北京市第十二中學(xué)高中部 (100071) 楊雪芹 高慧明

題目如圖1所示,在四邊形ABCD中,已知∠ACB=∠ADB=90°,AC與BD交于點(diǎn)E,AC=BC,AD=4,BD=7,則S△ABE=___________.(2014年北京市高一數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試題)

這是一道求解一般三角形面積的試題, 細(xì)細(xì)琢磨，這道題實(shí)際上可以從多個(gè)角度突破.通過分析,AD,BC分別可作為BE和AE邊上的高, 并且AD,BC的長(zhǎng)度已知. 如此一來，求面積問題就轉(zhuǎn)化為求邊長(zhǎng)問題.所以BE或AE的長(zhǎng)度求解就是解決該問

圖1

題的關(guān)鍵之所在.

以下分別利用相似三角形、兩角和的正弦公式、托勒密定理、余弦定理、四點(diǎn)共圓、面積的比等知識(shí)求出BE或AE的長(zhǎng),繼而產(chǎn)生5種不同思路解決該問題.

首先,由已知條件容易得到的數(shù)量有

下面,我們從5個(gè)不同的角度作后續(xù)處理.

點(diǎn)評(píng)：把問題解決的關(guān)鍵量設(shè)為未知量,找出未知量滿足的方程,轉(zhuǎn)換為解方程問題.利用“方程的思想”處理幾何問題.

點(diǎn)評(píng)：利用角之間的關(guān)系，“設(shè)而不求”，不求出具體的角，只求出相應(yīng)角的三角函數(shù)值，利用直角三角形和已知條件求出邊長(zhǎng).

點(diǎn)評(píng)：托勒密定理(Ptolemy)定理指出：圓的內(nèi)接凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積.從這個(gè)定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實(shí)質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì).該解法應(yīng)用四點(diǎn)共圓、托勒密定理解決問題.

解法4:(利用全等、共圓、線段比例)延長(zhǎng)AD到F,使DF=3,AF=7,于是AF=BD,AC=BC.

由已知得∠DAC=∠CBD.所以△ACF≌△BCD.所以CD=CF.在四邊形ABCD中,∠ADB=∠ACB=90°,所以A,B,C,D四點(diǎn)共圓.

由圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角得∠CDF=∠ABC=45°.所以△DCF是等腰直角三角形.

點(diǎn)評(píng)：這是一道高一的數(shù)學(xué)競(jìng)賽題，解法4和解法5采用高一學(xué)生熟悉的初中平面幾何問題的處理方法，作輔助線，構(gòu)造全等關(guān)系，利用線段成比例或三角形面積比解決問題，較之前三種方法，學(xué)生容易想到，但構(gòu)造過程和解題過程相對(duì)麻煩.解法1和解法2較為簡(jiǎn)便.作為參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的學(xué)生，解法3中的知識(shí)也應(yīng)該掌握，學(xué)會(huì)應(yīng)用平面幾何中的著名定理(梅涅勞斯定理、塞瓦定理、托勒密定理和其推廣、西松姆定理)解決問題.