王海欽 南云程

(1.北京師范大學(xué)物理學(xué)系,北京 100875； 2.中國(guó)科學(xué)院高能物理研究所，北京 100049)

1 計(jì)算方法

VCE(variational cumulant expansion)方法，又叫變分累積展開法.基本計(jì)算過程如下：統(tǒng)計(jì)物理中正則系綜的配分函數(shù)可以寫為：

(1)

(2)

因此自由能F寫成：

F=-kBTlnZ=-kBTlnZ0-kBTln0．

(3)

選擇合適的S0使S-S0為小量則可將(3)展開為

(4)

其中：F0=-kBTlnZ0，一級(jí)近似時(shí)忽略(4)中高階項(xiàng)得到

F1=F0-kBT0．

(5)

N個(gè)格點(diǎn)的伊辛模型哈密頓量為：

(6)

本文只討論鐵磁耦合(JA>0)的情況.μ0代表一個(gè)格點(diǎn)的磁矩，B是外加磁場(chǎng).用VCE方法求解伊辛模型，試探波函數(shù)選為：

(7)

根據(jù)(7)式得：

其中NA代表A晶格上原子總數(shù)，則

F0=-kBTNAln(2coshξ)．

(8)

把(6)式代入(1)式中：

根據(jù)(2)中0的定義：

(9)

F1= -kBTNAln(2coshξ)-JA(tanhξ)2σA-

μ0BtanhξNA+kBTξtanhξNA．

(10)

熱力學(xué)平衡時(shí)自由能取極小值，應(yīng)用變分原理

(極值條件)，

(11)

(12)

根據(jù)熱力學(xué)公式，代入公式(10)得到系統(tǒng)磁化強(qiáng)度：

(13)

利用(12)和(13)兩式可以計(jì)算B=0時(shí)的自發(fā)磁化.如果外場(chǎng)B不為0，可以得到磁化公式.為此畫出外場(chǎng)隨變分參數(shù)ξ的變化情況，如圖1所示.

圖1 磁化強(qiáng)度、外場(chǎng)隨變分參數(shù)ξ的關(guān)系，取d模型, PA=2.5,kBT/JA=1,2.5

(14)

ξC=ξ1

(15)

(16)

這就是矯頑力的表達(dá)式.

利用(12)和(13)兩式可得到磁化率的公式.由定義:

則系統(tǒng)磁化率為：

由于磁化率是在臨界點(diǎn)之上，根據(jù)公式(12)的數(shù)學(xué)意義，因?yàn)樵诰永餃囟燃捌涓邷囟?，?0， 所以coshξ=1則：

(17)

2 有限二維蜂窩結(jié)構(gòu)伊辛模型的數(shù)值計(jì)算

2.1 有限單層蜂窩結(jié)構(gòu)的分類

根據(jù)不同的邊緣結(jié)構(gòu)可將蜂窩結(jié)構(gòu)分為如下四種情況，分別如圖2(a)、2(b)、2(c)和2(d)所示.

圖2 單層蜂窩結(jié)構(gòu)四種情況

如上圖，以a模型(偶偶)為例，從蜂窩格子中心來看，設(shè)橫向有2k個(gè)蜂窩，縱向有2n個(gè)蜂窩，這類結(jié)構(gòu)，簡(jiǎn)稱a模型(偶偶).其中黑點(diǎn)代表格點(diǎn)，上圖中當(dāng)k=1，n=2，表示橫向有2個(gè)蜂窩，縱向有4個(gè)蜂窩，同理，b模型、c模型和d模型以此類推.對(duì)四種模型的最近鄰對(duì)數(shù)σA、格點(diǎn)總數(shù)NA、平均格點(diǎn)配位數(shù)PA分別計(jì)算可得如下一覽表.

表1 四種模型的σA、NA、PA一覽表

2.2 熱力學(xué)量的數(shù)值計(jì)算

利用公式(12)和(13)兩式，取外場(chǎng)為零，數(shù)值計(jì)算得到自發(fā)磁化曲線如圖3所示.首先，分析四種蜂窩模型自發(fā)磁化性質(zhì)的共性.所有曲線在一定溫區(qū)都有不為零的值，說明這些結(jié)構(gòu)都有自發(fā)磁化.同時(shí)，對(duì)每一個(gè)結(jié)構(gòu)，自發(fā)磁化都隨著溫度的升高而降低，最終為零，這時(shí)的溫度就是臨界點(diǎn)(即居里點(diǎn)).這是由于溫度升高，熱運(yùn)動(dòng)使自旋由有序趨于無序的結(jié)果[4].四種結(jié)構(gòu)還有一個(gè)共同點(diǎn)，隨著結(jié)構(gòu)的增大，自發(fā)磁化都在增大，臨界點(diǎn)也在升高，而且最終的臨界點(diǎn)都趨于相同值3.這是由于尺寸增大造成原子數(shù)增加，處于邊緣的原子數(shù)按線性規(guī)律增加，內(nèi)部原子按平方規(guī)律增加，造成平均配位數(shù)增加，最終使得邊緣效應(yīng)小到可以忽略.這個(gè)最終臨界點(diǎn)3正是無限大蜂窩結(jié)構(gòu)的配位數(shù)，這個(gè)結(jié)果與平均場(chǎng)近似一致[5].

為了深入了解蜂窩模型的其他性質(zhì)，我們選取d模型為研究對(duì)象.圖4給出了蜂窩結(jié)構(gòu)d模型在不同尺度(n=k=1、n=k=2、n=k=3和n、k為無限大)時(shí)矯頑力μ0B/JA隨溫度T的變化曲線.可以由圖中內(nèi)插圖看出，當(dāng)二維尺寸一定時(shí)，矯頑力隨溫度的升高而減小，最終為零，這時(shí)的溫度正達(dá)居里點(diǎn).原因是溫度越高，磁化強(qiáng)度越小，越容易受到磁場(chǎng)的影響[5].溫度到達(dá)居里點(diǎn)時(shí)，自發(fā)磁化消失，系統(tǒng)從鐵磁相變?yōu)轫槾畔啵艤€的面積為0[9]，矯頑力為0.此外可看到，二維尺寸越小，μ0B/JA-kBT/JA曲線越下凹，變化越快，且溫度相同，二維尺寸越大時(shí)，矯頑力越大.

圖3 單層有限蜂窩結(jié)構(gòu)自發(fā)磁化，其中(a)、(b)、(c)、(d)分別對(duì)應(yīng)圖2中的(a)、(b)、(c)、(d)四種結(jié)構(gòu)

圖4 蜂窩結(jié)構(gòu)d模型矯頑力μ0BC/JA隨kBT/JA的變化，分別取n=k=1、n=k=2、n=k=3和n、k為無限大時(shí)

3 無限大二維平面與無限大圓筒形伊辛模型比較

有限大蜂窩狀圓筒伊辛模型的推導(dǎo)和計(jì)算同二維平面一樣，同樣推廣到無限大模型.

當(dāng)模型尺寸較小時(shí)，邊緣原子多.這些邊緣原子的最近鄰原子相對(duì)較少，當(dāng)然耦合成鐵磁相的“束縛力”就較小，整個(gè)系統(tǒng)就不穩(wěn)定，自發(fā)磁化易遭破壞；當(dāng)模型尺寸趨于無限大時(shí)，結(jié)構(gòu)鐵磁耦合較強(qiáng)，臨界點(diǎn)就高.此時(shí)邊緣原子比例可以忽略，邊緣效應(yīng)逐漸消失. 如圖5顯示，兩條曲線高度重合，并且臨界點(diǎn)相同.因?yàn)槟Ｐ统叽鐭o限大時(shí)，邊緣效應(yīng)逐漸消失，此時(shí)圓筒就相當(dāng)于一個(gè)無限大二維平面.

圖5 無限大二維平面和圓筒的自發(fā)磁化

圖6中曲線a是無外場(chǎng)的自發(fā)磁化曲線.特別值得注意的是曲線e、f和g，它們加的是反向磁場(chǎng).首先看到的是，在一個(gè)溫度下這些曲線可能給出兩個(gè)數(shù)值，說明數(shù)學(xué)上有兩個(gè)解.第一個(gè)數(shù)值表示溫度升高磁化強(qiáng)度下降，這是合理的.另一個(gè)較低的數(shù)值顯示相反的規(guī)律，這不符合物理規(guī)律，須舍棄；第二，盡管較高的數(shù)值曲線段是合理的磁化強(qiáng)度，但是仍被外場(chǎng)壓制而降低了；第三，對(duì)于某一曲線，當(dāng)溫度升高到一定數(shù)值時(shí)，兩個(gè)解重合，過了這個(gè)點(diǎn)就沒有解了.這說明正向磁化強(qiáng)度沒有了.曲線e、f和g對(duì)應(yīng)的反向圖就分別是曲線b、c和d關(guān)于溫度軸的鏡面反射圖.換句話說，曲線e、f和g的最右端就是矯頑力.

圖6 無限大二維平面和圓筒的磁化強(qiáng)度隨外場(chǎng)的變化曲線，圖中曲線a、b、c、d、e、f和g分別對(duì)應(yīng)μ0B/JA=0、0.5、1、1.5、-0.5、-1和-1.5

利用公式(16)計(jì)算矯頑力得到曲線如圖7所示.可得到二維無限大平面和圓筒的曲線高度重合，原因是兩個(gè)模型在趨于無限大時(shí)，平均配位數(shù)相等，使得磁化強(qiáng)度被矯正的程度一樣.

圖7 矯頑力隨溫度的變化關(guān)系

當(dāng)磁化強(qiáng)度達(dá)到飽和值時(shí)，減小磁化場(chǎng)，磁化強(qiáng)度的變化滯后于外場(chǎng)的變化；當(dāng)外場(chǎng)減小到零時(shí)，磁場(chǎng)強(qiáng)度并不為零；當(dāng)反向磁場(chǎng)增大到μ0B/JA時(shí)，磁場(chǎng)強(qiáng)度立刻減小到零,形成一支曲線.磁場(chǎng)減小并再反向時(shí)，得到另一支曲線，共同組成磁滯回線.而極限磁滯回線上的μ0B/JA稱為矯頑力.隨著溫度的升高，磁滯回線寬度越來越窄.當(dāng)溫度在臨界溫度之上時(shí)，磁滯現(xiàn)象消失，產(chǎn)生的曲線呈順磁性.當(dāng)溫度在臨界溫度之上時(shí)，鐵磁體從鐵磁相變成順磁鐵，發(fā)生了二級(jí)相變.因此，磁滯回線寬度消失，變成一條曲線.且兩個(gè)無限大模型的磁滯回線高度重合.綜上所述，無限大二維平面和無限大的圓筒模型各熱力學(xué)性質(zhì)基本相似.

圖8 kBT/JA=1.5, 2，3時(shí)二維無限大平面和圓筒的磁滯回線

4 總 結(jié)

本文通過VCE方法，得到二維有限蜂窩結(jié)構(gòu)鐵磁耦合伊辛模型的自由能等各熱力學(xué)量的表達(dá)式.以單層蜂窩狀結(jié)構(gòu)的四種模型為基礎(chǔ)，對(duì)其自發(fā)磁化強(qiáng)度進(jìn)行分析與比較，得到了尺寸對(duì)于熱力學(xué)性質(zhì)的影響規(guī)律.系統(tǒng)的二維限度越大，居里點(diǎn)越大，且不超過該晶格結(jié)構(gòu)的配位數(shù).比較了無限大二維平面和無限大圓筒模型的各熱力學(xué)性質(zhì),得到無限大的二維石墨烯結(jié)構(gòu)和單層碳納米管的熱力學(xué)性質(zhì)基本相似.