孫晉坤 楊恒占

（西安工業(yè)大學(xué)電子信息工程學(xué)院 西安 710021）

1 引言

實際工業(yè)生產(chǎn)過程中總是存在各種不確定性。除了噪聲的不確定性外，往往還存在測量設(shè)備參數(shù)的不確定性。在這種背景下，從20世紀(jì)70年代起，隨著計算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展，基于對偶控制思想的多模型對偶控制（Multi-Model Dual Control，MMDC）得到了深入的研究和發(fā)展［1～4］。多模型對偶控制根據(jù)系統(tǒng)的實際變化情況和控制要求，將系統(tǒng)在不同情況下的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)采用不同的辨識模型描述，針對各個子辨識模型分別設(shè)計對應(yīng)的子控制器［5］，符合解決復(fù)雜問題的基本規(guī)律，因而受到國際控制界的廣泛重視和深入研究［6］。

現(xiàn)有的多模型統(tǒng)計特征控制大都屬于模型的組合切換方式，或多或少都存在著切換過程不夠平滑的問題。本文在系統(tǒng)參數(shù)的后驗概率加權(quán)方法的基礎(chǔ)上，將各個模型使用協(xié)調(diào)變量進(jìn)行融合歸一，利用歸一后的模型對系統(tǒng)進(jìn)行控制，改善了控制過程的平滑性。

2 問題描述

其中，z(k)為n維狀態(tài)向量，u(k)為q維控制向量，y(k)為 p維量測向量，w(k)為n維過程噪聲，v(k)為 p維量測噪聲；h為n維非線性函數(shù)，f為p維非線性函數(shù)。該系統(tǒng)中，f的參數(shù)均為全部未知或部分未知，或者雖然已知但是過于復(fù)雜，無法

考慮如下離散時間隨機(jī)系統(tǒng)：用傳統(tǒng)方法進(jìn)行有效量測。

衡量控制器控制效果的性能指標(biāo)采用如下的加權(quán)二次型性能函數(shù)：

為表述簡單，本文僅討論A、B、C為定常矩陣的情況。

式（2）中，k為控制時間，假定從0到N-1。對于隨機(jī)系統(tǒng)（1），在k時刻，可以收集到的信息集?k為

實際上，?k也是k時刻能夠知道的所有信息。因此，控制器u(k)約束為：u(k)=μk(?k)。

本文的目的就是確定一個形式為上式的控制函數(shù)u(k)，使式（2）所表述的性能指標(biāo)J在統(tǒng)計意義下取得最小值，即：

本文采用一組子模型覆蓋被控系統(tǒng)的不同工作狀況。假設(shè)共有s個工作狀況，分別對應(yīng)s個子模型，則該組模型的數(shù)學(xué)描述如下：

MG={ }Mi|i=1，2，…，s

MG為s個子模型組成的集合。假設(shè)第i個子模型為

上式中，zi(k)為第i個子模型Mi的狀態(tài)向量，ui(k)為第i個子模型的控制向量；Ri為具有適當(dāng)維數(shù)的矩陣，表示不同工作狀況下量測系數(shù)。zi(k)的初始狀態(tài)為zi(0)，zi(0)和過程噪聲w(k)、量測噪聲v(k)互不相關(guān)且都為高斯白噪聲，它們服從的分布特征分別為：zi(0)～N(zˉ0， F0)、w(k)～N(0 ，W ) 、v(k)～N(0 ，V ) 。

針對式（2）所示的性能指標(biāo) J，在第i個子模型已知的情況下，由于模型參數(shù)都是已知的，該問題就是標(biāo)準(zhǔn)的LQG控制問題，相應(yīng)的成熟解法已經(jīng)存在。但是，本文討論的問題存在著系統(tǒng)當(dāng)前量測參數(shù)未知即當(dāng)前子模型未知的困難。針對該困難，本文將各模型的后驗概率作為協(xié)調(diào)變量，凝聚出單一的融合模型，再使用LQG成熟方法得到合適的控制律u(k)，使控制器既能辨識出合適的模型，又能保持良好的控制性能。

3 控制器設(shè)計

3.1 模型固定情況下的控制器設(shè)計

在k時刻，可以收集到的信息集為?k。假若時刻k系統(tǒng)的真實模型為第i個子模型，則狀態(tài)zi(k )基于 ?k的估計值 z?i(k |k)為

由Kalman濾波方程，z?i(k|k)的遞推式子為

其中

上式中，邊界條件為 z?i(0 |0)=z?(0)及Fi(0 |0)=F0。

k時刻系統(tǒng)的真實模型為第i個子模型Mi，根據(jù)動態(tài)規(guī)劃原理，由標(biāo)準(zhǔn)的LQG控制算法，最優(yōu)控制ui(·)的遞推式子為

其中

3.2 多模型情況下的控制器設(shè)計

首先計算各子模型的后驗概率。假設(shè)第i個子模型Mi在k時刻的后驗概率為 ρki，即

其中

在初始k=0時刻，對每個模型的偏好是一樣的。在k時刻，各個子模型對應(yīng)的各自的濾波器并行工作，因此能夠得到各自的后驗概率。

令

考慮如下最優(yōu)控制問題：

對于該最優(yōu)控制問題來說，其系統(tǒng)模型就是通過后驗概率將模型集MG中各個子模型凝聚而成的融合模型。

針對該單一融合模型，本文利用Bellman動態(tài)規(guī)劃思想求解控制律u(k)。令

轉(zhuǎn)換上式形式，有

且

劃方程。式（21）對應(yīng)的最優(yōu)控制律u(k)為

其中

相關(guān)遞推式子的初始值為S(N)=A?？刂圃鲆鍷(k)采用動態(tài)規(guī)劃的方法獲得。

4 仿真分析

考慮如式（5）所示隨機(jī)系統(tǒng)，兩個子模型分別為

控制總步數(shù)N為100。在時間1～50內(nèi)，系統(tǒng)的真實模型為M1；在時間51系統(tǒng)的真實模型發(fā)生突變，由子模型M1切換到子模型M2，且一直保持到到 時 間 100。 其 中 μ（x），η（x）=0.242exp(x-0.5x2)，初始狀態(tài)x(0)～N(0.5 ，?0.25) 。性能指標(biāo)函數(shù)為

與最優(yōu)控制進(jìn)行比較，如圖1所示?？梢钥闯鲭m然多模型控制的性能指標(biāo)比最優(yōu)控制要差一些，主要是模型辨識階段性能指標(biāo)較差，但在對真實模型的辨識基本完成后，兩者的性能指標(biāo)變化趨勢基本一致。

圖1 多模型低階統(tǒng)計特征對偶控制與最優(yōu)控制

5 結(jié)語

本文分析了參數(shù)未知多模型系統(tǒng)的參數(shù)辨識和控制問題，應(yīng)用分解-協(xié)調(diào)思想，提出了一種多模型對偶控制方法。該方法體現(xiàn)了對偶控制參數(shù)學(xué)習(xí)與目標(biāo)跟蹤的雙重作用，也改善了子模型硬切換導(dǎo)致的系統(tǒng)震蕩問題。用后驗概率把多個子模型融合為單一模型，具有明顯的優(yōu)點。