孫小康

（揚州高等職業(yè)技術學校，江蘇 揚州　225000）

近些年機器人技術得到了飛速發(fā)展，呈現智能化、多元化趨勢，并成功運用于國防、醫(yī)院、工業(yè)和家庭等領域[1-2]。輪式機器人控制匯集了信息技術、機械技術以及傳感器技術，是機器人研究領域中的一個重要分支，輪式機器人路徑跟蹤的精度影響著整個系統(tǒng)的性能[3-4]。然而輪式移動機器人又是一個多變量、強耦合、參數時變的非線性對象，難以對其進行高性能軌跡跟蹤的控制[5]。近年來，隨著現代控制技術的迅猛發(fā)展，一些現代控制方法被廣泛地運用到了輪式機器人軌跡跟蹤控制中，如反推（backstepping）控制[6]、變結構控制[7]、狀態(tài)反饋線性化控制[8]、輸入輸出解耦控制[9]、組態(tài)方法[10]、粒子群優(yōu)化算法[11]等。而文獻[5]僅僅是針對輪式機器人的運動學模型設計路徑跟隨器，沒有充分考慮系統(tǒng)摩擦力和參數不確定性對機器人運動性能的不良影響。

盡管傳統(tǒng)的PID控制算法在移動機器人軌跡跟蹤控制的研究上取得了一定成果，但隨著環(huán)境的復雜化和不確定性，使得傳統(tǒng)的控制方法已難以達到理想的控制效果。參數不確定對于系統(tǒng)產生的不良影響已經在全橋逆變器的控制領域中有所考慮，但在機器人控制系統(tǒng)中還有所欠缺[12]。

為此，本文主要研究參數不確定的輪式移動機器人路徑跟蹤控制問題。首先建立輪式機器人的動力學模型，并考慮摩擦力和環(huán)境的影響，進一步建立其參數不確定動力學模型。在此基礎上設計一種基于凸優(yōu)化算法的魯棒 PI控制器，引入了 L1性能指標，并給出相關控制律，通過直接求解線性矩陣不等式即可得到控制器參數。最后，仿真結果表明該控制系統(tǒng)能夠準確、快速地跟蹤給定的參考路徑，并能實現同時對給定的線速度、角速度和角度的跟蹤。與常規(guī)的PI控制器相比，對于環(huán)境和摩擦系數變化產生的不確定性及擾動更具魯棒性。

1　動力學模型

1.1　輪式移動機器人動力學模型建立

在絕對坐標系XOY固定平面內，移動機器人的運動示意圖如圖1所示。

圖1　移動機器人運動示意圖

圖1中，兩個前輪為獨立驅動輪，分別采用一組直流伺服電動機驅動，通過調節(jié)各自的輸入電壓控制兩個前輪速度差，達到調整車體與跟蹤路徑的關系。而移動機器人的后輪為隨動輪，僅起支撐車體的作用[5]。輪式移動機器人在忽略縱向滑動的條件下的動力學模型為[13-14]

式中，ν為機器人前進線速度，ul和 ur分別為左右電機的驅動電壓，νl和 νr分別為左右驅動輪的線速度，L表示機器人寬度的一半，φ 為機器人方向角，θφ=˙為機器人旋轉角速度，c為輪胎與地面的摩擦系數，M為機器人總質量，r為車輪半徑，k為驅動增益，Iv和Iw分別為繞機器人重心的轉動慣量以及驅動輪的轉動慣量。

定義：狀態(tài)變量 x =[ν φ θ]T，控制輸入 u =，輸出變量 y= [ν φ]T，則根據式（1）至式（3）可得移動機器人的動力學狀態(tài)方程為

其中：

1.2　輪式移動機器人參數不確定模型建立

在實際應用中，移動機器人由于傳動系統(tǒng)中減速器存在齒輪間隙，驅動電機的參數由于環(huán)境溫度和路面摩擦系數的變化以及元件磨損等因素，都會引起伺服電機傳動力矩的變化，因此，在控制系統(tǒng)的設計中，應充分考慮系統(tǒng)參數電機傳動機構的驅動增益k、摩擦系數c的變化造成的影響。兩種參數的不確定性描述為

此處，c0和 k0為相應的基準值，δc和δk分表代表了摩擦系數及驅動增益變化的比例，且滿足δc≤Δc，δk≤Δk的條件，而Δc和Δk為已知的正常數。因此，輪式移動機器人的參數不確定模型構造如下：

在系統(tǒng)（5）中，ΔA0和ΔB0為未知的不確定矩陣，同時滿足如下條件：

F1(t)和F2(t)代表變擾動矩陣，并假設是Lebesque可測的。

2　控制器設計

為了高效便捷地解決系統(tǒng)的動態(tài)追蹤問題，基于移動機器人的動力學參數不確定模型，設計如下的PI控制輸入，即

式中，K=[KP1KP2KP3KI]為待求解的控制器增益，νd和φd為相應的目標值。

式中，y( t)為測量輸出；矩陣C和D為適當維數常數矩陣，其他矩陣定義為

將u(t)=Kx(t)代入式（8），則相應的閉環(huán)機器人系統(tǒng)可以描述為

3　穩(wěn)定性分析

定理1：對于給定參數 μi(i= 1 ,2)，εi(i= 1 ,2)和α＞0 ，若存在適當維數的矩陣， Q= P-1＞0、M=T-1＞0，R和常數γ＞0滿足下列不等式條件：

證明：選取Lyapunov函數 V ( z( t), t) = zT(t) P z( t )，易知 V ( z( t), t)≥0

進一步對其求導可得

在式（10）左、右乘以diag{P, I, I, I, I, I}，diag{P, I, I, I, I, I}，并結合Schur補引理，可以得到：(10)＜0?

成立；式中 z0(t)為初始狀態(tài)向量，顯然存在 d(t)的情況下閉環(huán)系統(tǒng)式（9）穩(wěn)定。

下面討論閉環(huán)系統(tǒng)的擾動衰減性能，式（19）可分為兩種情形：

根據schur補引理，并在式（11）左右兩側分別左乘diag{,,}I IT和右乘diag{,,}I IT可得

進一步可以得到

同理，在式（12）左右兩側分別左乘diag{,}I T 和右乘diag{,}I T可得

進一步可以得到

因此，閉環(huán)系統(tǒng)（9）滿足擾動衰減L1性能指標。

最后，證明在控制輸入 u(t)作用下系統(tǒng)的動態(tài)跟蹤性能。假設θ1(t)和θ2(t)為閉環(huán)系統(tǒng)式（9）不同的兩個動態(tài)軌跡。定義σ(t)=θ1(t)-θ2(t)，則關于信號的方程表述如下：

類似前述，選取Lyapunov函數如下：

基于不等式（10），同理可證：

式中，λmin(t)為 T的最小特征值?？傻忙?=0是系統(tǒng)惟一的漸近平衡點，同時意味著閉環(huán)系統(tǒng)式（9）存在惟一平衡點 z*，進一步可以得到跟蹤誤差積分收斂。因此，保證了閉環(huán)系統(tǒng)的跟蹤性能。

4　仿真結果與分析

為了驗證算法的有效性，分析參數c、k的變化對移動機器人運動控制系統(tǒng)的影響，本節(jié)在Matlab/Simulink平臺上對所設計的魯棒PI控制算法進行了仿真實驗。實驗中，分別選擇正弦波形和圓形兩種軌跡作為參考路徑進行跟蹤，更具一般性。機器人系統(tǒng)的物理參數見表 1。假定摩擦系數 c和驅動增益k的不確定量為δc=+10%，δk=+10%。同時選定矩陣不等式中相關參數如下：

控制器增益通過直接求解線性矩陣不等式（10）至式（12）得到

表1　機器人物理參數

4.1　正弦波形軌跡跟蹤

本節(jié)假設期望軌跡為 Y*=sin(0.2πX )的正弦波形，同時設定實際軌跡初始位置為(X ( 0),Y ( 0))=(0,0)，初始方向角 φ (0) = 0.2rad，初始角速度θ(0)=0.2rad/s，初始線速度ν(0) = 0.2m/s。期望線速度ν*=1m/s，期望角速度 θ*=φ˙=0.2πrad/s。

由圖2至圖4可知，設計的PI控制器使得輪式機器人系統(tǒng)在參數不確定條件下仍能快速地跟蹤到速度和方向角的目標值，且跟蹤誤差收斂到零。由

圖2　線速度跟蹤結果

圖3　角速度跟蹤結果

圖4　跟蹤誤差

圖5可知，機器人系統(tǒng)在控制器作用下快速、準確地跟蹤到了設定的正弦波形軌跡，說明系統(tǒng)具備了良好的動態(tài)追蹤性能和穩(wěn)定性。

圖5　正弦波形軌跡跟蹤結果

4.2　圓形軌跡跟蹤

本節(jié)假設期望軌跡為

設定期望軌跡的初始位置為(X ( 0),Y ( 0))=(0.2,- 1 .4)，而實際軌跡的初始位置為(X ( 0),Y ( 0))=(1,- 1 )，初始方向角 φ ( 0 ) =0 .2rad，初始角速度θ( 0 ) =0 .35rad/s，初始線速度 ν ( 0 ) =0 .1m/s 。期望線速度ν*= 2 m/s，期望角速度 θ*=φ˙=1rad/s .

圖6　線速度跟蹤結果

圖7　角速度跟蹤結果

由圖6和圖7可知，設計的控制器能夠使得參數不確定系統(tǒng)跟蹤到設定的線速度和角速度。圖 8說明了系統(tǒng)狀態(tài)誤差可以快速收斂到零。圖9進一步驗證了算法和控制器的有效性，盡管初始位置不一樣，但控制器使得系統(tǒng)在跟蹤圓形軌跡方面同樣具備了良好的穩(wěn)定性和動態(tài)跟蹤性能。

圖8　跟蹤誤差

圖9　圓形軌跡跟蹤結果

5　結論

針對參數不確定的輪式移動機器人系統(tǒng)，本文設計了一種基于凸優(yōu)化算法的魯棒PI控制器，通過調節(jié)反饋控制輸入使得移動機器人能夠漸近地跟蹤給定參考路徑，并結合L1性能指標有效地抵制參數攝動的影響，增強系統(tǒng)的魯棒性。同時，控制器也確保了輪式移動機器人的線速度、角速度和角度跟蹤誤差快速收斂到零。最后，基于Matlab平臺的仿真結果進一步驗證了設計算法的有效性。