董 琴 ， 楊 平 ， 余志鋒

（1.高性能船舶技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（武漢理工大學(xué)），武漢430063；2.武漢理工大學(xué) 交通學(xué)院，武漢 430063）

0 引 言

近年來(lái)，隨著船舶主尺度的不斷加大，為減輕結(jié)構(gòu)重量而采用的高強(qiáng)度鋼越來(lái)越多，船舶結(jié)構(gòu)變得越來(lái)越“軟”，船舶結(jié)構(gòu)的應(yīng)力及變形也越來(lái)越大，當(dāng)應(yīng)力達(dá)到材料的屈服強(qiáng)度時(shí)，裂紋尖端附近區(qū)域就會(huì)產(chǎn)生塑性應(yīng)變。當(dāng)塑性應(yīng)變隨著循環(huán)次數(shù)的增加而累積到一定程度時(shí)，必然會(huì)加速結(jié)構(gòu)的斷裂失效。在彈塑性斷裂力學(xué)中，裂紋尖端張開(kāi)位移（CTOD）和J積分是描述韌性結(jié)構(gòu)材料裂紋擴(kuò)展的主要參數(shù)（Hutchinson，1982）[1]；但由于J積分不適應(yīng)于卸載狀態(tài)，故而很少應(yīng)用于循環(huán)載荷下的結(jié)構(gòu)斷裂評(píng)估。因而，研究建立循環(huán)載荷下基于累積塑性應(yīng)變的裂紋尖端張開(kāi)位移（CTOD）評(píng)估方法具有十分重要的意義。

裂紋尖端張開(kāi)位移（CTOD）指的是裂紋尖端處受載荷后兩個(gè)表面所張開(kāi)的相對(duì)位移，其值的大小反映出材料抵抗疲勞裂紋的產(chǎn)生和擴(kuò)展的能力，故CTOD可以作為評(píng)價(jià)材料抗脆性斷裂特性的主要參量。先前，一些僅適用于線彈性狀態(tài)的基于應(yīng)力強(qiáng)度因子K的CTOD計(jì)算模型相繼被提出（Dugdale，1960；Cottrell，1975；Yaowu，1998）[2-4]。Dugdale模型直接建立了外載荷與裂紋參數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系而得到廣泛的研究和應(yīng)用。姜翠香[5]基于Dugdale模型對(duì)船舶加筋板CTOD進(jìn)行了分析，找出了外載荷、剛度比等因素對(duì)其的影響規(guī)律。 有限元法(Potirniche et al，2003；Wu，2009；Chen，2011，2015)是目前研究彈塑性斷裂問(wèn)題的有效途徑之一，因而被廣泛應(yīng)用于各種斷裂評(píng)估中；它是通過(guò)對(duì)裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)、位移場(chǎng)的有限元計(jì)算，研究裂紋尖端張口位移CTOD及相關(guān)參數(shù)。Potirniche等人[6]采用有限元方法計(jì)算了穩(wěn)定的微觀結(jié)構(gòu)小裂紋其裂紋尖端的塑性區(qū)尺寸及CTOD值，將單晶體塑性理論的二維小應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系引入ANSYS有限元軟件中，得到了具有較高精度的CTOD值。Wu等人[7]提出了基于CTOD的數(shù)值結(jié)果估算試件斷裂韌性的有效方法，方法中以軸向切口拉伸試樣為研究對(duì)象，采用彈塑性有限元方法計(jì)算試樣的CTOD值等。我國(guó)學(xué)者陳景杰[8-9]基于裂紋最大張口位移CMOD對(duì)CTOD進(jìn)行了數(shù)值分析，消除了外載荷、模型尺寸、材料特性及裂紋長(zhǎng)度等因素對(duì)CTOD的影響，簡(jiǎn)化了有限元計(jì)算模型。另外，也有學(xué)者基于裂紋尖端局部應(yīng)變相繼對(duì)CTOD進(jìn)行了研究，并提出了僅適用于低應(yīng)變、靜載荷條件下的CTOD計(jì)算模型（Schwalbe，1994；Linkens et al，2000；Jayadevan et al，2004）[10-12]。 日本學(xué)者 Shimanuki Hiroshi[13]基于局部應(yīng)力與線彈性斷裂力學(xué)的關(guān)系，提出了評(píng)估局部應(yīng)力的新方法，并以焊趾處含有裂紋的十字形接頭為研究對(duì)象，采用二維有限元方法，討論了局部應(yīng)變與CTOD間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，實(shí)現(xiàn)了基于局部應(yīng)變確定CTOD的思想；對(duì)于含裂紋結(jié)構(gòu)在復(fù)雜載荷狀況下應(yīng)用這些計(jì)算模型引起了廣泛討論，目前，很多學(xué)者在復(fù)雜載荷下對(duì)CTOD進(jìn)行了相應(yīng)研究，并得出了相應(yīng)結(jié)論。和提出CTOD計(jì)算模型一樣，Bjerke等（2011）[14]，Yi等（2014）[15]和 Ostby（2005）[16]對(duì)發(fā)生大范圍塑性變形的含裂紋管道結(jié)構(gòu)進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算，并提出了一種簡(jiǎn)單的基于塑性應(yīng)變的CTOD評(píng)估方法。Zhang（2014）[17]討論了海洋管道結(jié)構(gòu)承受大范圍塑性應(yīng)變時(shí)基于應(yīng)變的CTOD評(píng)估模型，考慮了裂紋尺寸、材料硬化指數(shù)以及外載荷對(duì)CTOD的影響。

從以上分析可知，目前對(duì)CTOD的研究要么局限于線彈性狀態(tài)，要么僅在靜載荷條件下結(jié)合塑性應(yīng)變理論對(duì)CTOD進(jìn)行有限元分析；對(duì)于承受低周循環(huán)載荷下的含裂紋船體板的斷裂評(píng)估目前很少有觸及。本文結(jié)合船舶結(jié)構(gòu)在航行過(guò)程中承受的低循環(huán)高應(yīng)力外載荷條件，以含中心穿透裂紋船體板為研究對(duì)象，建立一種基于裂紋尖端局部區(qū)域累積塑性應(yīng)變的CTOD計(jì)算模型；并對(duì)循環(huán)載荷的應(yīng)力比、應(yīng)力幅的影響進(jìn)行數(shù)值分析。通過(guò)本文的分析為評(píng)估船舶構(gòu)件在實(shí)際承載狀態(tài)下的斷裂失效提供參考。

1 理論分析

式中：σy為材料屈服極限，dn取決于材料的硬化行為。對(duì)于冪硬化材料，其裂紋尖端的應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)是Hutchinson，Rice 和 Rosengren（HRR）[19-20]奇異場(chǎng)。 在此種情況下，dn是 Ramberg-Osgood 硬化指數(shù) n 的

對(duì)于理想彈塑性材料，Shih[18]對(duì)承受單向載荷作用下的含中心穿透裂紋的無(wú)限大板進(jìn)行研究并給出了J積分和無(wú)限大板裂紋尖端張口位移（CTOD）之間的計(jì)算公式：函數(shù)并且由Shih[21]在平面應(yīng)力和平面應(yīng)變下的數(shù)值做了系列表格。對(duì)于平面應(yīng)力的情況，dn由以下三次多項(xiàng)式給定：

循環(huán)載荷下，對(duì)于表現(xiàn)Masing行為的材料，循環(huán)J積分ΔJ有可靠的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。公式（1）中所有的參量可由對(duì)應(yīng)的循環(huán)參量表示，由Kumar等[22]和Heitmann等[23]的研究可知，循環(huán)J積分ΔJ可近似由彈性（小范圍屈服）和塑性部分疊加而成。假設(shè)在平面應(yīng)力的情況下，對(duì)于I型裂紋，我們可得到：

式中：n′為循環(huán)硬化指數(shù)，σcy為循環(huán)屈服強(qiáng)度，E為彈性模量，a為裂紋半長(zhǎng)，Δσ為應(yīng)力幅值，Δεpl為塑性應(yīng)變幅值。在循環(huán)J積分ΔJ彈性部分，采用有效應(yīng)力幅值考慮裂紋閉合效應(yīng)，Δσeff=σmax-σop，σmax和σop分別表示為最大應(yīng)力和裂紋張口應(yīng)力。裂紋張口應(yīng)力σop可通過(guò)經(jīng)驗(yàn)公式估算或者由數(shù)值分析結(jié)果獲取。本文中，裂紋張口應(yīng)力通過(guò)Newman[24]得到，在低周疲勞作用下較小的裂紋張口應(yīng)力對(duì)應(yīng)較大的最大應(yīng)力：

力和單軸極限拉伸應(yīng)力的平均值。

由文獻(xiàn)[25]Chaboche模型中塑性應(yīng)變與累積塑性應(yīng)變間關(guān)系微分可得：

式中：Δpn+1是第n+1次載荷循環(huán)后在裂紋尖端產(chǎn)生的等效塑性應(yīng)變?cè)隽?，通過(guò)Newton-Raphson迭代即可求得；故第n+1次循環(huán)后對(duì)應(yīng)的累積塑性應(yīng)變?cè)隽喀う舗+1可得；依次更新相應(yīng)參量，可求得每次對(duì)應(yīng)循環(huán)下的塑性應(yīng)變?cè)隽俊?/p>

在循環(huán)載荷下，在第n+1次循環(huán)狀態(tài)下裂紋尖端塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可用Ramberg-Osgood表達(dá)為[26-27]：

將（6）式代入文獻(xiàn)[25]求解Δpn+1的Newton-Raphson迭代公式中，即可求得第n+1次循環(huán)后裂紋尖端塑性應(yīng)變?cè)隽喀n+1，然后利用公式（5）即可獲得第n+1次循環(huán)后裂紋尖端累積塑性應(yīng)變?cè)隽喀う舗+1。

本文中心穿透裂紋船體板僅承受單軸循環(huán)載荷作用，故在單軸循環(huán)應(yīng)力作用下第n+1次循環(huán)后裂紋尖端累積塑性應(yīng)變?cè)隽颗c該次循環(huán)下塑性應(yīng)變?cè)隽筷P(guān)系如下：

由（5）～（7）式可得經(jīng)過(guò)n+1次循環(huán)后累積遞增塑性應(yīng)變?yōu)椋?/p>

故（8）式即為經(jīng)過(guò)n+1次循環(huán)后中心穿透裂紋船體板在裂紋尖端位置處的累積遞增塑性應(yīng)變值。

由（3）式和（8）式可知，本文結(jié)合船舶結(jié)構(gòu)在航行過(guò)程中承受的低循環(huán)高應(yīng)力外載荷條件，以中心穿透裂紋船體板為研究對(duì)象，建立了基于裂紋尖端局部區(qū)域累積遞增塑性應(yīng)變的CTOD計(jì)算模型。

2 數(shù)值分析及討論

采用大型有限元軟件ANSYS對(duì)船體板進(jìn)行有限元計(jì)算。在進(jìn)行有限元模擬時(shí)，采用8節(jié)點(diǎn)PLANE82號(hào)單元進(jìn)行網(wǎng)格劃分，材料本構(gòu)關(guān)系模型選用Chaboche非線性強(qiáng)化準(zhǔn)則。船體板幾何模型及其有限元計(jì)算網(wǎng)格模型如圖1所示，2L為缺口板長(zhǎng)度，2W為缺口板寬度，2a為缺口板裂紋長(zhǎng)度，裂紋尖端局部區(qū)域采用奇異網(wǎng)格單元并在局部區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格細(xì)化處理。有限元模型中選取船體板常用304號(hào)鋼材，其相應(yīng)材料參數(shù)選取如表1所示。

表1 304鋼的應(yīng)變疲勞參數(shù)Tab.1 Material parameters of 304 stainless steel

圖1 船體板的幾何模型及1/4有限元模型Fig.1 Geometry model and finite element model of ship plate with central through crack

2.1 循環(huán)載荷下裂紋尖端應(yīng)力應(yīng)變曲線

通過(guò)數(shù)值分析，基于Chaboche模型得到船體板在循環(huán)載荷作用下其裂紋尖端應(yīng)力應(yīng)變遲滯回線如圖2所示。從圖2中可以看出，在循環(huán)載荷作用下，隨著循環(huán)次數(shù)的增加，船體板裂紋尖端附近區(qū)域產(chǎn)生了明顯的塑性應(yīng)變的累積增加。

2.2 船體板累積塑性與循環(huán)次數(shù)關(guān)系曲線

對(duì)圖1給出的船體板的有限元模型，分析應(yīng)力比和應(yīng)力幅的變化研究，其對(duì)裂紋尖端累積塑性應(yīng)變的影響。在計(jì)算中選取 L=150 mm，W=130 mm，a=10 mm。 變更應(yīng)力比 R=0.1，R=0.2和 R=0.3，應(yīng)力幅 σa=240 MPa，σa=260 MPa和 σa=280 MPa。 經(jīng)過(guò)系列有限元計(jì)算，得出不同應(yīng)力比和不同應(yīng)力幅下裂紋尖端累積塑性應(yīng)變隨循環(huán)次數(shù)的變化關(guān)系曲線如圖3和圖4所示。

圖2 基于Chaboche循環(huán)塑性模型的裂紋尖端應(yīng)力應(yīng)變曲線Fig.2 The stress-strain curve near the crack tip of Chaboche cyclic plastic model

圖3 不同應(yīng)力比下累積塑性應(yīng)變隨循環(huán)次數(shù)變化曲線Fig.3 The curve of accumulative plastic strain vs cyclic number under different stress ratio

圖4 不同應(yīng)力幅下累積塑性應(yīng)變隨循環(huán)次數(shù)變化曲線Fig.4 The curve of accumulative plastic strain vs cyclic number under different stress amplitude

從圖3和圖4可以看出，當(dāng)應(yīng)力比或應(yīng)力幅一定時(shí)，裂紋尖端累積塑性應(yīng)變隨循環(huán)次數(shù)的增大而逐漸增加并趨于穩(wěn)定。隨應(yīng)力比或應(yīng)力幅的增大，裂紋尖端累積塑性應(yīng)變也增加，表明循環(huán)載荷下應(yīng)力比和應(yīng)力幅對(duì)裂紋尖端累積塑性變形影響較大。

2.3 船體板裂紋尖端張口位移與循環(huán)次數(shù)關(guān)系曲線

對(duì)圖1給出的船體板的有限元模型，分析應(yīng)力比和應(yīng)力幅的變化，研究其對(duì)裂紋尖端張口位移的影響。在計(jì)算中選取L=150 mm，W=130 mm，a=10 mm。變更應(yīng)力比R=0.1，R=0.2和R=0.3，應(yīng)力幅σa=240 MPa，σa=260 MPa和σa=280 MPa。經(jīng)過(guò)系列有限元計(jì)算，得出不同應(yīng)力比和不同應(yīng)力幅下裂紋尖端張口位移隨循環(huán)次數(shù)的變化關(guān)系曲線如圖5和圖6所示。

從圖5和圖6可以看出，當(dāng)應(yīng)力比或應(yīng)力幅一定時(shí)，循環(huán)載荷下中心穿透裂紋板CTOD隨循環(huán)次數(shù)的增加而逐漸增大并趨于穩(wěn)定；隨應(yīng)力比或應(yīng)力幅的增大，裂紋尖端CTOD也隨之增加，說(shuō)明循環(huán)載荷下應(yīng)力比和應(yīng)力幅對(duì)裂紋尖端CTOD影響較大。

圖5 不同應(yīng)力比下CTOD隨循環(huán)次數(shù)變化曲線Fig.5 The curve of CTOD vs cyclic number under different stress ratio

圖6 不同應(yīng)力幅下CTOD隨循環(huán)次數(shù)變化曲線Fig.6 The curve of CTOD vs cyclic number under different stress amplitude

3 循環(huán)載荷下CTOD與裂紋尖端累積塑性應(yīng)變間的關(guān)系曲線

由（3）式可知，在平面應(yīng)力狀態(tài)下，船體板在循環(huán)載荷作用下其裂紋尖端張口位移變化量ΔCTOD與累積遞增塑性應(yīng)變?chǔ)う舙存在一定的函數(shù)關(guān)系。本文對(duì)圖1給出的模型在循環(huán)載荷作用下，研究應(yīng)力比、應(yīng)力幅的變化對(duì)ΔCTOD和Δεp關(guān)系曲線的影響。

3.1 應(yīng)力比影響

考慮循環(huán)載荷下應(yīng)力比R對(duì)船體板ΔCTOD和Δεp間函數(shù)關(guān)系的影響時(shí)，選取應(yīng)力比分別為R=0.1，R=0.2和R=0.3，應(yīng)力幅σa=240 MPa。在材料參數(shù)保持不變的情況下分別計(jì)算裂紋尖端張開(kāi)位移ΔCTOD和裂紋尖端累積塑性應(yīng)變?chǔ)う舙，經(jīng)過(guò)系列有限元計(jì)算得到的數(shù)據(jù)值如圖7所示，并與（3）式的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

圖7表明，在應(yīng)力比和應(yīng)力幅保持不變時(shí)，在循環(huán)載荷作用下船體板其裂紋尖端張開(kāi)位移CTOD隨著累積塑性應(yīng)變?cè)黾佣龃?。在?yīng)力幅一定，應(yīng)力比增加時(shí)，其趨勢(shì)亦是如此。理論結(jié)果與有限元預(yù)測(cè)結(jié)果基本重合，分散性較小，說(shuō)明其具有一定的可行性和較高的預(yù)測(cè)精度。

圖7 不同應(yīng)力比下CTOD隨累積塑性應(yīng)變變化曲線Fig.7 The curve of CTOD vs accumulative plastic strain under different stress ratio

圖8 不同應(yīng)力幅下CTOD隨累積塑性應(yīng)變變化曲線Fig.8 The curve of CTOD vs accumulative plastic strain under different stress amplitude

3.2 應(yīng)力幅影響

考慮循環(huán)載荷下應(yīng)力幅σa對(duì)船體板ΔCTOD和Δεp間函數(shù)關(guān)系的影響時(shí)，選取應(yīng)力幅值分別為σa=240 MPa，σa=260 MPa，σa=280 MPa，應(yīng)力比R=0.1。在材料參數(shù)保持不變的情況下分別計(jì)算裂紋尖端張開(kāi)位移ΔCTOD和裂紋尖端累積塑性應(yīng)變?chǔ)う舙，經(jīng)過(guò)系列有限元計(jì)算得到的數(shù)據(jù)值如圖8所示，并與（3）式的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

圖8表明，在應(yīng)力幅和應(yīng)力比保持不變時(shí)，在循環(huán)載荷作用下船體板其裂紋尖端張開(kāi)位移CTOD隨著累積塑性應(yīng)變?cè)黾佣龃?。在?yīng)力比一定，應(yīng)力幅增加時(shí)，其趨勢(shì)亦是如此。理論結(jié)果與有限元預(yù)測(cè)結(jié)果基本重合，分散性較小，說(shuō)明其具有一定的可行性和較高的預(yù)測(cè)精度。

4 結(jié) 論

本文基于彈塑性斷裂力學(xué)理論，從循環(huán)J積分著手，以裂紋尖端累積塑性應(yīng)變?yōu)橹匾獏⒘浚⒀h(huán)載荷下船體板CTOD理論模型，并在有限元模擬中分析了應(yīng)力比、應(yīng)力幅等相關(guān)因素影響，得到了如下結(jié)論：

（1）在循環(huán)載荷作用下，裂紋尖端局部區(qū)域?qū)a(chǎn)生塑性應(yīng)變的累積，隨著循環(huán)次數(shù)的增加，裂紋尖端的累積塑性應(yīng)變將逐漸增加并最終趨于穩(wěn)定。

（2）研究表明：應(yīng)力比、應(yīng)力幅值對(duì)裂紋尖端張開(kāi)位移-累積塑性應(yīng)變關(guān)系曲線影響較為明顯。任其中一者保持不變，另外一項(xiàng)增加時(shí)，船體板裂紋尖端張開(kāi)位移隨裂紋尖端累積塑性應(yīng)變的增加而增大。這一趨勢(shì)與理論結(jié)果吻合較好。

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