冷麗姣，譚躍剛，李 亮，錢冠杰

（1.武漢理工大學(xué) 機電學(xué)院，湖北 武漢 430070；2.寶雞文理學(xué)院 機械工程學(xué)院，陜西 寶雞 721007）

1 引言

在分析力學(xué)中，非完整系統(tǒng)是指其約束方程中包含有坐標對時間的導(dǎo)數(shù)的系統(tǒng)，即其約束限制系統(tǒng)的速度或加速度[1]。這類非完整機械系統(tǒng)的自由度數(shù)目少于其位形空間維數(shù)，表現(xiàn)出欠驅(qū)動特性，因此可用較少的控制輸入來確定其在較多空間維數(shù)的位形空間內(nèi)的運動。驅(qū)動裝置的減少有利于設(shè)計出結(jié)構(gòu)更緊湊，重量更輕的多關(guān)節(jié)機械臂，因此非完整機械臂的研究對開發(fā)輕小型機器人、醫(yī)療機器人、多指靈巧手等有重要的實際意義。

典型的非完整機器人系統(tǒng)有輪式移動機器人、宇宙機器人、體操機器人、水下機器人等，這些機器人系統(tǒng)具有的非完整性和非線性，確定了其運動控制的特點。現(xiàn)有的非完整機械系統(tǒng)研究主要集中于非完整力學(xué)以及對現(xiàn)有的非完整系統(tǒng)的路徑規(guī)劃和控制，對新型非完整機器人系統(tǒng)的設(shè)計與開發(fā)在國內(nèi)外較為少見。

河村隆基于動物貓在空中下落過程的運動特性分析，提出了一種具有非完整約束性的機器貓[2]，因其模型在空中下落過程中可以保持角動量守恒，從而使得機器貓具有非完整特性。文獻[3]利用摩擦球矢量分解合成機構(gòu)開發(fā)了一類二維空間內(nèi)的非完整機器人，這種機器人模型可以轉(zhuǎn)換成鏈式結(jié)構(gòu)，從而利用鏈式系統(tǒng)的運動控制方法實現(xiàn)對其運動控制。文獻[4-5]中提出了移動機器人路徑規(guī)劃局部最小問題的解決方案；文獻[6]中給出了一種RRT（快速搜索隨機數(shù)算）方法用于解決移動機器人的路徑規(guī)劃問題，并引入目標偏向的思想，克服了以往RRT計算代價較高的問題。

這里是采用摩擦圓盤運動合成分解機構(gòu)作為關(guān)節(jié)傳動部件，并采用雙萬向節(jié)以并鏈方式為各個關(guān)節(jié)傳遞運動，提出了一種僅由兩個控制電機驅(qū)動的并鏈式四關(guān)節(jié)非完整機械臂。該系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡單緊湊，并表現(xiàn)出非完整約束性，為多關(guān)節(jié)機械臂的驅(qū)動單元數(shù)與手臂質(zhì)量相沖突的問題提供了有效的解決方案。通過對其運動學(xué)分析和模型的鏈式變換，給出了非完整性和可控性的證明。在鏈式空間運用多項式輸入法對其進行運動規(guī)劃，得到一條可行路徑軌跡，再通過鏈式逆變換將軌跡映射回關(guān)節(jié)空間，完成關(guān)節(jié)空間內(nèi)從初始位形至目標位形的運動控制。

2 并鏈式非完整機械臂機構(gòu)

2.1 摩擦圓盤運動原理

在下圖1（a）中，當(dāng)半徑為r的摩擦輪繞I軸以角速度wi轉(zhuǎn)動時，摩擦輪與轉(zhuǎn)盤之間只有純滾動，則轉(zhuǎn)盤將以一定的角速度wo繞O軸轉(zhuǎn)動。摩擦輪與轉(zhuǎn)盤相互垂直，在此前提下，摩擦輪還可以繞自身軸心與兩者接觸點M的連線作相對于摩擦盤的旋轉(zhuǎn)。當(dāng)旋轉(zhuǎn)過夾角α?xí)r，兩者在接觸點M處的線速度矢量圖，如圖 1（b）所示。

圖1 摩擦圓盤運動合成分解機構(gòu)Fig.1 Friction Aisc Movement Decomposition Mechanism

則存在下面的關(guān)系式：

可得：

式中：R—摩擦輪與轉(zhuǎn)盤的接觸線M到轉(zhuǎn)盤中心的距離；vi—摩擦輪在接觸點處的線速度；vo—轉(zhuǎn)盤在接觸點處的線速度。

從關(guān)系式（1）可以看出，摩擦輪與轉(zhuǎn)盤之間的傳動比可以通過調(diào)節(jié)α夾角來調(diào)整，因此定義夾角α為傳動偏角。

摩擦輪在轉(zhuǎn)盤上因滾動產(chǎn)生的相對運動是由相對位形變化而確定的，依據(jù)這種相對位形可變的兩摩擦圓盤，設(shè)計的摩擦圓盤運動合成分解機構(gòu)具有非完整約束特性[7]。

2.2 并鏈式非完整機械臂機構(gòu)設(shè)計

在機械臂的每個關(guān)節(jié)處設(shè)置一組摩擦圓盤機構(gòu)，其中，摩擦輪與前一關(guān)節(jié)固連，轉(zhuǎn)盤與后一關(guān)節(jié)固連，當(dāng)關(guān)節(jié)角變化時，也就是摩擦輪與轉(zhuǎn)盤之間的夾角變化，兩者的傳動比也隨之變化。建立的并鏈式四關(guān)節(jié)機械臂機構(gòu)模型圖，如圖2所示。

圖2 并鏈式四關(guān)節(jié)機械臂機構(gòu)Fig.2 Structure of Double-Chain Four Joints Manipulator

電機2的轉(zhuǎn)動直接驅(qū)動關(guān)節(jié)1繞軸線轉(zhuǎn)過角度θ1，由于摩擦輪1通過側(cè)板與機架固定，而轉(zhuǎn)盤1固定在第一關(guān)節(jié)，所以電機2就控制了關(guān)節(jié)1的轉(zhuǎn)角θ1，并且相當(dāng)于在摩擦輪與轉(zhuǎn)盤的摩擦傳動中加入了一個θ1的傳動偏角。電機1一方面通過齒輪來驅(qū)動摩擦輪，摩擦輪因滾動摩擦帶動轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)盤經(jīng)同步帶帶動關(guān)節(jié)2轉(zhuǎn)動角度θ2，與此同時在關(guān)節(jié)2處的摩擦輪與轉(zhuǎn)盤之間加入一個θ2的傳動偏角；另一方面通過雙萬向節(jié)將能量傳遞到后面的關(guān)節(jié)，后面的關(guān)節(jié)傳動依次類推。因此實現(xiàn)了兩個電機驅(qū)動四個關(guān)節(jié)的目的。并鏈式機械臂的運動示意圖，如圖3所示。

圖3 并鏈式四關(guān)節(jié)非完整機械臂傳動示意圖Fig.3 Transmission Sketch of Double-Chain Four Joints Manipulator

在并鏈式機械臂機構(gòu)的設(shè)計中，以下幾個問題值得注意：

（1）摩擦輪與轉(zhuǎn)盤之間應(yīng)具有足夠的摩擦力，否則就不能有效、可靠、準確地進行運動傳遞。可以通過選用摩擦系數(shù)大的材料和適當(dāng)增加接觸處的正壓力來保證足夠的摩擦力。

（2）保證摩擦輪與轉(zhuǎn)盤的接觸點位于關(guān)節(jié)軸線上，如圖4（a）所示。若沒有達到位置要求，當(dāng)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動一定角度時，摩擦輪就會在轉(zhuǎn)盤上產(chǎn)生滑動，導(dǎo)致摩擦輪與轉(zhuǎn)盤的接觸點到轉(zhuǎn)盤中心的距離發(fā)生變化，也就是式（1）中的R值變化，這樣不僅會影響正常的傳動，也使得傳動比無法計算。解決方法是在提高零件加工精度的同時提高其安裝精度。

圖4 摩擦輪與轉(zhuǎn)盤接觸點位置、雙萬向節(jié)結(jié)構(gòu)示意圖Fit.4 The Position of Contact Point of Friction Wheel and Rotary Table and the Diagram of Double Universal Joint

（3）雙萬向節(jié)的輸入軸應(yīng)與輸出軸具有相等的轉(zhuǎn)動角速度，即要求雙萬向節(jié)的中心線OO應(yīng)與關(guān)節(jié)軸線一致，并且為補償由于機械臂關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動所帶來的輸入軸與輸出軸之間的軸向距離變化，中間軸應(yīng)做成可伸縮的形式，如圖4（b）所示。

（4）為保證結(jié)構(gòu)的緊湊性、輕量化，在滿足強度、剛度要求下，連桿外圍采用大圓角和中心部位挖槽處理。在水平方向上，雙萬向節(jié)組成的能量主傳遞鏈，和摩擦輪、轉(zhuǎn)盤組成的運動傳動鏈距離機械臂邊沿距離大致相等，且約等于兩傳動鏈之間的間距，以及連桿上下對稱布置，使得機械臂的質(zhì)心接近其幾何中心，有利于提高其運動性能。

3 運動學(xué)特性分析及鏈式變換

3.1 運動學(xué)建模

四關(guān)節(jié)非完整機械臂的位形空間由關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角θi（i=1，2，3，4）和摩擦輪的角位移φ確定，故定義系統(tǒng)的廣義坐標矢量為q=［q1，q2，q3，q4，q5］=［φ，θ1，θ2，θ3，θ4］，而控制輸入僅有兩個電機的角速度u1和u2，說明機械臂系統(tǒng)可以由兩個控制輸入來控制在較多維數(shù)的位形空間內(nèi)運動。根據(jù)運動關(guān)系可以推導(dǎo)出并鏈式四關(guān)節(jié)機械臂的運動學(xué)模型：

式中：r—摩擦輪半徑值，R與上文定義相同。

3.2 可控性分析

式（2）是無漂移的控制系統(tǒng)形式，此類無漂移仿射系統(tǒng)的可達空間是由分布 Δ（q）=span｛p1，p2｝張成的，根據(jù)系統(tǒng)的可控性條件，如果無漂移仿射系統(tǒng)的可達分布 Δp（q）=span｛p1，p2，［p1，p］，［p，［p，p］］，…｝滿秩，則該系統(tǒng)是可控的[3]。

2112

式中：［p1，p2］—對向量 p1，p2的李括號運算；［p1，［p1，p2］］—對向量 p1，［p1，p2］的李括號運算。即有

則并鏈式非完整四關(guān)節(jié)機械臂的可達空間可表示為：=Δp（q）=span｛p1，p2，［p1，p2］，［p1，［p1，p2］］，

從式（3）可以看出，當(dāng) sinθ1≠0，sinθ2≠0，且 sinθ3≠0 時，即θi≠0（i=1，2，3），則有 dimΔp（q）=5，此時矩陣的秩與位形空間維數(shù)相等，滿足可控秩條件。也就是說當(dāng)并鏈式四關(guān)節(jié)機械臂的工作空間滿足θi≠0（i=1，2，3）時，該系統(tǒng)在五維可達位形空間內(nèi)具有非完整特性，并且是可控的，可以通過兩個電機來控制其五個位形變量的運動。

3.3 鏈式變換特性分析

S?rdalen在研究具有n個拖掛車的輪式移動機器人系統(tǒng)時，給出了具有三角形構(gòu)造的無漂移仿射系統(tǒng)鏈式變換的條件和方法[8]，即：對于類似于（2）式的無漂移仿射系統(tǒng)：

若在q0的鄰域內(nèi)，光滑函數(shù)?i∈｛3，4，…，n｝，則存在微分同胚的坐標變換式和輸入變換式，使得該系統(tǒng)可以變換為鏈式系統(tǒng)。由此可知，對于該四關(guān)節(jié)非完整機械臂運動模型式（2），當(dāng) θ（ii=1，2，3）≠0時，能夠變換成鏈式結(jié)構(gòu)的坐標變換式（4）和輸入變換式（5）：

4 并鏈式四關(guān)節(jié)非完整機械臂的運動規(guī)劃

基于鏈式變換方法的運動規(guī)劃基本思路是：將系統(tǒng)的初始位形qi和目標位形qf映射成鏈式空間的初始位形zi和目標位形zf，在鏈式空間規(guī)劃出一條從初始位形zi到目標位形zf的路徑，再將規(guī)劃所得的路徑通過鏈式逆變換到關(guān)節(jié)空間。目前針對鏈式系統(tǒng)的運動規(guī)劃方法較為成熟的有：分段常數(shù)輸入法、三角函數(shù)輸入法、多項式輸入法，相比于其它控制方法，多項式輸入法具有積分運算簡單，且能控制各變量沿光滑的軌跡運動至目標位形的優(yōu)點，兩個控制輸入隨時間變化的多項式表達式為：

運動規(guī)劃的目的就是尋找有界的控制輸入u（t），使得系統(tǒng)從初始位形zi，經(jīng)過規(guī)定的時間T到達目標位形zf，即滿足等式約束：

結(jié)合（6）式對（5）式積分可得各變量的終止位置，分別是關(guān)于 b1、b2、b3、b4的表達式：

定義 b=［b1，b2，b3，b4］T，F(xiàn)=［f1，f2，f3，f4］T，給定時間 T 值，將（8）式代入（7）式中可得到關(guān)于 b1、b2、b3、b4的非線性方程組，寫成牛頓迭代格式有

式中：F′（b）—F（b）的雅克比矩陣；［F′（b）］+—F′（b）的偽逆。

給定初始值b（0）之后就可以通過迭代式（9）在MATLAB中計算得到b，將b代入式（8）得到zi（t）的軌跡。將（4）式進行鏈式逆變換得到各關(guān)節(jié)角位移關(guān)于z變量的表達式如下：

通過式（10）得到四個關(guān)節(jié)角位移的運動曲線。

5 四關(guān)節(jié)非完整機械臂的運動分析

圖5 鏈式空間中z變量、關(guān)節(jié)空間中各關(guān)節(jié)的運動軌跡示意圖Fig．5 The Diagram of the Motion Trajectory of the z Variables in the Chain Space and the Joints in the Joint Space

在 T=15s時刻，θ1=15．475174°，θ2=14．991161°，θ3=15．000081°，

θ4-=14．999982°。目標位形誤差 eθ1=4．7517%，eθ2=0．08849%，eθ3=0．0008%，eθ4=0．00018%。

圖6 鏈式空間中z變量、關(guān)節(jié)空間中各關(guān)節(jié)的運動軌跡Fig．6 The Motion Trajectory of z Variables and Joints in the Chain Space

在 T=20s 時刻，θ1=13．8563°，θ2=14．9868°，θ3=14．99997°，θ4=14．99997°。目標位形誤差 eθ1=7．6251%，eθ2=0．08784%，eθ3=0．001275%，eθ4=0．0001636%。從兩組不同實驗數(shù)據(jù)的目標位形誤差結(jié)果可以看出，四關(guān)節(jié)非完整機械臂的后面3個關(guān)節(jié)在規(guī)定的時間內(nèi)從初始位形能夠準確地運動至目標位形，而第一個關(guān)節(jié)出現(xiàn)的誤差較大，是因為其運動軌跡鏈式逆變換時函數(shù)關(guān)系復(fù)雜，與其他關(guān)節(jié)運動耦合程度高，求解復(fù)雜而容易產(chǎn)生累積誤差。

6 結(jié)論

基于摩擦圓盤運動分解合成機構(gòu)，提出的一種新型并鏈式四關(guān)節(jié)非完整機械臂，結(jié)構(gòu)簡單，通過對運動模型的分析表明其具有非完整性和可控性，且運動模型能夠轉(zhuǎn)換成鏈式系統(tǒng)，并通過在鏈式系統(tǒng)中運用多項式輸入法進行運動規(guī)劃，機械臂各關(guān)節(jié)能在規(guī)定時間內(nèi)準確地運動至目標位形，實現(xiàn)了兩個電機控制多關(guān)節(jié)，表現(xiàn)出欠驅(qū)動特性。由于當(dāng)鏈式空間的運動軌跡通過鏈式逆變換回關(guān)節(jié)空間時，會出現(xiàn)逆變換的關(guān)節(jié)角位移無實解的情況，即出現(xiàn)奇異位形，所以下一步工作將針對于鏈式逆變換奇異位形的規(guī)避展開，可以通過增加對z變量的約束來保證鏈式逆變換有解來實現(xiàn)。