示憐云

本不存在的多面體

右圖中這個(gè)漂亮的球體模型，是加拿大滑鐵盧大學(xué)的計(jì)算機(jī)科學(xué)家克雷格·卡普蘭用紙板和透明膠帶組裝而成的。它看起來(lái)就像美國(guó)建筑師巴克敏斯特·富勒發(fā)明的網(wǎng)格穹頂，或者像一種新款足球。它由4個(gè)正十二邊形和12個(gè)正十邊形構(gòu)成，此外它還留有28個(gè)等邊三角形形狀的缺口。

但這里卻有一個(gè)大問(wèn)題：這種球體模型在數(shù)學(xué)上是不可能存在的。這些正多邊形本應(yīng)不會(huì)在每個(gè)頂點(diǎn)上完全對(duì)齊，所以它們無(wú)法構(gòu)成這個(gè)球體模型。

那么為什么在現(xiàn)實(shí)中可以做成這個(gè)模型呢？原來(lái)在組合的時(shí)候，每個(gè)紙板都會(huì)微微地發(fā)生扭曲?？ㄆ仗m表示，紙板的扭曲產(chǎn)生了一種“蒙混過(guò)關(guān)的因素”，能使得本該不可能的事情變?yōu)榱丝赡堋?/p>

卡普蘭的模型，只是美國(guó)數(shù)學(xué)家諾曼·約翰遜在上個(gè)世紀(jì)60年代發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)現(xiàn)象中的一個(gè)新例子。那時(shí)的約翰遜，正努力完成一個(gè)由柏拉圖在2000多年前就開(kāi)始的項(xiàng)目：編錄所有完美的凸多面體。例如，各面都是全等的正多邊形且每一個(gè)頂點(diǎn)布局都是一樣的凸多面體，叫做正多面體。它總共只有5種，分別是正四面體、立方體、正八面體、正十二面體和正二十面體。如果你用2種以上的正多邊形組成一個(gè)凸多面體，且要求所有頂點(diǎn)布局都相同，那么你可以得到13個(gè)阿基米德立體，以及無(wú)數(shù)種正棱柱（兩個(gè)相同的正多邊形被多個(gè)正方形連接起來(lái)）和正反棱柱（兩個(gè)相同的正多邊形被多個(gè)等邊三角形連接起來(lái)）。阿基米德立體、正棱柱和正反棱柱統(tǒng)稱(chēng)為半正多面體。

如果用2種以上的正多邊形組成一個(gè)凸多面體，但不要求所有頂點(diǎn)布局都相同，那么除了半正多面體，還會(huì)有多少種多面體呢？1966年，約翰遜發(fā)現(xiàn)了92個(gè)這樣的多面體，現(xiàn)統(tǒng)稱(chēng)為約翰遜多面體。他猜測(cè)自己已經(jīng)找全了，幾年之后，俄國(guó)數(shù)學(xué)家維克托·扎格勒爾證明了這一點(diǎn)。

然而在尋找這些多面體的時(shí)候，約翰遜發(fā)現(xiàn)了一些奇怪的現(xiàn)象。他用紙板來(lái)搭建想要尋找的形狀，因?yàn)闈M(mǎn)足要求的多面體不會(huì)很多，他認(rèn)為任何不可能的情況都能很快顯現(xiàn)出來(lái)。但事實(shí)上，他用紙板搭建出了很多個(gè)這樣的多面體，但經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)分析后，發(fā)現(xiàn)它們本應(yīng)不存在。約翰遜仔細(xì)一看，發(fā)現(xiàn)這些多面體的紙板都發(fā)生了扭曲，比如某個(gè)面扭曲得不像正方形，或者某個(gè)面變得不太平坦。約翰遜拿著剪刀試著對(duì)某些面進(jìn)行修剪，使得各個(gè)面的紙板不再扭曲，但是修剪完后，各個(gè)面就不都是正多邊形了。

這些差一點(diǎn)點(diǎn)就成為完美的多面體，被稱(chēng)為擬約翰遜多面體。當(dāng)時(shí)的約翰遜并沒(méi)有太在意這種多面體。然而現(xiàn)在，擬約翰遜多面體不僅吸引了卡普蘭和其他數(shù)學(xué)家的興趣，而且被看成“差點(diǎn)就對(duì)的數(shù)學(xué)”的一個(gè)典型例子。

差一點(diǎn)就騙到你

差點(diǎn)就對(duì)的數(shù)學(xué)并沒(méi)有嚴(yán)格的定義，它通常就是指那種差一點(diǎn)就滿(mǎn)足要求的，或者差一點(diǎn)就正確的數(shù)學(xué)現(xiàn)象。其判斷標(biāo)準(zhǔn)，也同時(shí)是基于人的體驗(yàn)。目前，卡普蘭在尋找新的擬約翰遜多面體的時(shí)候，基本上是依賴(lài)于經(jīng)驗(yàn)。如果你成功地搭建了一個(gè)不可能的多面體，并且與要求很接近，那么你就找到了一個(gè)擬約翰遜多面體。

許多古老的問(wèn)題就屬于差點(diǎn)就對(duì)的數(shù)學(xué)。例如，尺規(guī)作圖三大難題——三等分角（三等分一個(gè)任意角）、化圓為方（作一個(gè)正方形，使它的面積等于已知圓的面積）和倍立方（作一個(gè)立方體，使它的體積是已知立方體的體積的兩倍）——看起來(lái)很容易解決，但最終被證明是不可能的，你最多只能找到一些近似的方法。

不過(guò)在許多時(shí)候，“差點(diǎn)就對(duì)”往往意味著“差一點(diǎn)就騙到你”，可以拿來(lái)當(dāng)作一個(gè)數(shù)學(xué)玩笑或惡作劇。比如左圖中，上面那個(gè)直角三角形被切成四個(gè)部分。這些部分重新組合為下面的直角三角形時(shí)，會(huì)多出一個(gè)正方形的空隙。那么，這個(gè)空隙是從哪里來(lái)的？

這個(gè)謎題被稱(chēng)為“失蹤的正方形”，它是由美國(guó)業(yè)余魔術(shù)師保羅·嘉理在1953年提出的。謎題的解答很簡(jiǎn)單，但許多人都很難想到。圖中上下兩個(gè)大“三角形”其實(shí)不是真正的三角形，因?yàn)樾边叢皇且粭l直線(xiàn)，而是有一個(gè)小彎折：藍(lán)色三角形斜邊的斜率為0.4，而紅色三角形斜邊的斜率為0.375。這一差別很難被人所察覺(jué)，于是就導(dǎo)致了這個(gè)看似悖論的謎題。

此外，在美國(guó)動(dòng)畫(huà)片《辛普森一家》的某一集中，還出現(xiàn)了一個(gè)令許多人大吃一驚的等式：398712+436512=447212。這似乎直接否定了費(fèi)馬大定理，即當(dāng)n大于2時(shí)，xn+ yn= zn的方程是沒(méi)有整數(shù)解的。如果你把這些數(shù)字輸入一個(gè)袖珍計(jì)算器里，你會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)等式似乎是成立的。但如果你有能顯示更多位數(shù)的計(jì)算器，你會(huì)發(fā)現(xiàn)398712+436512開(kāi)12次方的結(jié)果為4472.0000000070592907…，而不是4472。雖然差值竟然小于1億分之一，但等式其實(shí)并不成立，所以費(fèi)馬可以安心了。

就差一點(diǎn)也有用

在日常生活中最有用的一個(gè)差點(diǎn)就對(duì)的數(shù)學(xué)，就是27/12的結(jié)果是1.498307…（就是27開(kāi)12次方）幾乎等于1.5。這是西方音樂(lè)的十二平均律的基礎(chǔ)，也是鋼琴在每一個(gè)純八度音程有12個(gè)鍵的原因。

音程就是兩個(gè)單音之間的頻率高低關(guān)系。比如純八度音程和純五度音程——頻率比為2∶1的兩個(gè)單音之間的音程被稱(chēng)為純八度音程，頻率比為3∶2的被稱(chēng)為純五度音程。

在音樂(lè)的發(fā)展過(guò)程中，音樂(lè)家們希望有一套標(biāo)準(zhǔn)，能產(chǎn)生出一組單音序列，而且相鄰兩個(gè)單音的音程得是等比的，這樣就方便調(diào)試各種樂(lè)器。如果該標(biāo)準(zhǔn)產(chǎn)生的單音，還能組成純八度音程、純五度音程等各種常見(jiàn)音程，那將是一個(gè)很完美的事情。那么怎么能“包羅萬(wàn)象”呢？后來(lái)，音樂(lè)家們提出了一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，將八度的音程按頻率等比例地分成十二等份，每一等份稱(chēng)為一個(gè)半音即小二度。一個(gè)大二度則是兩等份。每?jī)蓚€(gè)相鄰的單音之間的頻率比為21/12。這種產(chǎn)生一組單音的辦法就是十二平均律。

十二平均律產(chǎn)生的一組單音中，每個(gè)單音后的第7個(gè)單音，與原來(lái)的單音的頻率比則是27/12，約為1.498307，大致與3/2相等，這兩個(gè)單音的音程就是一個(gè)純五度音程。于是，這種“差點(diǎn)就對(duì)”使得十二平均律產(chǎn)生的單音，除了能組成純八度音程以外，還能近似地組成純五度音程。其他類(lèi)似的“差點(diǎn)就對(duì)”，還能讓十二平均律產(chǎn)生的單音大致組成純四度、大三度等音程。于是，現(xiàn)代樂(lè)器的制造，都采用十二平均律來(lái)確定單音。

另一些差點(diǎn)就對(duì)的數(shù)學(xué)，卻能給數(shù)學(xué)本身帶來(lái)重大的影響。例如，拉馬努金常數(shù)，約等于262537412640768743.99999999999925，非常接近整數(shù)。按理說(shuō)，e、π和都是無(wú)理數(shù)，它們組合在一起竟然非常接近一個(gè)整數(shù)，這是一件非常神奇的事情。數(shù)學(xué)家認(rèn)為，這不是什么巧合，而是某種更深一層的數(shù)學(xué)規(guī)律導(dǎo)致的。具體的原因解釋起來(lái)比較復(fù)雜，但可以透露的一點(diǎn)是，該問(wèn)題與數(shù)字163有關(guān)。此外，這個(gè)問(wèn)題引發(fā)的聯(lián)系與怪獸月光理論（見(jiàn)“拓展閱讀”）很類(lèi)似。

總之，真實(shí)世界往往是不完美的，然而差點(diǎn)就對(duì)的數(shù)學(xué)卻能給現(xiàn)實(shí)帶來(lái)一些近似的完美。就像生物學(xué)家發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新物種一樣，許多數(shù)學(xué)家開(kāi)始對(duì)這種數(shù)學(xué)產(chǎn)生了極大地興趣。對(duì)它們的進(jìn)一步研究，肯定還能帶來(lái)更多意想不到的發(fā)現(xiàn)。