范留明, 謝 超, 趙 欽(西安理工大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院, 陜西 西安 710048)

地震是危及人民生命財(cái)產(chǎn)的突發(fā)式自然災(zāi)害,而大量的建筑震害是由于結(jié)構(gòu)物與場(chǎng)地地基的共振或類共振效應(yīng)引起的。當(dāng)建筑結(jié)構(gòu)的自振周期與場(chǎng)地自振周期接近或一致時(shí),兩者構(gòu)成的系統(tǒng)在地震過(guò)程中產(chǎn)生共振作用,使振動(dòng)幅值變大,導(dǎo)致建筑物發(fā)生嚴(yán)重?fù)p壞[1]。由于共振作用而被放大的場(chǎng)地自振周期稱為卓越周期。

為了避免地面建筑物與地基土在地震時(shí)產(chǎn)生共振,需要研究場(chǎng)地自振特性,而準(zhǔn)確估算場(chǎng)地的自振周期是其關(guān)鍵。目前,確定場(chǎng)地自振周期的方法大致分為直接測(cè)定法和波速法兩大類[2-3]。直接測(cè)定法[4-5]是通過(guò)對(duì)強(qiáng)震記錄或地脈動(dòng)記錄進(jìn)行Fourier分析得到自振周期,但這類方法需要良好的強(qiáng)震或震動(dòng)記錄信息,且容易受場(chǎng)地局部條件的限制或人為因素的干擾。在實(shí)際工程中,波速法的應(yīng)用最為廣泛。波速法又可細(xì)分為簡(jiǎn)化法、解析法[6-7]和數(shù)值法[8]三種。通過(guò)對(duì)各種自振周期計(jì)算方法比較發(fā)現(xiàn)[9],雖然這些方法各有優(yōu)勢(shì),但是同時(shí)也存在不足之處,普遍問(wèn)題是方法本身的假設(shè)過(guò)于理想化,對(duì)場(chǎng)地的地層結(jié)構(gòu)、土性特點(diǎn)、土層與基巖的相互作用等問(wèn)題考慮不足。為此,作者提出一種考慮基巖影響的場(chǎng)地自振周期的計(jì)算方法,期望對(duì)解決上述問(wèn)題的研究工作中起到拋磚引玉的作用。

1 場(chǎng)地諧波激勵(lì)譜法

對(duì)給定場(chǎng)地輸入不同周期的簡(jiǎn)諧波,可以計(jì)算得到不同周期簡(jiǎn)諧波作用下場(chǎng)地的最大反應(yīng),場(chǎng)地最大反應(yīng)與相應(yīng)簡(jiǎn)諧波周期所形成的關(guān)系曲線,稱為場(chǎng)地諧波激勵(lì)譜。在諧波激勵(lì)譜中,對(duì)應(yīng)于共振現(xiàn)象的簡(jiǎn)諧周期就是場(chǎng)地自振周期,據(jù)此判斷場(chǎng)地自振周期的方法稱為場(chǎng)地諧波激勵(lì)譜法,其原理主要包括地震反應(yīng)模型建立、地震反應(yīng)計(jì)算和諧波激勵(lì)譜確定三部分內(nèi)容。

1.1 地震反應(yīng)模型建立

在進(jìn)行場(chǎng)地地震反應(yīng)分析時(shí),假定入射波為垂直向上的平面剪切波,將覆蓋土層及下臥基巖視為力學(xué)性質(zhì)沿豎向成層變化、沿橫向均勻無(wú)限延伸的水平成層場(chǎng)地模型,并假定地層是彈性各向同性介質(zhì)材料,從而將場(chǎng)地地震反應(yīng)問(wèn)題歸結(jié)為成層半空間一維波動(dòng)問(wèn)題。

圖1 場(chǎng)地反應(yīng)模型Fig.1 Site response model

圖1是垂直入射剪切波作用下水平地層場(chǎng)地反應(yīng)模型。圖中,ρi,vi,hi(i=1～n)分別表示第i個(gè)土層的密度、速度和厚度,界面0為地面,界面n為覆蓋土層與下臥基巖接觸面,界面1～n為各土層分界面。

1.2 地震反應(yīng)計(jì)算

為了得到各個(gè)不同周期簡(jiǎn)諧波作用下場(chǎng)地的最大反應(yīng),需要得到各個(gè)周期簡(jiǎn)諧波作用下場(chǎng)地的地震反應(yīng),計(jì)算量通常很大。為了減小計(jì)算工作量,提高計(jì)算效率,在實(shí)際計(jì)算中采用了脈沖響應(yīng)方法。按照地震學(xué)原理,場(chǎng)地地震反應(yīng)等于場(chǎng)地脈沖響應(yīng)與入射波的卷積運(yùn)算,其中單位脈沖震源的地震反應(yīng)稱為脈沖響應(yīng)。在計(jì)算場(chǎng)地反應(yīng)時(shí),由于入射波是已知的,因此僅需要計(jì)算場(chǎng)地脈沖響應(yīng)即可,這樣就避免了計(jì)算所有周期諧波的地震反應(yīng),節(jié)約了計(jì)算工作量。場(chǎng)地脈沖響應(yīng)采用界面子波方法[10-11],此方法與傳遞矩陣方法實(shí)質(zhì)上等效。兩者所不同的是,前者是在時(shí)域中計(jì)算,后者則是在頻域中計(jì)算。

圖2 界面子波Fig.2 Secondary wave from interfaces

根據(jù)界面子波方法,各個(gè)界面子波之間存在如下關(guān)系:

(1)

(2)

(3)

式中:ti是地震波在第i層內(nèi)的單程傳播時(shí)間,Ri是地震波從第i層入射到第i+1層的位移反射系數(shù),其表達(dá)式分別為:

ti=hi/vi

(4)

(5)

且有初始條件:

(6)

(7)

1.3 諧波激勵(lì)譜確定

當(dāng)場(chǎng)地脈沖響應(yīng)確定后,就可以通過(guò)卷積運(yùn)算計(jì)算出不同周期簡(jiǎn)諧波作用下的場(chǎng)地諧波激勵(lì)譜,其表達(dá)式為:

umax(T,t)=max|uδ(t)*sin(2πt/T)|

(8)

式(8)的含義是,將不同周期的簡(jiǎn)諧波作為入射地震波,分別與場(chǎng)地脈沖相應(yīng)進(jìn)行卷積運(yùn)算,就可以得到各個(gè)不同周期簡(jiǎn)諧波作用下的場(chǎng)地地震最大反應(yīng)值。

以場(chǎng)地最大反應(yīng)值為縱坐標(biāo),所對(duì)應(yīng)的周期值為橫坐標(biāo),由此繪成的曲線稱為場(chǎng)地諧波激勵(lì)譜。根據(jù)物理學(xué)共振原理,當(dāng)場(chǎng)地自振周期與來(lái)自基巖的地震波周期接近時(shí),將發(fā)生共振現(xiàn)象,因此場(chǎng)地的各階自振周期對(duì)應(yīng)于諧波激勵(lì)譜極大值,據(jù)此選取場(chǎng)地的自振周期。

值得注意的是,地震工程中所提出的地震激勵(lì)譜與本文提出的諧波激勵(lì)譜有所不同。前者僅僅需要輸入一個(gè)地震時(shí)程,反映了具有不同周期的單質(zhì)點(diǎn)體系對(duì)同一次地震作用的最大反應(yīng);后者則需要輸入一系列具有不同周期的簡(jiǎn)諧波,反映了給定的地層結(jié)構(gòu)場(chǎng)地對(duì)不同周期簡(jiǎn)諧波作用的最大反應(yīng)。

2 工程場(chǎng)地算例

2.1 場(chǎng)地地層條件

為了驗(yàn)證上述方法的正確性,對(duì)文獻(xiàn)[6]例1進(jìn)行了計(jì)算。例1中分別包含兩層土和三層土兩個(gè)工程場(chǎng)地,地層條件如圖3所示。場(chǎng)地土厚20 m,共有兩類土,其參數(shù)G1,G2,ρ1,ρ2分別為81.64 MPa,192.9 MPa,2 041 kg/m3和2 143 kg/m3。

圖3 場(chǎng)地實(shí)例[6]Fig.3 Example model[6]

2.2 自振周期計(jì)算

采用場(chǎng)地諧波激勵(lì)譜法分別對(duì)上述兩層土和三層土場(chǎng)地進(jìn)行了計(jì)算。因篇幅所限,本文僅以兩層土場(chǎng)地為例,敘述計(jì)算過(guò)程。需要特別說(shuō)明的是,在計(jì)算過(guò)程中,震源采用單位脈沖函數(shù),據(jù)式(6)按照初值問(wèn)題處理,由此得到的地震脈沖響應(yīng)及其諧波激勵(lì)譜位移量沒(méi)有物理單位,是一個(gè)無(wú)量綱量,反映了不同條件下場(chǎng)地反應(yīng)程度的相對(duì)大小關(guān)系。

1) 輸入地層參數(shù)

根據(jù)場(chǎng)地土層剪切模量和密度,可計(jì)算出土層剪切波速度v1=200 m/s,v2=300 m/s,進(jìn)而得到地震波在土層內(nèi)的傳播時(shí)間t1=0.013 s,t2=0.080 s以及土層界面反射系數(shù)R1=-0.223 3。

假定基巖完全剛性,不考慮基巖與場(chǎng)地土層的相互作用,則基巖與土層接觸面的反射系數(shù)R2=-1.0。

2) 計(jì)算地震脈沖響應(yīng)

取時(shí)間間隔為0.000 1 s、持時(shí)10 s,將上述地層參數(shù)值R1,R2,t1,t2代入式(1)～(7),可計(jì)算得到兩層土場(chǎng)地的單位地震脈沖響應(yīng)uδ(見圖4)。

圖4 兩層土場(chǎng)地的脈沖響應(yīng)Fig.4 Seismic impulse response of double layer soil site

3) 計(jì)算諧波激勵(lì)譜

據(jù)式(8),分別用不同周期正弦波與場(chǎng)地地震脈沖響應(yīng)(見圖4)進(jìn)行卷積運(yùn)算,求取最大反應(yīng)值(絕對(duì)值),可獲得場(chǎng)地諧波激勵(lì)譜。圖5是選取采樣間隔0.001 s、持續(xù)時(shí)間10 s、周期范圍為0.05～0.8 s的若干正弦波計(jì)算得到的激勵(lì)譜。

圖5 兩層土場(chǎng)地的諧波激勵(lì)譜Fig.5 Displacement response spectrum of harmonic waves

3 確定自振周期

圖5中,出現(xiàn)了4條“譜線”,每條“譜線”最大值對(duì)應(yīng)的周期為場(chǎng)地自振周期,前4階的自振周期分別為0.402 s,0.131 s,0.076 s和0.053 s。除基本周期(第1階自振周期,下同)外,其他3階的自振周期與文獻(xiàn)[6]傳遞矩陣法計(jì)算結(jié)果完全一致(見表1)。

表1 二層土場(chǎng)地自振周期Tab.1 Natural period of double layer soil site

圖6是周期等于場(chǎng)地基本周期0.402 s的正弦波與脈沖響應(yīng)(圖4)卷積運(yùn)算的結(jié)果。由圖可見,地震反應(yīng)出現(xiàn)共振現(xiàn)象,其他各階自振周期對(duì)應(yīng)的地震反應(yīng)也出現(xiàn)類似共振現(xiàn)象,表明計(jì)算結(jié)果正確。

圖6 兩層土場(chǎng)地反應(yīng)時(shí)程Fig.6 Time history of double layer soil site response

采用上述諧波激勵(lì)譜方法,對(duì)文獻(xiàn)6例1中的三層土場(chǎng)地也進(jìn)行了計(jì)算,計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)中傳遞矩陣法完全一致(見表2)。

表2 三層土場(chǎng)地自振周期TiTab.2 Natural period of trible layer soil site

4 基巖對(duì)場(chǎng)地自振特性的影響

4.1 基于諧波激勵(lì)譜法的自振周期計(jì)算

事實(shí)上,盡管基巖剪切模量比上覆土層大很多,但是并非完全剛性,顯然|R2|<1.0(R2是基巖與其上覆土層的反射系數(shù))。如果考慮基巖對(duì)自振特性的影響,計(jì)算時(shí)需要對(duì)R2進(jìn)行必要修改。

下面以圖3(a)兩層土場(chǎng)地為例,分別取基巖波阻抗ρrvr=20ρ1v1和ρrvr=10ρ1v1為例,其他參數(shù)不變,應(yīng)用上述諧波激勵(lì)譜法計(jì)算場(chǎng)地的自振周期。據(jù)式(5),當(dāng)ρrvr=20ρ1v1時(shí),R2=-19/21;ρrvr=10ρ1v1時(shí),R2=-9/11。場(chǎng)地激勵(lì)譜計(jì)算結(jié)果如圖7所示,圖8是入射簡(jiǎn)諧波周期等于0.402 s時(shí)場(chǎng)地反應(yīng)時(shí)程。

圖7 考慮基巖影響的諧波激勵(lì)譜Fig.7 Spectrum excited by harmonic waves considering bedrock effect

圖8 考慮基巖影響的場(chǎng)地反應(yīng)時(shí)程Fig.8 Time history of bedrock effect

由圖7可見,圖中也存在4條類似于圖5的“譜線”,對(duì)應(yīng)的場(chǎng)地自振周期與圖5完全相同,分別為0.402 s,0.131 s,0.076 s和0.053 s,說(shuō)明基巖變形性質(zhì)不影響場(chǎng)地自振周期的取值。

由圖8可見,場(chǎng)地反應(yīng)隨時(shí)間變化規(guī)律與圖6“共振”現(xiàn)象明顯不同。場(chǎng)地反應(yīng)值經(jīng)過(guò)一段時(shí)間增大后,逐漸趨于穩(wěn)定,呈現(xiàn)出似平穩(wěn)振動(dòng)特征,沒(méi)有出現(xiàn)隨時(shí)間無(wú)限增大的趨勢(shì)。表明非完全剛性的基巖對(duì)場(chǎng)地反應(yīng)有阻尼作用,由于土層中部分地震能量通過(guò)基巖耗散出去,場(chǎng)地土層不會(huì)發(fā)生物理學(xué)“共振”現(xiàn)象。

4.2 基巖對(duì)場(chǎng)地自振特性的影響分析

1) 基巖對(duì)場(chǎng)地自振強(qiáng)度的影響

對(duì)比圖8(a)和(b)可知,考慮基巖影響時(shí),由于場(chǎng)地反應(yīng)不會(huì)出現(xiàn)隨時(shí)間無(wú)限增大的“共振”現(xiàn)象,場(chǎng)地反應(yīng)值較圖6明顯減小,相當(dāng)于對(duì)場(chǎng)地反應(yīng)起著阻尼作用。隨著|R|越小,這種阻尼效果越明顯,對(duì)實(shí)際工程也越有利。這一特點(diǎn)與圖7(a)和(b)的結(jié)果一致。

2) 基巖對(duì)場(chǎng)地自振周期的影響

與圖5相比,除了激勵(lì)譜大小有所降低外,其形狀也有很大變化,總體上變得寬緩,將尖銳的脈沖形曲線(見圖5)變成相應(yīng)寬緩的多峰形曲線(圖7),由窄小“譜線”變?yōu)橄鄬?duì)寬大的“譜帶”,其中基本周期變化尤為顯著。

為了直觀揭示諧波激勵(lì)譜形狀與|R2|之間的變化關(guān)系,對(duì)圖7(a)與圖7(b)激勵(lì)譜進(jìn)行了歸一化處理,將兩者激勵(lì)譜最大位移值都調(diào)整為1,圖9是對(duì)圖7歸一化處理結(jié)果,其中譜1、譜2分別對(duì)應(yīng)圖7(a)、圖7(b)。由圖可見,曲線譜2較譜1明顯寬緩,表明激勵(lì)譜極大值附近的周期寬度隨|R2|減小而增大。

圖9 歸一化處理后的諧波激勵(lì)譜Fig.9 Normalized spectrum excited by harmonic waves

周期譜的形狀與自振特性密切相關(guān)。自振周期是物體的固有性質(zhì),周期譜則反映了物體的自振隨其周期的變化關(guān)系。為了敘述方便,本文將激勵(lì)譜極大值附近的一定周期范圍定義為自振周期影響帶。顯然,自振周期影響帶越寬,表明能夠使場(chǎng)地產(chǎn)生強(qiáng)烈振動(dòng)的周期范圍也越大,越不利于建筑物避讓場(chǎng)地自振周期。

5 結(jié) 語(yǔ)

將場(chǎng)地基巖視為無(wú)限大半空間彈性體,基于物理學(xué)共振原理,提出了計(jì)算場(chǎng)地自振周期的諧波激勵(lì)譜法,并通過(guò)對(duì)實(shí)際工程場(chǎng)地的自振周期的計(jì)算,驗(yàn)證了該方法的正確性。應(yīng)用這一方法,通過(guò)改變基巖波阻抗參數(shù),計(jì)算了場(chǎng)地自振周期,據(jù)此研究了基巖對(duì)場(chǎng)地自振特性的影響,主要結(jié)論如下:

1) 基巖對(duì)場(chǎng)地反應(yīng)有阻尼作用。

與絕對(duì)剛性基巖不同,彈性基巖通過(guò)與土層之間的相互作用,部分地震能量通過(guò)基巖耗散出去,場(chǎng)地反應(yīng)強(qiáng)度有所減小,不會(huì)發(fā)生物理學(xué)“共振”現(xiàn)象,有利于建筑物抗震。

2) 基巖對(duì)自振周期影響帶有放大作用。

盡管基巖變形性質(zhì)不會(huì)影響場(chǎng)地自振周期的取值,卻增大了其影響帶范圍。如果將基巖視為剛體,則諧波激勵(lì)譜中自振周期影響帶很窄。如果將基巖視為彈性體,則隨著|R2|減小,基巖動(dòng)剪切模量減小,自振周期影響也隨之變寬,且基本周期表現(xiàn)尤其顯著。自振周期影響帶增大,表明能夠使場(chǎng)地產(chǎn)生強(qiáng)烈振動(dòng)的周期范圍增大,不利于建筑物避讓場(chǎng)地自振周期。

另外,雖然本文計(jì)算場(chǎng)地自振周期方法是針對(duì)考慮基巖影響所提出的,但是也可以推廣應(yīng)用于考慮地震阻尼作用的粘彈性地層。