鄧楊揚 陳 昶 鄧水平

(1.西南交通大學機械工程學院，四川610031；2.二重(德陽)重型裝備有限公司檢測中心，四川618013；3.國家重大技術裝備幾何量計量站，四川610199；)

1 概述

圓弧的半徑值和圓心位置是通過間接測量法得到的。通常是在圓弧上先采集數據(坐標點)，然后通過對采集數據進行計算處理，得到圓弧的半徑值和圓心位置，如大多數三坐標測量機測量圓弧都是通過對圓弧上的檢測數據(坐標點)進行處理，得到圓弧半徑值和圓心位置。對于圓心角小于45°的圓弧，由于采集坐標點的不確定度和間接測量傳遞系數的影響，圓弧的圓心位置的測量誤差很大，其圓弧半徑的測量誤差也隨之增大。

本文用測量不確定度評定指南方法(GUM)和蒙特卡洛方法(MCM)對小圓心角圓弧的圓弧半徑值和圓心位置的不確定度進行評定、比較，說明蒙特卡洛方法的一般流程及優(yōu)勢，分析半徑值及圓心位置的測量不確定度的原因。

2 圓弧樣板測量不確定度評定

本文以GLOBAL silver Performance 07.10.07為例，對半徑為50 mm的工件進行測量，圓心設定為(0，0)，用GUM方法對其進行不確定度評定。

(1)檢測設備的計量特性

MPE：(1.5+2.8L) μm

MPEP：1.5 μm

(2)工件

圓弧半徑：R50 mm

公差：±0.50 mm

圓心半角：2°

(3)測量參數

圓弧直徑及測量不確定度：UR0

圓心位置及測量不確定度：Ux0、Uy0

2.1 GUM方法

2.1.1 間接測量圓弧的模型

根據一般圓的方程：

x2+y2+ax+by+c=0

將l(x1，y1)，m(x2，y2)，n(x3，y3)代入方程后，求得圓心坐標點為：

x0=[(x12+y12)(y2-y3)+(x22+y22)(y3-y1)+(x32+y32)(y1-y2)]/2[y1(x3-x2)+y2(x1-x3)+y3(x2-x1)]

y0=[(x12+y12)(x3-x2)+(x22+y22)(x1-x3)+ (x32+y32)(x2-x1)]/2[y1(x3-x2)+y2(x1-x3)+y3(x2-x1)]

圓弧半徑為：

傳遞系數v和p是對圓心坐標x0、y0求偏導求得，其公式略。x1、x2、x3、y1、y2、y3具有相同的測量值不確定度U，即x0和y0的不確定度為Ux0和Uy0：

用MATLAB對Ux0進行3次樣條擬合，得出系數擬合曲線如圖1所示。

圖1 圓心點x坐標值不確定度曲線Figure 1 Uncertainty curve for x coordinate values of center point

近似公式為：

Ux0=±(0.7～81)U，θ=(0.5～90)°

(1)

用MATLAB對Uy0進行3次樣條擬合，得出系數擬合曲線如圖2所示。

圖2 圓心點y坐標值不確定度曲線Figure 2 Uncertainty curve for y coordinate values of center point

近似公式：

Uy0=±(1.2～32165)U，θ=(0.5～90)°

(2)

θ=2°，v≈20，p≈2060

公式(1)、(2)也可寫為：

Ux0=±U(∣psinθ∣+v)

Uy0=±U(∣pcosθ∣+v)

當θ很小，且v小于p時有：

UR0≈(p+v)U

式中，θ為圓弧的包容半角；U為測量值(坐標點測量數據)的測量不確定度。p+v為間接測量時，圓心坐標值x、y的傳遞系數。

2.1.2 測量值的不確定度分量概算

測量值不確定度U的評定模型為：

y=Ls+d-Ls(θδα+αsδθ)

靈敏系數為：

式中，y為測量值；Ls為標準器的量值；d為探測誤差；θ為工件與20℃的溫度差值；αs為標準器膨脹系數；δα為工件與標準器的膨脹系數差；δθ為工件與標準器的溫度差。

合成標準不確定度為：

2.1.2.1 設備示值誤差引入的標準不確定度

測量設備示值誤差為：(1.5+2.8L) μm，服從矩形分布，擴展系數為3。測量設備示值誤差引入的標準不確定度為：u(Ls)=(0.5+0.93L) μm(L為測量長度，此處為100 mm)。

2.1.2.2 設備探測誤差引入的標準不確定度

2.1.2.3 被測工件的膨脹系數

2.1.2.4 被測工件溫度偏差

C4=0，此項標準不確定度為零。

2.1.2.5 被測工件與測量設備的膨脹系數差引入標準不確定度

表1 不確定度分量匯總表Table 1 Summarization of uncertainty components

2.1.2.6 被測工件與測量設備溫度差引入標準不確定度

2.1.3 合成標準不確定度

不確定度分量匯總表見表1。

u=(v、p)×uc

當θ=2°時，v≈20，p≈2060，則

ux0≈20×uc=22 μm

uy0≈2060×uc=2266 μm

uR0≈2080×uc=2288 μm

2.1.4 擴展不確定度

U≈(v、p)×k×uc

Ux0≈2×20×uc=44 μm

Uy0≈2×2060×uc=4532 μm

UR0≈2×2080×uc=4576 μm

2.2 蒙特卡洛方法(MCM)

2.2.1 蒙特卡洛方法原理

蒙特卡洛方法是一種數字計算方法，它以概率統(tǒng)計理論為基礎，以隨機抽樣為手段，對過程進行模擬和仿真。其原理是：首先，產生服從均勻分布的隨機數；其次，用數學變換得到其他分部的隨機數；最后，對相關參數進行估算，驗證特性。

2.2.2 蒙特卡洛方法應用流程

(1)建立一個與所求解問題相關的概率模型；

(2)通過統(tǒng)計實驗，計算出事件發(fā)生的概率，求出估計的參數；

(3)對結果進行分析，驗證特性。

2.2.3 蒙特卡洛方法評定不確定度的步驟

2.2.3.1 將問題公式化

(1)定義輸出量Y，即被測量；

(2)確定Y所依賴的輸入量X；

(3)建立Y和X的模型；

(4)設定密度函數。

2.2.3.2 傳遞

通過系數傳遞Xi概率密度，得到Y概率密度。

2.2.3.3 結果分析

(1)Y期望為估計量；

(2)Y標準差為標準不確定度；

(3)包含概率的區(qū)間。

2.2.3.3.1 測量設備示值誤差引入的標準不確定度

測量設備的示值誤差為：(1.5+2.8L) μm，服從矩形分布，分布函數R(-0.0018，+0.0018)mm。

2.2.3.3.2 測量設備探測誤差引入的標準不確定度

測量設備的探測誤差為：1.5 μm，服從矩形分布，分布函數R(0，0.001 5)mm。

2.2.3.3.3 被測工件的膨脹系數

被測工件的膨脹系數u(αs)為(11.5±1)×10-6/℃，服從矩形分布，分布函數T(10.5，12.5)×10-6/℃。膨脹系數差為6×10-6/℃，鋼鐵的膨脹系數為(11.5±1)×10-6/℃，大理石的膨脹系數為(5.5±1)×10-6/℃，在GUM分析中C3=0，高階項的標準不確定度可以忽略。

2.2.3.3.4 被測工件溫度偏差

被測工件的溫度在(20±1)℃內變化，對標準溫度20℃的偏差為0。被測工件的溫度隨時間的周期變化服從U形分布(即反正弦分布)，U(-1，1)。在GUM分析中C4=0，高階項的標準不確定度可以忽略。

2.2.3.3.5 被測工件與測量設備的膨脹系數差引入標準不確定度

被測工件與測量設備膨脹系數差為2.0×10-6/℃，服從三角分布，T為(-2，+2)×10-6/℃。

2.2.3.3.6 被測工件與測量設備的溫度差引入標準不確定度

被測工件與測量設備的溫度差0.3℃，服從均勻分布，R(0，0.3)，鋼鐵的膨脹系數為(11.5±1)×10-6/℃。

2.2.3.3.7 標準不確定度

ux0≈20×uc=22.2 μm

uy0≈2060×uc=2286.6 μm

uR0≈2080×uc=2308.8 μm

2.2.3.3.8 擴展不確定度

U≈(v、p)×k×uc

Ux0≈2×20×uc=44.4 μm

Uy0≈2×2060×uc=4573.2 μm

UR0≈2×2080×uc=4617.6 μm

用MATLAB語言進行編程計算得出：模擬數據的平均值為0.00000 μm；標準差為：0.001 11 μm；95%的置信區(qū)間為：[-0.002 1，0.002 1] μm。

MCM方法輸出量分布見圖3。

圖3 MCM方法輸出量分布Figure 3 Output distribution of MCM

3 GUM方法與MCM方法的比較

因圓弧的半徑值和圓心位置采用間接測量法，其結果中包括間接計算的傳遞系數和圓弧測量值(坐標點)的不確定度，為使GUM方法和MCM方法兩種方法具有可比性，不確定度評定中引用相同的數據(圓心半角)，因為間接計算的傳遞系數相同，所以直接比較兩種方法評定測量值不確定度的評定結果，見表2。

表2 GUM方法與MCM方法的比較Table 2 Comparison between GUM and MCM

GUM方法的圓弧半徑不確定度為4575 μm，MCM方法的圓弧半徑不確定度為4617.6 μm，約為被測工件公差的9倍，兩種方法差值為42.6 μm。其原因是小圓心角圓弧檢測結果的間接測量法的傳遞系數很大造成的。

4 結論

通過以上分析，我們可以看出，在測量不確定度的評定方法中，MCM方法簡單，更接近實際，較GUM方法具有一定的優(yōu)勢，評定結果的標準不確定度基本一致。同時也發(fā)現，圓心角的大小對半徑的影響非常大(傳遞系數很大)。在實際工作中應盡量避免檢測小圓心角的圓弧。