張辰銳 王劍書 雷 濤

1(呂梁學(xué)院物理系 山西 呂梁 033000) 2(西北工業(yè)大學(xué)電子信息工程學(xué)院 陜西 西安 710129) 3(陜西科技大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院 陜西 西安710021) 4(蘭州交通大學(xué)電子與信息工程學(xué)院 甘肅 蘭州 730070)

0 引 言

波達(dá)方向估計(jì)(DOA)是陣列信號處理的一項(xiàng)重要課題，并且廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、聲吶和通信等領(lǐng)域[1-3]。從多重信號分類(MUSIC)算法[4]提出開始，國內(nèi)外學(xué)者對平穩(wěn)信號的子空間高分辨DOA算法進(jìn)行了深入的研究。本文的興趣在于準(zhǔn)平穩(wěn)信號QSS(Quasi-stationary signals)的DOA估計(jì)算法研究。準(zhǔn)平穩(wěn)信號是統(tǒng)計(jì)量在一定短時(shí)間內(nèi)保持不變但會隨著時(shí)間片段變化的一類信號[5]，例如:語音、音樂和一些機(jī)械信號通常被認(rèn)為是準(zhǔn)平穩(wěn)信號。機(jī)場鳥聲監(jiān)測，麥克風(fēng)陣列和地面聲目標(biāo)監(jiān)測等環(huán)境都有QSS的DOA估計(jì)的實(shí)際應(yīng)用，從而受到廣大學(xué)者的重視。

2010年，Ma等[5]提出一種針對QSS的Khatri-Rao(KR)子空間的方法，該方法利用QSS信號的短時(shí)平穩(wěn)的特點(diǎn)，構(gòu)造了新的數(shù)據(jù)模型，獲得了比普通MUSIC算法更高的角度分辨率。方法中提出的協(xié)陣列(co-array)的概念、對于非均勻線陣nested array[6-7]、co-preme array[8-9]等以及基于高階累積量(HOC)的DOA估計(jì)[7]都具有重要的意義。然而，當(dāng)信號源相干時(shí)，源信號的協(xié)方差矩陣不再為對角矩陣，KR子空間模型的構(gòu)造將失效。對于相干源的DOA估計(jì)問題，前人也進(jìn)行了深入的研究。20世紀(jì)80年代，Shan等[10]提出了空間平滑(SS)方法，通過縮小均勻線陣有效陣列孔徑，解決了相干源導(dǎo)致的協(xié)方差矩陣秩缺失的問題。前后向空間平滑(FBSS)的發(fā)展擴(kuò)大了SS方法的陣列孔徑，提升了自由度[11-12]。2005年，Han等[13]提出一種通過構(gòu)造Toeplitz矩陣并利用類旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)(ESPIRIT)的方法求解的DOA估計(jì)方法。2007年，Ye等[14]對此進(jìn)行改進(jìn)，重新構(gòu)造了矩陣模型，提升了自由度。2010年，Choi[15]通過特征向量方法(EVM)和相關(guān)向量方法(CVM)分別構(gòu)造前向后向向量，并使用類ESPIRIT方法求解DOA，其中EVM方法在全相干源環(huán)境下具有很好的效果。上述相干源DOA估計(jì)方法一般假設(shè)源信號為平穩(wěn)信號，噪聲為不相關(guān)的高斯白噪聲，實(shí)際環(huán)境中，噪聲可能包含部分干擾源信號，可能具有一定的相關(guān)性，這將導(dǎo)致上述相干源DOA估計(jì)算法的性能下降。

本文針對準(zhǔn)平穩(wěn)相干源和相關(guān)噪聲的環(huán)境，提出一種基于KR子空間和前后向空間平滑(FBSS)的DOA估計(jì)方法。該方法首先利用接收信號各幀的協(xié)方差矩陣構(gòu)造Toeplitz矩陣，然后將這些矩陣?yán)肒R子空間方法構(gòu)造一個(gè)新的模型，最后利用FBSS方法進(jìn)行DOA估計(jì)。同時(shí)，該方法將非相干子空間處理(ISSM)方法[15]進(jìn)行了擴(kuò)展，可進(jìn)行寬帶陣列信號模型的準(zhǔn)平穩(wěn)相干信號的DOA估計(jì)。仿真實(shí)驗(yàn)表明，本文方法具有較高的檢測概率和較低的均方根誤差(RMSE)，同時(shí)也驗(yàn)證了本文方法對于寬帶陣列信號模型的有效性。

1 窄帶陣列信號模型

考慮由2N+1個(gè)各向同性的陣元組成的均勻線陣，其陣元位置記為-N,-N+1,…,0,…，N。假設(shè)存在K個(gè)遠(yuǎn)場窄帶信號源入射到上述陣列，源信號記為s(t)=[s1(t),s2(t),…,sK(t)]T，陣元接收到的信號記為x(t)=[x-N(t),x-N+1(t),…,xN(t)]T，陣元接收的噪聲為v(t)=[v-N(t),v-N+1(t)，…,vN(t)]T，則接收信號模型為：

x(t)=As(t)+v(t)

(1)

式中:A=[a(θ1),a(θ2),…,a(θK)]為陣列流型矩陣，a(θk)=[e-j2π(-N)d sinθk/λ,e-j2π(-N+1)d sinθk/λ,…,e-j2πNd sinθk/λ]T,θk為第k個(gè)信號的來向，λ為源信號的波長，d為均勻線陣的陣元間距，且等于源信號的半波長。

這里對源信號與噪聲作如下假設(shè)：

1) 假設(shè)源信號的數(shù)目已知，且每個(gè)信號的來向不一樣。

2) 假設(shè)源信號為準(zhǔn)平穩(wěn)信號，且各個(gè)源信號之間可能相干。

3) 假設(shè)噪聲信號為平穩(wěn)信號，與各個(gè)源信號不相關(guān)，但各陣元接收的噪聲信號可能具有相關(guān)性。

由于源信號為準(zhǔn)平穩(wěn)信號且相干，噪聲相關(guān)，傳統(tǒng)的相干源DOA估計(jì)算法的性能可能會下降甚至失效。

2 算法描述

2.1 幀內(nèi)處理

對接收信號x(t)按采樣后的數(shù)據(jù)長度L進(jìn)行分幀，認(rèn)為幀內(nèi)信號為平穩(wěn)信號，則第m幀的信號的協(xié)方差矩陣為：

Rx,m=E{xm(t)xm(t)H}=ARs,mAH+C

(2)

式中：Rs,m為第m幀內(nèi)源信號的協(xié)方差矩陣，C為噪聲信號的協(xié)方差矩陣。使用Rx,m的第n行元素構(gòu)造Toeplitz矩陣：

(3)

式中：n=-N,-N+1,…,N，則上式可以寫為：

Wn,m=ArDn,mArH+Cn

(4)

式中：Ar=[ar(θ1),ar(θ2),…,ar(θK)]為陣元0,1，…,N組成的子陣列流型，ar(θk) = [1,e-j2πd sinθk/λ,e-j2πNd sinθk/λ]T，Dn,m為矩陣ARs,m的第n行元素構(gòu)成的對角矩陣，Cn如下：

(5)

式中：C(n1,n2)為C在(n1,n2)位置的元素，n1,n2=-N,-N+1,…,N。

將協(xié)方差矩陣各行構(gòu)造的Toeplitz矩陣?yán)奂悠饋?，?gòu)造成新的Toeplitz矩陣：

(6)

2.2 DOA估計(jì)

通過KR子空間和FBSS方法進(jìn)行DOA估計(jì)。首先對Wm向量化：

ym

(7)

式中：vec(·)為按列向量化運(yùn)算，⊙為KR乘積[5]運(yùn)算，dm=diag(Dm)。令Y[y1,y2,…,yM]，則：

(8)

式中：Ψ=[d1,d2,…,dM]，1M=[1,…,1]T∈M。

對于準(zhǔn)平穩(wěn)信號，一個(gè)普遍合理的假設(shè)：矩陣[Ψ,1M]∈M×(K+1)是列滿秩的[5]。

(9)

令Φ則：

Z=BΦ

(10)

式(10)與信號模型式(1)有類似的結(jié)構(gòu)，將Φ的每一行視作一路源信號，將B視作陣列流型，則Z為該陣列流型下的接收信號。式(10)通過計(jì)算消除了噪聲項(xiàng)，所以該模型不僅能處理不相關(guān)的高斯白噪聲，而且對未知的相關(guān)噪聲也具有很好的抑制效果。由于B其行有冗余，則Z的行也有冗余。消除Z中重復(fù)的行，并將各行按陣列流型A排列可以得到：

(11)

式中:E=diag[e-j2πd sinθ1/λ,e-j2πd sinθ2/λ,…,e-j2πd sinθK/λ]。則有：

(12)

3 寬帶陣列信號模型處理

準(zhǔn)平穩(wěn)信號在現(xiàn)實(shí)中多為寬帶信號，這里提出寬帶陣列信號模型的DOA方法。第n個(gè)陣元接收的信號用各個(gè)源信號的時(shí)延混合表示：

t=0,1,2,…

(13)

(14)

式中：NSTFT為短時(shí)傅里葉變換的窗口長度，f∈[-1/2,1/2]為歸一化頻率。對xn(t)進(jìn)行STFT，并令

(15)

(16)

式中：f1和f2分別為處理的最小歸一化頻率和最大歸一化頻率。搜索空間譜函數(shù)式(15)譜峰位置則可得寬帶源信號的來向。

4 仿真分析

4.1 窄帶陣列信號模型實(shí)驗(yàn)

使用檢測概率和均方根誤差(RMSE)來對算法進(jìn)行評價(jià)。定義DOA的“正確檢測”：一次實(shí)驗(yàn)中檢測到的所有的DOA值分別與其對應(yīng)的真實(shí)DOA值誤差不超過2°。檢測概率定義為：蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)中正確檢測的實(shí)驗(yàn)次數(shù)與總實(shí)驗(yàn)次數(shù)的比值。RMSE定義為蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)中正確檢測實(shí)驗(yàn)的DOA估計(jì)的均方根誤差：

(17)

實(shí)驗(yàn)一：信噪比(SNR)與噪聲相關(guān)系數(shù)對算法的影響。使用9元均勻線陣，N=4，源信號使用準(zhǔn)平穩(wěn)的拉普拉斯分布的信號，來向分別為-40°、-20°、0°、15°、30°、50°。各陣元添加的噪聲為具有相關(guān)性的高斯白噪聲。源信號每一幀長度為150，幀數(shù)為150，前5個(gè)源信號互為相干信號，第6個(gè)信號為獨(dú)立信號。對于各信噪比與噪聲相關(guān)系數(shù)分別進(jìn)行500次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)，本文方法(記為KR-FBSS)與FBSS方法、改進(jìn)的Toeplitz結(jié)構(gòu)方法[13](記為TBD)、EVM和CVM方法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖1所示。從圖1可以看出，在各組相關(guān)噪聲條件下，本文方法具有最好的檢測概率，隨著噪聲相關(guān)系數(shù)增加，對比方法的檢測概率下降較明顯，而本文方法檢測概率下降并不大。

(a) 噪聲相關(guān)系數(shù)0.01

(b) 噪聲相關(guān)系數(shù)0.05

(c) 噪聲相關(guān)系數(shù)0.1

(d) 噪聲相關(guān)系數(shù)0.2 圖1 不同信噪比和噪聲相關(guān)系數(shù)下檢測概率

實(shí)驗(yàn)二：相近的DOA值的估計(jì)性能。與實(shí)驗(yàn)一使用一樣的陣列結(jié)構(gòu)，使用兩個(gè)相干的準(zhǔn)平穩(wěn)拉普拉斯分布的信號源，幀數(shù)和幀長度均為150，來向分別為3.2°和8.6°。各陣元添加噪聲為相關(guān)的高斯白噪聲，相關(guān)系數(shù)為0.1。在各信噪比條件下分別進(jìn)行500次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2所示?？梢钥闯?，本文算法具有更高的檢測概率和更好的RMSE表現(xiàn)。

(a) 不同SNR下的檢測概率

(b) 不同SNR下的RMSE 圖2 相近的DOA值估計(jì)性能

實(shí)驗(yàn)三：分幀長度與幀數(shù)對DOA估計(jì)的影響。與實(shí)驗(yàn)二使用一樣的陣列結(jié)構(gòu)和源信號，在各陣元添加相關(guān)系數(shù)0.1的高斯白噪聲噪聲，SNR為6 dB，在不同相關(guān)系數(shù)和不同幀長度與不同幀數(shù)條件下分別進(jìn)行500次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3所示?？梢钥闯?，隨著幀長度和幀數(shù)增加，RMSE更小，為保證RMSE盡量小，幀長度和幀數(shù)目均不宜太小，同時(shí)也可以看出噪聲相關(guān)系數(shù)對本文算法影響較小。

(a) 幀長度變化，幀數(shù)為150

(b) 幀數(shù)變化，幀長度為150 圖3 幀長度和幀數(shù)對RMSE的影響

4.2 寬帶陣列信號模型實(shí)驗(yàn)

陣列與4.1節(jié)一致，使用4路相干的語音信號作為源信號，來向分別為-40°、-20°、0°、30°。源信號采樣頻率為8 000 Hz，各陣元添加信噪比為6 dB的高斯白噪聲，相關(guān)系數(shù)為0.1。對比的方法為相干子空間處理方法[16](CSSM)和文獻(xiàn)[17]的方法(CSSM-PM)。選取的頻率范圍為500～2 000 Hz，并離散為25個(gè)頻帶，兩種方法使用的預(yù)估計(jì)DOA值都采用真實(shí)DOA值，聚焦矩陣的構(gòu)造均使用RSS方法[16]?？臻g譜實(shí)驗(yàn)結(jié)果見圖4，可以看出本文的方法能分辨所有源信號的DOA值，CSSM-PM方法只能勉強(qiáng)分辨源信號的DOA，并且存在偽峰，CSSM方法則不能分辨。其中CSSM-PM方法要求相關(guān)噪聲的協(xié)方差矩陣具有Toeplitz結(jié)構(gòu)，然而這一條件多數(shù)情況下也很難滿足。

圖4 寬帶DOA估計(jì)空間譜

5 結(jié) 語

在準(zhǔn)平穩(wěn)信號源和相關(guān)噪聲環(huán)境下，本文研究了采用Khatri-Rao(KR)子空間和前后向空間平滑理論的波達(dá)方向估計(jì)方法。與常見前后向空間平滑方法及Khatri-Rao子空間等方法相比，具有更高的檢測概率和更低的均方根誤差。同時(shí)，由于實(shí)際環(huán)境中的噪聲可能包含部分干擾源信號，可能具有一定的相關(guān)性。本文算法通過利用KR子空間方法將各幀Toeplitz矩陣組合成新的信號模型，因此對相關(guān)噪聲有較強(qiáng)的適應(yīng)性，比常見相關(guān)算法表現(xiàn)更好，且在噪聲相關(guān)系數(shù)變化下均有接近或較好的性能表現(xiàn)。此外，算法的RMSE分別隨著SNR、幀長度和幀數(shù)的增加而變小，同時(shí)算法對寬帶陣列信號模型也具有一定的有效性。