張美紅，董皓，趙曉龍，劉波，張君安

(西安工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，西安 710021)

1 引言

矩形靜壓推力軸承是根據(jù)氣體潤(rùn)滑技術(shù)開發(fā)的精密機(jī)械元件，加工精度較高[1]。為從理論上分析此類軸承的潤(rùn)滑性能，模擬其下表面微觀輪廓(圖1)是關(guān)鍵性的第1步。

圖1 矩形靜壓推力軸承下表面模型

目前，分形幾何作為一種新的數(shù)學(xué)理論，已被廣泛應(yīng)用于表面微觀形貌的研究[2-3]。文獻(xiàn)[4]基于分形學(xué)中的Weierstrass-Mandelbrot函數(shù)建立了粗糙表面的分形模型，即M-B模型；文獻(xiàn)[5]提出了用于描述自然界隨機(jī)分形的分?jǐn)?shù)布朗模型；文獻(xiàn)[6-7]則基于分形插值理論提出了分形插值曲面模型，利用曲面上的部分信息和特征擬合出曲面的整體形態(tài)。

為模擬矩形靜壓推力軸承下表面的真實(shí)輪廓形貌，結(jié)合軸承表面特征，利用分形插值曲面法對(duì)其表面平面度和粗糙度進(jìn)行綜合分形模擬，為計(jì)算靜壓止推軸承的潤(rùn)滑性能奠定基礎(chǔ)。

2 矩形靜壓推力軸承表面特征

盡管矩形靜壓止推軸承的表面加工精度很高，但從微觀角度，其表面形貌仍然由許多凸峰和凹谷組成，相鄰2個(gè)波峰或2個(gè)波谷之間的距離很小，肉眼難以區(qū)分。其中粗糙度輪廓波峰之間的距離通常小于1 mm，表面波紋度的波距通常為1～10 mm，幾何形狀輪廓(平面度誤差)的波距通常大于10 mm，且三者總是同時(shí)存在同一個(gè)表面。另外，矩形靜壓推力軸承表面多采用研磨的加工方式，研磨過程中會(huì)不同程度地出現(xiàn)邊緣塌邊現(xiàn)象[8]，從而使平面度誤差變大。因此，需要模擬一個(gè)同時(shí)具有平面度和粗糙度特征的軸承表面。

表面微觀形貌模擬通常有M-B模型、分?jǐn)?shù)布朗模型以及分形插值模型。用10 mm×10 mm作為采樣區(qū)域，采樣間距為0.1 mm時(shí)，通過M-B模型、分?jǐn)?shù)布朗模型所形成的表面輪廓如圖2所示。從圖中可以看出，對(duì)于這2種模型，參數(shù)一旦確定，表面形貌也唯一確定，且都表征的是表面粗糙度。分形插值模型則是利用曲面上的部分信息擬合出曲面的整體形貌，因此原始曲面形貌的變化會(huì)導(dǎo)致分形插值后曲面的幾何形狀也發(fā)生變化，且壓縮比的變化也會(huì)導(dǎo)致表面粗糙度的變化?；谕辉记?，選取不同的壓縮比α?xí)r得到的具有不同維數(shù)的粗糙表面形貌如圖3所示。

圖2 表面輪廓的模擬

因此，結(jié)合軸承表面特征及3種模型所模擬表面形貌的相互比較，選定分形插值模型來模擬矩形靜壓推力軸承下表面的微觀形貌。

3 矩形靜壓推力軸承表面模擬實(shí)例

3.1 原始曲面的建立

將軸承下表面平面度測(cè)量數(shù)據(jù)作為插值前的原始數(shù)據(jù)。傳統(tǒng)的平面測(cè)量為消除塌邊情形對(duì)結(jié)果的影響，在測(cè)量400 mm×400 mm的表面平面度時(shí)會(huì)在上下左右邊緣各留5 mm，共測(cè)25個(gè)點(diǎn)。為模擬塌邊情形，在傳統(tǒng)測(cè)量數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上另外測(cè)量了軸承表面邊緣的多組數(shù)據(jù)，結(jié)果見表1。基于表1中數(shù)據(jù)，需要進(jìn)行插值的矩形靜壓推力軸承原始曲面如圖4所示，很明顯可以看出軸承表面邊緣有塌邊現(xiàn)象。

圖4 矩形靜壓推力軸承原始曲面

表1 矩形靜壓推力軸承下表面平面度測(cè)量數(shù)據(jù)

3.2 表面形貌的分區(qū)域插值模擬

如果將原始曲面進(jìn)行整體分形插值，由于分形理論中自相似性特征的存在，分形插值后的表面形貌中間部分也會(huì)出現(xiàn)塌邊情形，與實(shí)際情況不符。因此采用分區(qū)域插值，即將原始曲面分為如圖5所示的9個(gè)區(qū)域，分別為中間部分、4個(gè)邊緣以及4個(gè)邊角，各區(qū)域的原始曲面如圖6所示。

圖5 矩形靜壓推力軸承下表面的區(qū)域劃分

圖6 各區(qū)域的原始曲面

基于分形插值曲面數(shù)學(xué)理論，運(yùn)用MATLAB將9個(gè)區(qū)域同時(shí)進(jìn)行插值繪制出第1次插值后的曲面如圖7所示。

對(duì)于同一組插值數(shù)據(jù)，選取不同的垂直因子α值(壓縮比)，就可得到具有不同分形維數(shù)的粗糙表面。從圖7可以看出：垂直因子越小，平面度特征越明顯；垂直因子越大，表面越粗糙，隨著垂直因子的增大，粗糙度特征越來越明顯。

在第1次插值的基礎(chǔ)上，反復(fù)迭代從而得到不同程度的靜壓推力軸承分形插值曲面，垂直比例因子α=0.3時(shí)第2次及第3次插值所生成的曲面如圖8所示。

從圖7b和圖8可以看出，當(dāng)垂直因子一定時(shí)，隨著插值次數(shù)的增大，粗糙度特征越來越明顯。且平面度(幾何形狀)特征和粗糙度特征可以同時(shí)顯現(xiàn)出來，完成了對(duì)靜壓推力軸承表面粗糙度和平面度的綜合模擬。

圖7 第1次插值后軸承下表面輪廓形貌

圖8 軸承下表面分形插值曲面(α=0.3)

為驗(yàn)證該方法對(duì)矩形靜壓推力軸承表面邊緣塌邊情形的模擬是否符合實(shí)際情況，與利用電子水平儀[9]得到的軸承下表面平面度檢測(cè)結(jié)果(圖9)進(jìn)行了對(duì)比。從圖中可以看出，軸承邊緣確實(shí)出現(xiàn)塌邊情形，說明結(jié)合平面度測(cè)量數(shù)據(jù)將原始數(shù)據(jù)進(jìn)行分區(qū)域插值模擬出的邊緣塌邊符合真實(shí)情況。

圖9 軸承下表面平面度仿真圖

4 結(jié)束語(yǔ)

基于分形幾何學(xué)，結(jié)合矩形靜壓推力軸承的表面特征，選取分形理論中的分形插值模型對(duì)軸承下表面的微觀形貌進(jìn)行了數(shù)值模擬，研究發(fā)現(xiàn)：

1)利用分形插值模型模擬出的軸承下表面形貌能夠同時(shí)反映出平面度及粗糙度特征。

2)將原始曲面數(shù)據(jù)進(jìn)行分區(qū)域插值模擬可以避免軸承表面中間部分出現(xiàn)塌邊的情形，模擬結(jié)果接近軸承表面真實(shí)形貌。