，，*，，，

1. 中國空間技術研究院 西安分院，西安 710100 2. 燕山大學 機械工程學院，秦皇島 066004

構架式可展開天線是一種由多基本單元組合而成的大型桁架結構，具有收納比高、精度高、結構穩(wěn)定性好等特點[1]。構架式天線按基本單元形狀分為平面構架天線和空間構架天線，如三角形平面單元[2]和四面體單元[3-4]、四棱錐單元[5]、六棱臺單元[6]等。根據(jù)基本單元的尺寸大小和單元間連接形式可構造不同桁架結構系統(tǒng)，滿足不同天線反射面的設計要求。目前已有多個大型的構架式可展開天線成功應用于俄羅斯“自然號”、“聯(lián)盟號”飛船、“資源”系列衛(wèi)星及“和平號”空間站等多個航天任務中。大部分天線都是針對四面體為基本組成單元進行研制，如General Dynamics Corporation(GDC)研制的5.2m構架式天線[7]，Johnson Space Center(JSC)研制出的口徑7m的構架式可展天線并成功應用在“Kondor”航天器上[8]。

四面體單元構架可展開天線表現(xiàn)出多環(huán)耦合、模塊化、大尺度柔性等特征，啟發(fā)了關于構架可展開天線在構型結構設計、力學分析等領域的研究與深入發(fā)展。文獻[9]對構架幾何進行了分析，特別是對各鉸鏈進行了設計，滿足多桿在花盤位置的運動。文獻[10]描述了構架式天線四面體單元在節(jié)點處有3根腹桿和6根同步桿，腹桿和同步桿節(jié)點處有滑塊驅動并同步運動，彈簧提供驅動力，驅動位置設有阻尼器。文獻[11]基于拉格朗日等式，考慮了空間構架式反射器展開數(shù)學模型，估計反射器中桿件的載荷受力。由于數(shù)學模型對運動特征考慮不全面，嘗試建立起展開物理模型，在尺寸分析和物理狀態(tài)等前提下，以獲得相同參數(shù)為基礎，可識別出描述天線展開的主要參數(shù)。文獻[12]介紹了天線反射器的結構總體方案和關鍵部件的結構設計，同時對反射器的形面精度、熱變形及剛度等指標進行了分析計算，驗證了此四面體可展開天線可以滿足衛(wèi)星對天線的系統(tǒng)指標要求。文獻[13]對SAR衛(wèi)星構架可展開天線進行了模態(tài)分析，為驅動的參數(shù)提供了設計依據(jù)。文獻[14]闡述了四面體單元構架式天線總體、結構和電氣方面的研究設計，并從力學和熱變形角度進行了實際工況分析。

上述文獻對構架式可展開天線的整體結構及剛體動力學進行了詳細的分析，但對天線機構構型綜合研究較少。且四面體單元構架式天線桿件及花盤等構件眾多，導致天線展開時運動協(xié)調性得不到保證。為保證天線展開時各部件協(xié)調動作，避免出現(xiàn)展開不完全的現(xiàn)象，需對天線基本單元在展開過程中的自由度和奇異性進行分析，構建花盤姿態(tài)運動的特點，對提高大型可展天線這一典型關鍵載荷產品的可靠性，開展大型可展天線構型的研究具有重要的理論基礎和工程價值。

1 構架式天線構型分析

構架式天線屬于大型空間可展機構，由若干四面體單元構成，如圖1所示。在連續(xù)展開過程中，其四面體單元屬于變胞機構，其特點為自由度和拓撲結構可變且能根據(jù)不同工作任務改變約束特征，但構型綜合難度較大。根據(jù)變胞機構的這些特點使得對構架式天線的結構分析和設計中存在一定的困難。四面體變胞單元為多環(huán)機構，且具有高度耦合性，為保證航天機構工作可靠性，通常桿件以轉動副R連接。以構型為3RR-3RRR的四面體單元為研究對象，構件與構件之間連接方式由轉動鉸鏈相連，如圖2所示。構架式天線零部件多，運動較為復雜，并且現(xiàn)有的四面體單元構架式天線在展開到工作位置時具有很大的瞬時沖擊。為分析構架式天線各部件運動的協(xié)調性，可根據(jù)螺旋理論能同時表示運動副軸線的位置和運動副類型的特點[15-16]，采用螺旋理論對構架式天線進行自由度研究，分析四面體單元的奇異性及組網后的運動學特性，保證構架式天線展開協(xié)調。

圖1 四面體單元構架式天線Fig.1 A truss antenna composed by tetrahedral elements

圖2 3RR-3RRR單元及花盤結構Fig.2 3RR-3RRR element and disk structure

四面體單元的閉環(huán)數(shù)為[17]：

l=g-n+1=15-13+1=3

(1)

式中：l為獨立閉環(huán)數(shù)目；g為運動副數(shù)目；n為桿件數(shù)目。

為計算簡便，將具有3個閉環(huán)數(shù)的四面體單元拆分為二閉環(huán)機構和兩桿件機構，如圖3所示。2閉環(huán)機構的兩點A、C的運動確定時，兩桿件上相對應的兩端點運動也確定[18]。因此，在分析二閉環(huán)機構的基礎上可知3RR-3RRR單元的運動特性。

圖3 四面體單元拆分Fig.3 Decomposition of the tetrahedron

2 構架式天線單元自由度分析

2.1 單閉環(huán)機構的自由度

對3RR-3RRR機構最基本的認識是自由度及其奇異特性，但由于過約束的存在，使自由度計算成為一個難點。首先考慮獨立的單閉環(huán)機構的自由度，如圖4所示。花盤O在平面ABC上的投影為原點P，原點P到直線AB的垂線為x軸，平面ABC的法線方向為z軸，以右手定則確立y軸建立坐標系。

圖4 單閉環(huán)機構Fig.4 Single closed-loop mechanism

(2)

式中：(xiyizi)、(xjyj0)、(xkyk0)、(xm0zm)、(xk-yk0)、(xj-yj0)、(xi-yizi)分別為鉸鏈S1～S7中心位置的坐標。

根據(jù)螺旋理論[17，19]，約束螺旋與運動螺旋的互易積為0，即

$°$r=0

(3)

式中：$為運動螺旋；$r為約束螺旋；“°”代表兩旋量的互易積符號。

當構架式天線轉動副軸線S3、S4、S5不平行于ABC平面，此時b≠0，由式(2)與式(3)可求得此單閉環(huán)機構的約束螺旋$r=(0 0 0;0 0 0)，可知此單閉環(huán)單元無公共約束，則單閉環(huán)單元的公共約束數(shù)為λ=0，單閉環(huán)單元的階數(shù)d=6-λ=6。此時，單閉環(huán)單元的自由度為[17]：

M=n-dl=7-6×1=1

(4)

式中：M為機構自由度數(shù)；d為單元階數(shù)。

2.2 二閉環(huán)機構的自由度及過約束分析

再次分析整個二閉環(huán)機構，二閉環(huán)機構可視為并聯(lián)機構，由3條支鏈Z1、Z2、Z3組成，如圖5所示。支鏈Z1由鉸鏈1～5及其鉸鏈之間的桿組成，支鏈Z2由鉸鏈6～7及其桿件組成，支鏈Z3由鉸鏈8～12及其桿件組成。將花盤O作為靜平臺，花盤B作為動平臺。支鏈Z1的運動螺旋系為：

(5)

支鏈Z2的運動螺旋系為：

(6)

支鏈Z3的運動螺旋系為：

(7)

其中支鏈Z1和支鏈Z2的運動螺旋在第2.1節(jié)已求出。

圖5 二閉環(huán)機構Fig.5 Two closed-loops mechanism

由式(3)可知，支鏈Z1的約束螺旋為：

(8)

支鏈Z2的約束螺旋為：

(9)

(10)

因此二閉環(huán)機構受到6個約束旋量，且沒有公共約束λ=0，則階數(shù)與單閉環(huán)單元一樣d=6-λ=6。二閉環(huán)單元受到4個約束力偶和2個約束力，其中4個約束力偶的最大無關數(shù)為3[20]，則動平臺B受到5個線性不相關的約束，因此二閉環(huán)機構約束螺旋是五系螺旋結構即k=5，且含有過約束。過約束個數(shù)為[7]：

(11)

式中：qi為第i支鏈約束螺旋的數(shù)目；λ為公共約束數(shù)目；p為支鏈數(shù)目。

由修正的Kutzbach-Grübler[17]公式可得到二閉環(huán)機構的自由度為：

6×(11-12-1)+12+1-0=1

(12)

式中：fi為第i個運動副的相對自由度數(shù)；ν為多環(huán)并聯(lián)機構在去除公共約束的因素后的過約束的數(shù)目；ζ為機構中存在的局部自由度。

二閉環(huán)單元的自由度為1，則此四面體單元的自由度也為1。將式(8)、式(9)、式(10)代入式(2)中，再次求約束螺旋的反螺旋，可得到運動平臺B的運動螺旋為：

(13)

通過上述分析，二閉環(huán)機構含有1個過約束，且此過約束為約束力偶。兩桿件有3個轉動副即含有3個運動螺旋且對機構運動無影響，對照二閉環(huán)中的旋量$3、$4、$5，兩桿件的3個運動螺旋獨立，因此兩桿件含有3個約束螺旋即含有3個過約束，則四面體單元為4過約束機構。

3 四面體單元的奇異分析

3.1 特殊位形下的奇異特性

在設計構架可展開天線各部件結構時，應分析出3RR-3RRR單元的奇異性，可避免奇異特性導致的收展不協(xié)調性。對四面體單元進行約束奇異分析時，基于螺旋理論判定線矢量不同幾何空間的線性相關性來分析四面體單元的奇異性[21]。

(14)

5×(11-12-1)+12+0-0=2

(15)

此位形下自由度與第2.2節(jié)中b≠0時相比多了1個自由度，這種奇異特性被稱為約束奇異，位形如圖6所示。

圖6 奇異位形Fig.6 Singularity configuration

3.2 自由度瞬時性判別

計算出在b=0位形下有2個自由度后，還須判斷自由度的瞬時性，若為瞬時自由度，則應當舍去。此位形下對式(9)和式(14)求其反螺旋，求得B的運動螺旋為：

(16)

4 多單元組網自由度分析

構架式天線各四面體單元采用共用花盤的方式聯(lián)接在一起，如圖7所示3個單元體兩兩共用一個花盤，把這樣的3個四面體單元所組成的機構稱之為基本組合單元。

圖7 基本組合單元Fig.7 Basic combination unit

在計算多單元自由度時，此組合單元可以形成3個2RR-RRR單閉環(huán)構成的機構，如圖8(a)所示。該機構可看成3個7R單閉環(huán)機構組成，整個機構在收展過程中，僅實現(xiàn)兩相鄰花盤的收縮或遠離移動，并不影響花盤在單元自身的運動約束。由第2.2節(jié)可知單閉環(huán)機構的自由度為1，實現(xiàn)底面兩花盤的相對運動為一維移動，因此可將3個單閉環(huán)機構等效為3個P副平面閉環(huán)機構，如圖8(b)所示。

圖8 機構等效Fig.8 Equivalent mechanisms

該機構也可看成一個兩支鏈并聯(lián)機構，把花盤3看成定平臺，花盤1看成動平臺，則兩支鏈分別為包含移動副的P1和P2P3支鏈。在花盤3中心建立參考坐標3-xy，則P1支鏈的約束螺旋為：

(17)

P2P3支鏈的約束螺旋為：

(18)

由此可知該等效機構含公共約束為：

(19)

則λ=1，由于是平面機構，d=3-λ=2，由式(4)可知3P副機構的自由度為1。對上述支鏈的約束螺旋求反螺旋可得花盤1的運動螺旋為：

(20)

因此，基本組合單元的自由度為1，且花盤1和花盤3能夠沿著固定方向相對運動，實現(xiàn)展開收攏運動。

當天線在收展時，3個上花盤節(jié)點D、E、F在運動過程中各節(jié)點沿著兩節(jié)點方向相對移動，但不穩(wěn)定。在桁架結構中，應盡可能地避免局部模態(tài)，考慮到多層的桁架機構具有更好的結構剛度，要使機構的每一個閉環(huán)都是封閉的，這樣才能形成一個穩(wěn)定的結構體。而連接支鏈一般采用構型為SRS支鏈、SPS支鏈、SRU支鏈或UPS支鏈，為使結構簡單和對稱，選擇SRS支鏈為上花盤聯(lián)接的約束支鏈，構型為3(3RR-3RRR)-3SRS，如圖9所示。此時SRS支鏈還有6個自由度，相當于虛約束不會對原來的基本組合單元運動產生影響，使收展運動協(xié)調。綜上可知，由3RR-3RRR四面體組成的構架式可展開天線的自由度為1。

圖9 3(3RR-3RRR)-3SRS機構Fig.9 3(3RR-3RRR)-3SRS mechanism

5 多單元花盤間距變化

為更好研究構架式天線的展開特性，驗證由3RR-3RRR單元組成的構架式天線為單自由度天線和運動協(xié)調性，可對基本組合單元進行運動學分析。因為上花盤連接支鏈為6自由度支鏈，不影響機構的運動，在分析時上花盤支鏈同樣可省略。將天線中的花盤簡化成一個具有姿態(tài)的剛性點構件進行分析，如圖10所示。3個收攏單元的3個底面分別繞三角形UVW的邊UV、VW和UW偏轉β，令底花盤V固定，在V點建立參考坐標系V-xyz，輸入為同步兩連桿的轉角大小θ。

圖10 收展機構運動學分析簡圖Fig.10 Kinematics analysis of combination unit

L、M和N的位置矢量分別為:

(21)

(22)

(23)

進一步可得出特征單元的L、M、N3個外側節(jié)點兩兩間的相對距離變化，如圖11所示。

圖11 L、M、N3個外側節(jié)點間距變化Fig.11 Three outer nodes L，M，N spacing

由于仿真模型為根據(jù)布置于球面的等邊三角形而劃分得到的機構，3個外側節(jié)點具有很好的對稱性，由圖11可看出在收攏過程中單元的3個外側節(jié)點L、M、N之間的相對距離曲線重合，并且節(jié)點之間互相靠近收縮，實現(xiàn)了在單輸入驅動下運動輸出構件收攏的期望運動，并驗證了由3RR-3RRR單元組成的構架式天線在收展過程中運動的協(xié)調性。

6 結束語

本文基于螺旋理論對組成構架式可展開天線的3RR-3RRR四面體單元構型綜合，得到了具有收展運動特性的單自由度機構，并可在設計階段指導四面體單元結構的設計，避免奇異性帶來收展不協(xié)調的影響。多單元組網后，反射器桁架系統(tǒng)依然是單自由度結構，可實現(xiàn)對桁架天線的可控展開，并驗證了構架式天線整體在工作時能收攏或完全展開，為其展開控制與展開動力學等后續(xù)研究提供堅實基礎。在工作實踐中，對構架式天線反射器自由度和奇異特性的研究有利于構架式空間可展開天線的結構設計和研究，并且可運用于其他空間可展機構，具有較強的應用性。