石 峰，王 昊，朱紅偉

（河南理工大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，河南 焦作 454000）

0 引言

直流輝光放電在微電子工業(yè)具有廣泛的應(yīng)用，如材料的表面改性、薄膜沉積、燈光照明等領(lǐng)域[1-3]。林中立等[4]建立了一維氬氣的直流輝光放電的自洽流體模型，采用漂移擴(kuò)散模型求解了帶電粒子的運(yùn)動(dòng)，模擬結(jié)果得到了放電空間中的電子離子的數(shù)密度和電勢(shì)的分布與電場(chǎng)強(qiáng)度的分布，研究了氣體放電的規(guī)律。

溫睿等[5]研究了直流輝光放電正柱區(qū)輝紋的形態(tài)演變，結(jié)果得到了輝紋波長(zhǎng)與放電電流密度對(duì)數(shù)值幾乎呈線性關(guān)系，并且研究了在不同氣壓和流速條件下，輝紋衰減的系數(shù)隨放電電流的變化趨勢(shì)，得到了電子密度、離子密度和電勢(shì)、電場(chǎng)強(qiáng)度的分布關(guān)系。

盧志瓊等[6]采用三維的PIC/MCC方法模擬了直流輝光放電的電離，得到了放電空間中電子的相空間分布和電子的能量統(tǒng)計(jì)分布特性，模擬結(jié)果很好的解釋了直流輝光放電的電離特性。張百靈等[1]進(jìn)一步研究了低氣壓直流輝光放電機(jī)理，研究了正常輝光向異常輝光放電的轉(zhuǎn)變過(guò)程及其放電特性，研究了正常輝光放電和異常輝光放電情況下的放電電壓和放大電流與外加電壓和氣壓的關(guān)系[7]。

研究者運(yùn)用流體模型，其中數(shù)學(xué)模型方程由分別描述電子、離子的連續(xù)性方程和傳輸方程以及描述電場(chǎng)分布的泊松方程組成，分析了改變陰極材料提高等離子體電子密度的關(guān)系[8]。針對(duì)一維平板模型，利用漂移擴(kuò)散模型進(jìn)行流體模擬，得到了在不同壓力下的電子密度、離子密度、電子溫度、電勢(shì)和電場(chǎng)等的分布及其隨時(shí)間演化的數(shù)值模擬結(jié)果。分析了氣體壓力變化率對(duì)氣體輝光放電的影響。

利用流體動(dòng)力學(xué)方法，對(duì)直流輝光放電陰極鞘層區(qū)域氮離子輸運(yùn)過(guò)程進(jìn)行了數(shù)值模擬研究，將離子與中性分子間的動(dòng)量交換碰撞引入離子在陰極鞘層區(qū)的運(yùn)動(dòng)方程討論了不同氣壓、不同初始離子密度比例對(duì)氮等離子體陰極鞘層區(qū)的離子和電子密度、電位、電場(chǎng)強(qiáng)度沿鞘層軸向分布的影響[10]。

采用了PIC/MCC的方法來(lái)模擬直流輝光放電中產(chǎn)生的電子在電場(chǎng)力作用下的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，同時(shí)充分考慮了電子與中性氣體分子之間的彈性碰撞、激發(fā)碰撞和電離碰撞過(guò)程及其對(duì)電子運(yùn)動(dòng)的影響。同時(shí)考慮了離子與中性粒子的碰撞，考慮了離子的電荷交換碰撞。仿真結(jié)果很好的揭示了直流輝光放電的特性。

1 PIC/MCC方法

等離子體粒子模擬的思路是：首先假設(shè)大量的粒子具有初始的位置和速度，然后對(duì)其統(tǒng)計(jì)平均求出等離子體空間中格點(diǎn)處的電荷和電流密度分布，然后通過(guò)求解麥克斯韋方程組求解網(wǎng)格點(diǎn)處的電場(chǎng)和磁場(chǎng)。然后再利用插值法或者權(quán)重法將電場(chǎng)作用于粒子上，推動(dòng)粒子的運(yùn)動(dòng)，粒子的新的位置和速度由求解運(yùn)動(dòng)方程獲得。以此循環(huán)下去，通過(guò)跟蹤大量帶電粒子的運(yùn)動(dòng)，得到宏觀等離子體的物質(zhì)特性和運(yùn)動(dòng)過(guò)程。

其中粒子的模擬為靜電模型，其中電磁場(chǎng)的求解為泊松方程，其中粒子的坐標(biāo)為一維，速度為三維，1D3V。采用有限尺寸大小的粒子，粒子的尺寸為一個(gè)德拜長(zhǎng)度。

1.1 MCC方法

MCC方法是將產(chǎn)生的[0，1]之間的隨機(jī)數(shù)與粒子之間的碰撞截面相比較，來(lái)判斷粒子是否碰撞，如果碰撞，則由碰撞幾率決定發(fā)生何種碰撞，如果不發(fā)生碰撞，則由PIC方法來(lái)處理，再由能量和動(dòng)量守恒來(lái)確定粒子碰撞后的新?tīng)顟B(tài)。其中，碰撞截面嚴(yán)格取為粒子能量的函數(shù)，模擬中考慮的碰撞主要有電子和中性粒子的彈性碰撞與電離碰撞，離子和中性粒子的電荷交換碰撞。

用MCC方法描述粒子間的碰撞，每一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi)的帶電粒子發(fā)生碰撞的概率為：

式中：N為中性粒子的密度；ε、v和σt分別為帶電粒子的能量、速率和總碰撞截面?？紤]電子與中性粒子的彈性、電離碰撞，離子與中性粒子的電荷交換碰撞。圖1為PIC/MCC模擬的流程圖。

（1）電子與中性粒子的彈性碰撞

由于me?mi≈mn，假設(shè)碰撞后電子只改變方向，電子的散射角χ為：

εe為碰撞前電子的能量，R為[0，1]之間均勻分布的隨機(jī)數(shù)。方位角Φ在[0，2π]間均勻分布則：

（2）電子與中性粒子的電離碰撞

假設(shè)碰撞后產(chǎn)生的離子能量等于碰撞前中性粒子的能量，散射電子和新電子的能量將由入射電子損耗電離能后的能量隨機(jī)分配或平均分配，新電子的運(yùn)動(dòng)方向、方位角由隨機(jī)數(shù)決定，新產(chǎn)生的離子能量從具有中性氣體溫度的麥克斯韋分布取樣，描述其運(yùn)動(dòng)方向的角度由隨機(jī)數(shù)決定。

（3）離子與中性粒子的電荷交換碰撞

碰撞后的新生離子的能量由中性氣體溫度的麥克斯韋分布取樣，散射角和方位角相對(duì)于原來(lái)的入射方向各向同性，由隨機(jī)數(shù)決定，碰撞后新生離子的速度方向隨機(jī)決定。通過(guò)以上方法即可求得碰撞以后帶電粒子的能量、運(yùn)動(dòng)角度，從而得到帶電粒子的動(dòng)量和速度。

1.2 模型的穩(wěn)定性控制

要模擬格式的穩(wěn)定性，需要滿足一定的時(shí)間和空間步長(zhǎng)，時(shí)間步長(zhǎng)必須滿足ωpeΔt＜0.2，空間步長(zhǎng)必須滿足vΔt/Δx≤1，v為帶電粒子的速度，粒子在一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi)的移動(dòng)距離不超過(guò)一個(gè)網(wǎng)格長(zhǎng)度，時(shí)間步長(zhǎng)小于帶電粒子的平均碰撞時(shí)間，對(duì)于空間步長(zhǎng)Δx不能大于德拜長(zhǎng)度λde。

圖1PIC/MCC模擬流程圖Fig.1 PIC/MCC simulation flowchart

2 模擬結(jié)果與討論

取兩平行極板，極板間距為0.01 m，z向兩端直流電壓為400 V，工作氣體為氬氣，氣壓約為6.65 Pa，初始時(shí)刻注入2 000個(gè)電子和離子，這些粒子均為有限大小粒子，電子初始能量取值為1.5×10-21J，離子初始能量取為3.5×10-20J。

圖2為電子達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)候的三個(gè)方向的速度分布，可以看出，由于放電逐漸深入，電子的速率逐漸增加，當(dāng)其能量超過(guò)電離閾值的時(shí)候，使中性氣體粒子激發(fā)或者電離，從而電子的數(shù)目逐漸增加。從圖中可以看出，電子在z軸，幾乎均勻分布，低速度的粒子位于中部位置，低能粒子占絕大多數(shù)，而高能粒子的數(shù)目較少，這是由于放電過(guò)程的進(jìn)行，粒子逐漸加速，速率越來(lái)越大，電子不僅受外加電場(chǎng)的作用，還受到自洽電場(chǎng)的作用，同時(shí)帶電粒子之間也會(huì)相互碰撞，從而使低能粒子的能量增加，高能粒子的能量減少，同時(shí)粒子的數(shù)目也逐漸增加。

圖2 電子的三個(gè)方向的速度圖Fig.2 Velocity distribution in three directions of electron

圖3表示離子的能量分布圖，放電達(dá)到穩(wěn)態(tài)以后，電子的速度比放電初期增加，但是由于電子與中性粒子之間的碰撞和帶電粒子之間的碰撞，電子與電場(chǎng)之間的相互作用，低速電子始終占大多數(shù)。可以看出，與電子的能量分布相比，離子的能量相對(duì)較低，并且低能電子占大多數(shù)。由于離子的質(zhì)量大，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不易改變，因此沒(méi)有出現(xiàn)明顯的軸向漂移運(yùn)動(dòng)。

圖3 離子三個(gè)方向的能量分布圖Fig.3 Velocity distribution in three directions of ion

圖4為帶電粒子的能量空間分布圖，可以看出，隨著放電過(guò)程的進(jìn)行，電子能量持續(xù)的加速，并不斷增大，超過(guò)電子的電離閾值的時(shí)候便與中性粒子碰撞，碰撞后電子的能量降低。

圖4 帶電粒子的能量空間分布圖Fig.4 Energy distribution of charged particles

在放電過(guò)程低能電子占大多數(shù)，初始時(shí)刻，由于離子受外加電場(chǎng)的作用，離子的質(zhì)量大于電子，因此離子的運(yùn)動(dòng)比較緩慢，使得離子向電極運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)不明顯，離子不僅受到外加電場(chǎng)的作用，還受到自洽電場(chǎng)的作用，同時(shí)在碰撞過(guò)程中考慮了離子的彈性、電荷交換碰撞，同時(shí)由于電子與中性粒子的碰撞，會(huì)產(chǎn)生離子，使得離子的數(shù)目逐漸增加，同時(shí)離子的能量也逐漸增長(zhǎng)。但是由于離子的質(zhì)量遠(yuǎn)大于電子，因此其能量增長(zhǎng)的速度遠(yuǎn)小于電子。從圖中可以看出，高能電子的數(shù)量較少，大部分電子的能量大于離子的能量。

圖5為直流輝光放電的軸向電勢(shì)分布，可以看到，在中部的區(qū)域，電子和離子密度近似相等，為準(zhǔn)中性區(qū)域，電勢(shì)近似為零，而在邊界處，由于電子的熱速度遠(yuǎn)大于離子的熱速度，因此電子達(dá)到壁面后消失的速度要大于離子消失的速度，在邊界處有剩余的凈正電荷，有正電荷鞘層，在中部等離子體區(qū)域，電勢(shì)近似相等，近似為50 V，大于邊界鞘層區(qū)域。

圖5 直流輝光放電的軸向電勢(shì)分布圖Fig.5 potential distribution at different grid points discharge space

圖6為放電空間中不同網(wǎng)格點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度分布，由于邊界條件為吸收邊界條件，因此電勢(shì)為正，電場(chǎng)強(qiáng)度指向兩側(cè)邊界，近似為100 V/m，但是中部區(qū)域的電子和離子數(shù)目近似相等，因此電場(chǎng)強(qiáng)度近似為零，在邊界鞘層區(qū)域的電場(chǎng)強(qiáng)度不為零，電勢(shì)幾乎全部加在鞘層區(qū)域中。

圖6 放電空間中不同網(wǎng)格點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度分布圖Fig.6 Distrbution of electric field intensity at different grid points in discharge space

3 結(jié)論

對(duì)直流輝光放電進(jìn)行了建模，考慮了電子與中性粒子之間的彈性、電離，離子與中性粒子之間的電荷交換碰撞，碰撞截面依賴于能量而變化。隨著放電過(guò)程的深入，電子和離子的數(shù)目逐漸增大，最后趨于穩(wěn)態(tài)，并且低能粒子占大多數(shù)，高能粒子占少數(shù)，離子的質(zhì)量較大，沒(méi)有明顯的軸向漂移運(yùn)動(dòng)。隨著放電過(guò)程的進(jìn)行，電子的能量逐漸增加，發(fā)生電離碰撞，碰撞后電子的能量減少，大部分電子的能量大于離子。

對(duì)帶電粒子進(jìn)行統(tǒng)計(jì)平均，在極板中部的等離子體區(qū)域，電子和離子密度近似相等，電勢(shì)幾乎為零，而在邊界處，由于電子的熱速度大于離子的熱速度，因此消失的電子數(shù)大于離子，在邊界處存在多余的正電荷，形成正電勢(shì)的鞘層區(qū)域，會(huì)形成指向壁面的正電場(chǎng)，因此會(huì)阻止電子繼續(xù)向邊界運(yùn)動(dòng)，從而在邊界處形成電子和離子的動(dòng)態(tài)平衡。電勢(shì)幾乎全部加在鞘層區(qū)域中，模擬結(jié)果很好地揭示了氣體放電過(guò)程的宏觀和微觀特性。

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