許江海,趙 易

(1.杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院,浙江杭州 310018)

(2.杭州師范大學(xué)理學(xué)院,浙江杭州 311121)

1 引言

眾所周知,對于[?1,1]上的函數(shù)|x|用n次多項式逼近的最佳逼近階[1]為O(),此結(jié)果在階的意義下是精確的,不可改進.1964年,Newman取結(jié)點組構(gòu)造|x|的有理插值函數(shù)

得到[2]結(jié)論這個結(jié)論大大改進了多項式插值的結(jié)果,也引起了許多學(xué)者的研究興趣,幾年來關(guān)于|x|的有理插值,圍繞著結(jié)點分布與誤差收斂速度發(fā)表了許多有意義的結(jié)果[3?5].

2004年,夏懋[6]研究了對|x|α(1≤α<2)在等距結(jié)點的Lagrange插值多項式的逼近,主要給出了在零點的逼近階,文中最終得到定理:令m∈n,n=2m?1且1≤α<2,則有而在2011年,張慧明、李建俊和門玉梅[7]等研究了|x|在正切結(jié)點組的有理插值,得到逼近階為朱來義[8]等取偶次第二類Chebyshev多項式零點的第二類chebyshev結(jié)點,用不同的方法得到逼近階為且不能改善.

本文對Newman結(jié)點組進行了調(diào)整,將Newman結(jié)點組中的e一般化為任意m(e

構(gòu)造|x|α的有理插值函數(shù),其中互素且為奇數(shù),得到如下一般的結(jié)論.

2 定理證明

為了方便證明定理1.1,先給出如下引理.

引理結(jié)論得證.

定理1.1的證明 由于|x|α與rn(X;x)為偶函數(shù),故只需考慮x∈[0,1]的情形.

1)當(dāng)x∈[0,bn]時,有

2)當(dāng)x∈[bn,1]時,必存在某一個k,0≤k≤n?1,使得bk+1≤x≤bk≤b,則

則

綜上定理得證.

3 結(jié)束語