林傳忠

（廈門市湖里區(qū)教師進修學(xué)校，福建 廈門 361009）

結(jié)構(gòu)是指組成整體的各部分的搭配和排列，它是決定事物性質(zhì)的重要因素。知識都是結(jié)構(gòu)化之后的產(chǎn)物，大到各學(xué)科的知識體系，小到一篇文章、一個學(xué)習(xí)內(nèi)容都無例外。同樣，能夠保存在學(xué)生頭腦中的知識也是經(jīng)過學(xué)生內(nèi)部思維結(jié)構(gòu)化的知識，沒有經(jīng)過內(nèi)部結(jié)構(gòu)化的知識是無法進入學(xué)生知識體系的，即使進入了，也會在一段時間之后忘記的。

數(shù)學(xué)是一門邏輯性很強的學(xué)科，知識的結(jié)構(gòu)較為突顯。為了讓學(xué)生學(xué)習(xí)知識有結(jié)構(gòu)，那么平時教學(xué)就要有結(jié)構(gòu)。但目前很多教師在教學(xué)中卻很少思考這個問題，以致產(chǎn)生以下的教學(xué)現(xiàn)象：

缺乏結(jié)構(gòu)的教。教材有其內(nèi)在的邏輯，但教材在編寫時，只能按課時對學(xué)習(xí)內(nèi)容進行切割，所以每節(jié)課的內(nèi)容看起來是相對獨立的，易使教師拘泥于具體內(nèi)容的“就課論課”，缺乏對教學(xué)整體的把握。[1]由于很多教師并沒有理解知識內(nèi)在的結(jié)構(gòu)，在教學(xué)時只是按照教材的課時安排，按部就班、一課一課地進行，教學(xué)內(nèi)容缺乏內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)生學(xué)到的是零散的、沒有結(jié)構(gòu)的知識，學(xué)生學(xué)得累，學(xué)習(xí)效果差。

缺少能力的教。數(shù)學(xué)教材在編排時雖是以知識內(nèi)容來呈現(xiàn)，但能力培養(yǎng)是蘊含其中的，而能力的形成是一個過程性的產(chǎn)物，無法用知識直接呈現(xiàn)出來，如果知識的學(xué)習(xí)是一條明線，那么能力的形成就是一條暗線，很多教師只關(guān)注明線，卻忽視了暗線，結(jié)果學(xué)生從一年級學(xué)習(xí)到六年級，沒有形成良好的學(xué)習(xí)能力，離開了教師就不會學(xué)習(xí)?；蚴墙處熢诮虒W(xué)過程中沒有明確的能力培養(yǎng)意識，時有時無，沒有持之以恒，沒有循序漸進，結(jié)果能力也無法形成。

布魯納認為結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)有以下重要的意義：一是結(jié)構(gòu)性的內(nèi)容才能使學(xué)生理解；二是有結(jié)構(gòu)性的內(nèi)容才會在學(xué)習(xí)后期保持不容易遺忘；三是學(xué)生從結(jié)構(gòu)化中學(xué)到的原則原理將有助于在未來類似的情境中產(chǎn)生正向的學(xué)習(xí)遷移；四是從結(jié)構(gòu)性知識中學(xué)到原理原則后，可以培養(yǎng)學(xué)生探究的能力，以便從事獨立研究獲取更高層次的知識。

為此，數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容選擇與設(shè)計要有結(jié)構(gòu)，教學(xué)過程實施也要有結(jié)構(gòu)。

一、設(shè)計有結(jié)構(gòu)的教學(xué)

數(shù)學(xué)知識之間有著內(nèi)在的邏輯關(guān)系，先前的知識是后續(xù)知識學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，后續(xù)的知識是先前知識的發(fā)展與延伸。這樣的聯(lián)系除了體現(xiàn)在知識內(nèi)容上，還體現(xiàn)在數(shù)學(xué)思想方法的聯(lián)系上。在教學(xué)設(shè)計時要站在更高一個層面來思考與把握，努力實現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容與過程的結(jié)構(gòu)化。

1.形成知識內(nèi)容結(jié)構(gòu)

要形成知識內(nèi)容結(jié)構(gòu)，在設(shè)計某個教學(xué)內(nèi)容時，可以思考以下幾個問題：（1）本課要學(xué)習(xí)的知識與之前、之后的什么知識有聯(lián)系?（2）這些聯(lián)系能為本課的學(xué)習(xí)起什么作用?（3）怎樣去設(shè)計有結(jié)構(gòu)的教學(xué)?通過對以上三個問題的思考，對教學(xué)內(nèi)容進行“前瞻后顧”，使要教學(xué)的內(nèi)容能納入學(xué)生已有的知識邏輯結(jié)構(gòu)之中。

如教學(xué)《三角形的高》，在此之前學(xué)生已學(xué)過了平行四邊形的高和梯形的高，平行四邊形的高定義是“從平行四邊形一條邊的一點向?qū)呉粭l垂線，這點與垂足之間的線段叫作平行四邊形的高，垂足所在的邊叫作平行四邊形的底”。再看三角形高的定義是“從三角形的一個頂點到它對邊作一條垂線，頂點到垂足之間的線段叫作三角形的高，這條對邊叫作三角形的底”，可見，“高”的本質(zhì)就是線外一點到這條線的垂線段。之后還要學(xué)習(xí)長方體、正方體、圓柱、圓錐的高，這些高的本質(zhì)都是一樣的。理解這個之后，三角形高的教學(xué)便做如下設(shè)計：

（1）請畫出平行四邊形、梯形底（圖略）上的高，然后說一說什么是平行四邊形的高、梯形的高?

（2）根據(jù)平行四邊形的高的畫法，你能畫出下面三角形（圖略）的高嗎?說一說你為什么這樣畫?

（3）說一說什么是三角形的高？

（4）比較一下平行四邊形的高與三角形的高，有什么相同點與不同點?

以上的教學(xué)設(shè)計就是立足于已學(xué)過知識的基礎(chǔ)上展開的，這樣三角形的高就不再是一個單獨的概念，而是與平行四邊形的高、梯形的高建立起了聯(lián)系，形成了知識結(jié)構(gòu)。到后面長方體、正方體、圓柱、圓錐的高的教學(xué)時，也可以聯(lián)系之前學(xué)習(xí)的高，這樣小學(xué)階段學(xué)習(xí)的各種圖形的高就形成了一個結(jié)構(gòu)，學(xué)生對高的本質(zhì)理解就深刻了。

像這樣的知識在小學(xué)中比比皆是，比如：商不變性質(zhì)、分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)和比的基本性質(zhì)；除數(shù)是一位數(shù)的除法和除數(shù)是兩位數(shù)的除法；多位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)和三位數(shù)乘兩位數(shù)口訣等。這些知識之間都有內(nèi)在聯(lián)系，在教學(xué)設(shè)計時如能進行前后勾連，這樣知識就形成結(jié)構(gòu)了。

2.形成數(shù)學(xué)思想方法結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)內(nèi)容除了知識上有內(nèi)在聯(lián)系外，更重要的是數(shù)學(xué)思想方法的聯(lián)系。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓。日本著名數(shù)學(xué)家米山國藏說過：“作為知識的數(shù)學(xué)出校門不到兩年就忘記了，唯有深深銘記在頭腦中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思想、研究的方法和著眼點等，這些隨時隨地地發(fā)生作用，使人終身受益。”掌握了數(shù)學(xué)思想方法并形成結(jié)構(gòu)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就抓住了本質(zhì)。

如在教學(xué)長度單位的度量、角的度量、面積的度量、體積的度量時，這些度量的基本思想就是：一要有統(tǒng)一的計量單位；二是看被測量的物體含有多少個這樣的單位；三是計量單位既是測量的單位，也是被測量的對象。所以在教學(xué)設(shè)計時就要抓住度量的基本思想，建立起度量的方法結(jié)構(gòu)。如在設(shè)計《角的度量》一課時，便可做如下設(shè)計：

（1）下面兩條線段（圖略），哪條長些?你可以怎樣知道?

引導(dǎo)學(xué)生得出，想要得到準(zhǔn)確結(jié)果就要通過測量，就要有單位?？礈y量的物體有多少個這樣的單位。

（2）下面兩個角（圖略），哪個角更大些?你可以怎樣知道?

在學(xué)生思考的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生對比剛才比較長度的做法，讓學(xué)生產(chǎn)生這樣的想法：要比較這兩個角的大小，就要進行測量，要測量就要有單位。這個想法很重要，可以說是測量的本質(zhì)。然后引導(dǎo)學(xué)習(xí)角的單位“度”，接下來的教學(xué)就水到渠成了。

以上的設(shè)計旨在溝通度量的本質(zhì)，建立起思想方法結(jié)構(gòu)。有了這樣的結(jié)構(gòu)之后，學(xué)生在學(xué)習(xí)面積和體積等測量時，包括在面對不同測量內(nèi)容時，學(xué)生在思維上就能主動產(chǎn)生并運用這樣結(jié)構(gòu)去思考解決問題，度量這個數(shù)學(xué)知識就活起來了。

類似這樣的思想方法聯(lián)系的內(nèi)容有很多，如整數(shù)加減法、小數(shù)加減法和分?jǐn)?shù)加減法教學(xué)中，整數(shù)加減法要求數(shù)位對齊，小數(shù)加減法要求小數(shù)點對齊，分?jǐn)?shù)加減法要化成同分母，加減法的最本質(zhì)的要求就是相同計數(shù)單位的數(shù)才能直接相加減。又如人教版二年級下冊第2單元《2—6乘法口訣》和第4單元《7—9乘法口訣》的教學(xué)，其本質(zhì)就是把求幾個相同加數(shù)的和的乘法式子用語言表達出來。

在對教材進行解讀設(shè)計時，要透過教材表面找到內(nèi)在數(shù)學(xué)思想方法，并建立內(nèi)在結(jié)構(gòu)，這樣學(xué)生學(xué)習(xí)才能不斷地知其然，又知其所以然，對于數(shù)學(xué)思想方法的理解才能更為豐富與深刻，隨著活動經(jīng)驗的不斷積累，學(xué)生的學(xué)習(xí)就逐漸有章法起來，學(xué)習(xí)效益就會提高。

二、實施有結(jié)構(gòu)的教學(xué)

數(shù)學(xué)教材從外在來看是一節(jié)一節(jié)地安排，呈現(xiàn)出來的是靜態(tài)知識，但在實施教學(xué)過程中，要有結(jié)構(gòu)化的思考。結(jié)構(gòu)化教學(xué)在具體實施中可從兩個層面落實：橫向結(jié)構(gòu)教學(xué)層面和縱向結(jié)構(gòu)教學(xué)層面。橫向結(jié)構(gòu)教學(xué)層面是指在一節(jié)課的教學(xué)中，要把知識與技能的學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)能力的訓(xùn)練、數(shù)學(xué)思想方法的培育、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情感的引導(dǎo)等方面，有結(jié)構(gòu)地融入一節(jié)課的教學(xué)中，盡可能提高一節(jié)課的厚度與品質(zhì)，實現(xiàn)學(xué)生全面發(fā)展，橫向結(jié)構(gòu)教學(xué)層面追求的是一種廣度?？v向結(jié)構(gòu)教學(xué)層面是指在教學(xué)時循序漸進地推進同一種思想方法、同一板塊的內(nèi)容落實，形成由低向高，由單一向綜合的目標(biāo)達成的教學(xué)結(jié)構(gòu)，從而促進學(xué)生能力、思想方法等可持續(xù)性的發(fā)展，縱向結(jié)構(gòu)教學(xué)層面追求的是一種深度。

（一）橫向結(jié)構(gòu)教學(xué)——實現(xiàn)整體目標(biāo)

一節(jié)課的教學(xué)不能只滿足于知識技能目標(biāo)的達成，而應(yīng)是在達成知識技能目標(biāo)的同時，把能力培養(yǎng)、數(shù)學(xué)思想有機地融入其中，從而實現(xiàn)整體目標(biāo)的達成。下面以《平行四邊形面積》一課的教學(xué)為例，談?wù)勅绾卧谥R與技能教學(xué)中落實整體教學(xué)。

1.推理能力的培養(yǎng)。教學(xué)時先給出一個平行四邊形的草地，讓學(xué)生說說該如何算這塊草地的面積，學(xué)生可能會得出“平行四邊形的面積=底邊×鄰邊”的結(jié)論，這時不要馬上去評價這個結(jié)論的對錯，而是要問：你為什么會這樣想？讓學(xué)生說出思維的依據(jù)，學(xué)生可能會說出：長方形是特殊的平行四邊形，長方形的面積是長×寬，是兩條鄰邊相乘的結(jié)果，那么平行四邊形的面積也可能是兩條鄰邊相乘的結(jié)果，所以就可以得出“平行四邊形的面積=底邊×鄰邊”。學(xué)生這樣思考是有理有據(jù)的，從推理的角度上看，這個過程就是一個類比推理，即從特殊到非特殊的過程。有了這個理解，當(dāng)學(xué)生提出“平行四邊形的面積=底邊×鄰邊”這個結(jié)論時，不可因?qū)W生得出的結(jié)論是錯誤的，而否定了推理的過程，而應(yīng)是充分挖掘其思維價值，并給予方法肯定與引導(dǎo)：剛才這位同學(xué)根據(jù)平行四邊形與長方形的內(nèi)在關(guān)系，通過長方形的面積計算公式，大膽且有據(jù)地推測“平行四邊形的面積=底邊×鄰邊”，雖然結(jié)論是錯誤的，但思考的方法是非常正確和有價值的，這也是創(chuàng)新的開始。這樣就把推理能力培養(yǎng)融入其中了。

2.轉(zhuǎn)化思想的培養(yǎng)。學(xué)生猜想“平行四邊形的面積=底邊×鄰邊”之后，發(fā)現(xiàn)猜想是錯誤的。這時教師可以引導(dǎo)：我們已學(xué)過了長方形的面積計算，看看能不能把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形呢？在此啟發(fā)下，學(xué)生便能將手中的平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形，學(xué)生可能轉(zhuǎn)化成以下幾種情況（參見圖1）。

圖1 平行四邊形的轉(zhuǎn)化

教師在此基礎(chǔ)上提問：為什么要轉(zhuǎn)化？為什么要轉(zhuǎn)化成長方形？為什么要沿著高剪？學(xué)生對這些問題的回答達到以下幾個目的：因為平行四邊形面積計算是未知的，所以要轉(zhuǎn)化成已知的；明確轉(zhuǎn)化本質(zhì)的要求是把未知的轉(zhuǎn)化成已知的；要轉(zhuǎn)化成長方形，四個角必須是直角，要形成直角，必須沿高來剪。學(xué)生通過動手實現(xiàn)轉(zhuǎn)化，又通過回答問題進一步明確如何轉(zhuǎn)化與為什么要這樣轉(zhuǎn)化，這樣學(xué)生對于轉(zhuǎn)化思想方法就知其然又知其所以然了。

3.空間觀念的培養(yǎng)。當(dāng)學(xué)生完成平行四邊形面積推導(dǎo)后，教師讓學(xué)生閉上眼睛，教師用語言說推導(dǎo)的過程，學(xué)生在腦中想出推導(dǎo)圖形的變化過程：一個平行四邊形，現(xiàn)在沿著高剪下，然后把剪下的部分平移，與剩下的圖形拼成一個長方形，這時平行四邊形的底相當(dāng)于長方形的長，這時平行四邊形的高相當(dāng)于長方形的寬。教師在說的時候語速放慢，讓學(xué)生有足夠的時間在腦中想象相應(yīng)的圖形及變化的過程，這個過程不僅強化了學(xué)生對平行四邊形面積公式由來的理解，還有效培養(yǎng)了學(xué)生的空間觀念。

通過以上的教學(xué)，我們可以看到，這節(jié)課除了知識教學(xué)之外，還對學(xué)生進行了推理能力、轉(zhuǎn)化思想、空間觀念的培養(yǎng)，這節(jié)課內(nèi)涵就豐富了。

一節(jié)課除了表層的知識之外，還蘊含著數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)文化等內(nèi)容，教師在教學(xué)時要有整體的意識，盡可能地發(fā)掘這些內(nèi)容并在知識的教學(xué)過程中加以落實，從而形成一個立體的教學(xué)結(jié)構(gòu)，達成全面培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo)。

（二）縱向結(jié)構(gòu)教學(xué)——達成深度落實

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是不斷去發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的過程。學(xué)生數(shù)學(xué)能力與方法就在解決問題的過程中不斷形成、內(nèi)化與發(fā)展。如果教師在教學(xué)過程中，只是通過講解的方式讓學(xué)生理解，學(xué)生的能力是無法形成的，能力只有在具體解決問題的過程中才能形成與發(fā)展。培養(yǎng)學(xué)生能力的基本過程是：教師講解，學(xué)生理解——學(xué)生模仿，嘗試運用——掌握方法，解決同質(zhì)問題——運用方法解決非同質(zhì)的問題。良好的能力不是經(jīng)過一次或幾次的訓(xùn)練就能達成，而是要通過不斷的運用，才能得以不斷地強化與靈活化，實現(xiàn)能力由弱到強的發(fā)展，解決問題的經(jīng)驗才能不斷得以積累。為此，在教學(xué)過程中，就要尋找學(xué)習(xí)相關(guān)知識背后的能力與方法，并建立起循序漸進的培養(yǎng)結(jié)構(gòu)，分層次地持續(xù)進行培養(yǎng)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)知識的過程中理解方法、運用方法、內(nèi)化方法，這樣學(xué)生才能逐漸提高能力。課程論專家江山野也指出：整個教學(xué)過程也就是一個“從教到學(xué)”的轉(zhuǎn)化過程。在這個過程中，教師的作用不斷轉(zhuǎn)化為學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。

轉(zhuǎn)化思想方法是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要培養(yǎng)的重要思想方法，在小學(xué)知識學(xué)習(xí)中有著廣泛的運用。學(xué)生形成了良好轉(zhuǎn)化思想之后，在面對未知的問題時，就能自覺地采取轉(zhuǎn)化的方法來嘗試解決。但轉(zhuǎn)化思想的形成不是一兩節(jié)課就能完成的，而是在不斷運用轉(zhuǎn)化思想解決問題的過程中形成與內(nèi)化的。現(xiàn)在以圖形與幾何領(lǐng)域中面積公式教學(xué)內(nèi)容為例，談?wù)勅绾芜M行縱向結(jié)構(gòu)教學(xué)（參見表1）。

表1 面積結(jié)構(gòu)公式的縱向結(jié)構(gòu)教學(xué)

從表1可以看出縱向結(jié)構(gòu)教學(xué)的情況：教學(xué)過程隨著內(nèi)容的變化不斷增加了學(xué)生自主運用轉(zhuǎn)化思想方法的時空間，教學(xué)方法也相應(yīng)發(fā)生變化，體現(xiàn)由扶到放、由放到創(chuàng)的過程，教學(xué)目標(biāo)及具體的轉(zhuǎn)化方法上也體現(xiàn)出不斷提升與豐富的趨勢。通過縱向結(jié)構(gòu)教學(xué)，學(xué)生轉(zhuǎn)化思想方法就能由理解到內(nèi)化，從內(nèi)化到運用，從一般性運用到創(chuàng)造性地運用，不斷豐富學(xué)生運用轉(zhuǎn)化思想方法解決問題的活動經(jīng)驗，當(dāng)學(xué)生再次面對未知問題時，轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想方法就能很容易從學(xué)生思維中提取出來，成為一種活的知識與能力。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出：數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，要注重知識的“生長點”與“延伸點”，把每堂課教學(xué)的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識與整體知識的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性，體會對于某些數(shù)學(xué)知識可以從不同的角度加以分析、從不同的層次進行理解。[2]為此，數(shù)學(xué)教學(xué)要有整體意識、結(jié)構(gòu)化意識，設(shè)計有結(jié)構(gòu)的教學(xué)內(nèi)容，實施有結(jié)構(gòu)化的教學(xué)，從而促進學(xué)生知識與技能、能力與素養(yǎng)、經(jīng)驗與情感全面而深刻的發(fā)展?！?/p>