鄧楊揚(yáng) 陳 昶 鄧水平

(1.西南交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，四川610031；2.二重(德陽)重型裝備有限公司檢測中心，四川618013；3.國家重大技術(shù)裝備幾何量計量站，四川610199；)

1 概述

圓弧的半徑值和圓心位置是通過間接測量法得到的。通常是在圓弧上先采集數(shù)據(jù)(坐標(biāo)點(diǎn))，然后通過對采集數(shù)據(jù)進(jìn)行計算處理，得到圓弧的半徑值和圓心位置，如大多數(shù)三坐標(biāo)測量機(jī)測量圓弧都是通過對圓弧上的檢測數(shù)據(jù)(坐標(biāo)點(diǎn))進(jìn)行處理，得到圓弧半徑值和圓心位置。對于圓心角小于45°的圓弧，由于采集坐標(biāo)點(diǎn)的不確定度和間接測量傳遞系數(shù)的影響，圓弧的圓心位置的測量誤差很大，其圓弧半徑的測量誤差也隨之增大。

本文用測量不確定度評定指南方法(GUM)和蒙特卡洛方法(MCM)對小圓心角圓弧的圓弧半徑值和圓心位置的不確定度進(jìn)行評定、比較，說明蒙特卡洛方法的一般流程及優(yōu)勢，分析半徑值及圓心位置的測量不確定度的原因。

2 圓弧樣板測量不確定度評定

本文以GLOBAL silver Performance 07.10.07為例，對半徑為50 mm的工件進(jìn)行測量，圓心設(shè)定為(0，0)，用GUM方法對其進(jìn)行不確定度評定。

(1)檢測設(shè)備的計量特性

MPE：(1.5+2.8L) μm

MPEP：1.5 μm

(2)工件

圓弧半徑：R50 mm

公差：±0.50 mm

圓心半角：2°

(3)測量參數(shù)

圓弧直徑及測量不確定度：UR0

圓心位置及測量不確定度：Ux0、Uy0

2.1 GUM方法

2.1.1 間接測量圓弧的模型

根據(jù)一般圓的方程：

x2+y2+ax+by+c=0

將l(x1，y1)，m(x2，y2)，n(x3，y3)代入方程后，求得圓心坐標(biāo)點(diǎn)為：

x0=[(x12+y12)(y2-y3)+(x22+y22)(y3-y1)+(x32+y32)(y1-y2)]/2[y1(x3-x2)+y2(x1-x3)+y3(x2-x1)]

y0=[(x12+y12)(x3-x2)+(x22+y22)(x1-x3)+ (x32+y32)(x2-x1)]/2[y1(x3-x2)+y2(x1-x3)+y3(x2-x1)]

圓弧半徑為：

傳遞系數(shù)v和p是對圓心坐標(biāo)x0、y0求偏導(dǎo)求得，其公式略。x1、x2、x3、y1、y2、y3具有相同的測量值不確定度U，即x0和y0的不確定度為Ux0和Uy0：

用MATLAB對Ux0進(jìn)行3次樣條擬合，得出系數(shù)擬合曲線如圖1所示。

圖1 圓心點(diǎn)x坐標(biāo)值不確定度曲線Figure 1 Uncertainty curve for x coordinate values of center point

近似公式為：

Ux0=±(0.7～81)U，θ=(0.5～90)°

(1)

用MATLAB對Uy0進(jìn)行3次樣條擬合，得出系數(shù)擬合曲線如圖2所示。

圖2 圓心點(diǎn)y坐標(biāo)值不確定度曲線Figure 2 Uncertainty curve for y coordinate values of center point

近似公式：

Uy0=±(1.2～32165)U，θ=(0.5～90)°

(2)

θ=2°，v≈20，p≈2060

公式(1)、(2)也可寫為：

Ux0=±U(∣psinθ∣+v)

Uy0=±U(∣pcosθ∣+v)

當(dāng)θ很小，且v小于p時有：

UR0≈(p+v)U

式中，θ為圓弧的包容半角；U為測量值(坐標(biāo)點(diǎn)測量數(shù)據(jù))的測量不確定度。p+v為間接測量時，圓心坐標(biāo)值x、y的傳遞系數(shù)。

2.1.2 測量值的不確定度分量概算

測量值不確定度U的評定模型為：

y=Ls+d-Ls(θδα+αsδθ)

靈敏系數(shù)為：

式中，y為測量值；Ls為標(biāo)準(zhǔn)器的量值；d為探測誤差；θ為工件與20℃的溫度差值；αs為標(biāo)準(zhǔn)器膨脹系數(shù)；δα為工件與標(biāo)準(zhǔn)器的膨脹系數(shù)差；δθ為工件與標(biāo)準(zhǔn)器的溫度差。

合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：

2.1.2.1 設(shè)備示值誤差引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度

測量設(shè)備示值誤差為：(1.5+2.8L) μm，服從矩形分布，擴(kuò)展系數(shù)為3。測量設(shè)備示值誤差引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：u(Ls)=(0.5+0.93L) μm(L為測量長度，此處為100 mm)。

2.1.2.2 設(shè)備探測誤差引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度

2.1.2.3 被測工件的膨脹系數(shù)

2.1.2.4 被測工件溫度偏差

C4=0，此項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)不確定度為零。

2.1.2.5 被測工件與測量設(shè)備的膨脹系數(shù)差引入標(biāo)準(zhǔn)不確定度

表1 不確定度分量匯總表Table 1 Summarization of uncertainty components

2.1.2.6 被測工件與測量設(shè)備溫度差引入標(biāo)準(zhǔn)不確定度

2.1.3 合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度

不確定度分量匯總表見表1。

u=(v、p)×uc

當(dāng)θ=2°時，v≈20，p≈2060，則

ux0≈20×uc=22 μm

uy0≈2060×uc=2266 μm

uR0≈2080×uc=2288 μm

2.1.4 擴(kuò)展不確定度

U≈(v、p)×k×uc

Ux0≈2×20×uc=44 μm

Uy0≈2×2060×uc=4532 μm

UR0≈2×2080×uc=4576 μm

2.2 蒙特卡洛方法(MCM)

2.2.1 蒙特卡洛方法原理

蒙特卡洛方法是一種數(shù)字計算方法，它以概率統(tǒng)計理論為基礎(chǔ)，以隨機(jī)抽樣為手段，對過程進(jìn)行模擬和仿真。其原理是：首先，產(chǎn)生服從均勻分布的隨機(jī)數(shù)；其次，用數(shù)學(xué)變換得到其他分部的隨機(jī)數(shù)；最后，對相關(guān)參數(shù)進(jìn)行估算，驗(yàn)證特性。

2.2.2 蒙特卡洛方法應(yīng)用流程

(1)建立一個與所求解問題相關(guān)的概率模型；

(2)通過統(tǒng)計實(shí)驗(yàn)，計算出事件發(fā)生的概率，求出估計的參數(shù)；

(3)對結(jié)果進(jìn)行分析，驗(yàn)證特性。

2.2.3 蒙特卡洛方法評定不確定度的步驟

2.2.3.1 將問題公式化

(1)定義輸出量Y，即被測量；

(2)確定Y所依賴的輸入量X；

(3)建立Y和X的模型；

(4)設(shè)定密度函數(shù)。

2.2.3.2 傳遞

通過系數(shù)傳遞Xi概率密度，得到Y(jié)概率密度。

2.2.3.3 結(jié)果分析

(1)Y期望為估計量；

(2)Y標(biāo)準(zhǔn)差為標(biāo)準(zhǔn)不確定度；

(3)包含概率的區(qū)間。

2.2.3.3.1 測量設(shè)備示值誤差引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度

測量設(shè)備的示值誤差為：(1.5+2.8L) μm，服從矩形分布，分布函數(shù)R(-0.0018，+0.0018)mm。

2.2.3.3.2 測量設(shè)備探測誤差引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度

測量設(shè)備的探測誤差為：1.5 μm，服從矩形分布，分布函數(shù)R(0，0.001 5)mm。

2.2.3.3.3 被測工件的膨脹系數(shù)

被測工件的膨脹系數(shù)u(αs)為(11.5±1)×10-6/℃，服從矩形分布，分布函數(shù)T(10.5，12.5)×10-6/℃。膨脹系數(shù)差為6×10-6/℃，鋼鐵的膨脹系數(shù)為(11.5±1)×10-6/℃，大理石的膨脹系數(shù)為(5.5±1)×10-6/℃，在GUM分析中C3=0，高階項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度可以忽略。

2.2.3.3.4 被測工件溫度偏差

被測工件的溫度在(20±1)℃內(nèi)變化，對標(biāo)準(zhǔn)溫度20℃的偏差為0。被測工件的溫度隨時間的周期變化服從U形分布(即反正弦分布)，U(-1，1)。在GUM分析中C4=0，高階項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度可以忽略。

2.2.3.3.5 被測工件與測量設(shè)備的膨脹系數(shù)差引入標(biāo)準(zhǔn)不確定度

被測工件與測量設(shè)備膨脹系數(shù)差為2.0×10-6/℃，服從三角分布，T為(-2，+2)×10-6/℃。

2.2.3.3.6 被測工件與測量設(shè)備的溫度差引入標(biāo)準(zhǔn)不確定度

被測工件與測量設(shè)備的溫度差0.3℃，服從均勻分布，R(0，0.3)，鋼鐵的膨脹系數(shù)為(11.5±1)×10-6/℃。

2.2.3.3.7 標(biāo)準(zhǔn)不確定度

ux0≈20×uc=22.2 μm

uy0≈2060×uc=2286.6 μm

uR0≈2080×uc=2308.8 μm

2.2.3.3.8 擴(kuò)展不確定度

U≈(v、p)×k×uc

Ux0≈2×20×uc=44.4 μm

Uy0≈2×2060×uc=4573.2 μm

UR0≈2×2080×uc=4617.6 μm

用MATLAB語言進(jìn)行編程計算得出：模擬數(shù)據(jù)的平均值為0.00000 μm；標(biāo)準(zhǔn)差為：0.001 11 μm；95%的置信區(qū)間為：[-0.002 1，0.002 1] μm。

MCM方法輸出量分布見圖3。

圖3 MCM方法輸出量分布Figure 3 Output distribution of MCM

3 GUM方法與MCM方法的比較

因圓弧的半徑值和圓心位置采用間接測量法，其結(jié)果中包括間接計算的傳遞系數(shù)和圓弧測量值(坐標(biāo)點(diǎn))的不確定度，為使GUM方法和MCM方法兩種方法具有可比性，不確定度評定中引用相同的數(shù)據(jù)(圓心半角)，因?yàn)殚g接計算的傳遞系數(shù)相同，所以直接比較兩種方法評定測量值不確定度的評定結(jié)果，見表2。

表2 GUM方法與MCM方法的比較Table 2 Comparison between GUM and MCM

GUM方法的圓弧半徑不確定度為4575 μm，MCM方法的圓弧半徑不確定度為4617.6 μm，約為被測工件公差的9倍，兩種方法差值為42.6 μm。其原因是小圓心角圓弧檢測結(jié)果的間接測量法的傳遞系數(shù)很大造成的。

4 結(jié)論

通過以上分析，我們可以看出，在測量不確定度的評定方法中，MCM方法簡單，更接近實(shí)際，較GUM方法具有一定的優(yōu)勢，評定結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)不確定度基本一致。同時也發(fā)現(xiàn)，圓心角的大小對半徑的影響非常大(傳遞系數(shù)很大)。在實(shí)際工作中應(yīng)盡量避免檢測小圓心角的圓弧。