能囊括25種定義的共同特點(diǎn)。對一元函數(shù)乃至對多元函數(shù)都可以用四段式表示。25種一元函數(shù)的四段式定義用①②③④標(biāo)注出四段式如下：（1）數(shù)列可以看作自變量為n的函數(shù)。數(shù)列極限的定義： ①，②，③，④。（2）函數(shù)在的極限為的定義：①，②，③有④。（3）函數(shù)在的右極限為的定義：①，②，③，④有。（4）函數(shù)在的左極限為的定義：①，②，③，④有。（5）函數(shù)在的極限為的定義：①，②，③，④有。（6）函數(shù)在的右極限為的定義：①，②，③，④有。（7）函數(shù)在的左極限為的定義：①，②，③，④有。（8）函數(shù)在的極限為的定義： ①，②，③，④有。（9）函數(shù)在的右極限為的定義：①，②，③，④有。（10）函數(shù)在的左極限為的定義： ①，②，③，④有。（11）函數(shù)在的極限為的定義：①，②，③，④有。（12）函數(shù)在的右極限為的定義： ①，②，③，④有。（13）函數(shù)在的左極限為的定義：①，②，③，④有。（14）函數(shù)在時的極限為的定義：①，②，③，④有。（15）函數(shù)在時的極限為的定義：①，②，③，④有。（16）函數(shù)在時極限為的定義：①，②，③，④有。（17）函數(shù)在的極限為的定義：①，②，③，④有。（18）函數(shù)在時的極限為的定義：①，②，③，④有。（19）函數(shù)在的極限為的定義①，②，③，④有。（20）函數(shù)在的極限為的定義：①，②，③，④有。（21）函數(shù)在時極限為的定義： ①，②，③，④有。（22）函數(shù)在時極限為的定義：①，②，③，④有。（23）函數(shù)在的極限為的定義：①，②，③，④有函數(shù)在時極限為的定義： ①，②，③，④有。（25）函數(shù)在時極限為的定義：①，②，③，④有。

可見（1）用每一個定義的①，②來簡稱極限的定義又很好的理解記憶，用起來比較貼切，不容易出錯。（2）再把25個定義書寫對齊，就能從直觀上看出其實(shí)就是6種②③和4種①④的搭配就得64=24個極限定義。

2自變量變化過程和函數(shù)變化趨勢

一元函數(shù)自變量的變化過程有六種，（1），表示從的左右兩邊無限靠近時；（2），表示從（下轉(zhuǎn)第156頁）（上接第152頁）的右邊無限靠近時；（3），表示從的左邊無限靠近時；（4）表示無限增大或無限減小時；（5），表示無限增大時；（6），表示無限減小時。對于一元函數(shù)除極限不存在外，在自變量的六種變化過程下函數(shù)有四種可能的變化趨勢：（1），表示無限接近。（2），表示無限增大或減小。（3），表示無限增大。（4），表示無限減小。

以上6種中每一種自變量變化過程與函數(shù)的4種變化趨勢，根據(jù)極限表達(dá)式及意義探討類型，并進(jìn)行合適搭配，一共就搭配出24個一元函數(shù)的四段式定義。自變量變化過程由②③表述。函數(shù)變化趨勢由①④表述。若將25種定義依次對齊寫出更能看出其中規(guī)律。

3四段式定義的優(yōu)點(diǎn)

（1）能通過對自變量變化過程和函數(shù)變化趨勢快速準(zhǔn)確的寫出24個極限定義。（2）能恰當(dāng)給出每個定義的名稱。（3）能通過對自變量變化過程和函數(shù)變化趨勢對極限定義有深層次的理解。（4）避免在計(jì)算函數(shù)極限時只考慮極限符號的一個內(nèi)容，顧此失彼，混淆各種方法。（5）在比較和探究中學(xué)習(xí)避免了數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)的枯燥，讓學(xué)習(xí)活起來。（6）為多元函數(shù)的極限的理解奠定了扎實(shí)的理解方法基礎(chǔ)。

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