明知白

著名數(shù)學(xué)教育家波利亞在《怎樣解題》一書中指出：數(shù)學(xué)教學(xué)的目的在于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和思維品質(zhì).他又指出：解題的成功要靠正確思路的選擇，要靠從可以接近它的方向去攻擊堡壘.

高考命題專家指出：解題研究要重在解題方向和策略的研究.問題是數(shù)學(xué)的心臟，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程與數(shù)學(xué)解題緊密相關(guān)，而數(shù)學(xué)能力的提高在于解題的質(zhì)量而非解題的數(shù)量，因此要重在研究解題的方向和策略.解題過程中不斷進(jìn)行這樣的思考和操作，將使數(shù)學(xué)能力得到有效的提高.

數(shù)學(xué)知識(shí)的深入理解與靈活運(yùn)用，往往是通過典型例題的分析與解答而獲得的，而數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)與學(xué)生智力的發(fā)展，也常常是伴隨著由淺入深的解題過程而達(dá)到的，因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中，解題是極其重要的一環(huán)，這是人所共知的道理，但是如何運(yùn)用數(shù)學(xué)中的這一重要環(huán)節(jié)，卻存在著一個(gè)“教學(xué)藝術(shù)”的問題.如果一個(gè)教師在課堂上講解例題時(shí)，不對(duì)題目進(jìn)行深入的分析，并在分析中尋求解題思路，而總是按照“因?yàn)椤浴钡母裾{(diào)進(jìn)行，這只能讓學(xué)生“知其然而不知其所以然”，對(duì)方法與技巧只能是一知半解，很難達(dá)到融匯貫通、舉一反三、觸類旁通的功效，因此學(xué)生就很難真正領(lǐng)會(huì)各種解法的精神實(shí)質(zhì)，從而未能達(dá)到由“必然王國(guó)”走向“自由王國(guó)”的境界.

下面綜合三個(gè)例子予以說明.

例1求由正整數(shù)組成的集合S，使S中的元素之和等于元素之積(清華大學(xué)自主招生考題).

分析：設(shè)S={x1,x2,…,xn}，其中xn∈N*,n≥2,不妨設(shè)1≤x1

(以下可以啟發(fā)學(xué)生探究)

(1)n=2時(shí)，有x1+x2=x1x2.

由1≤x1

(2)n=3時(shí)，有x1+x2+x3=x1x2x3.

由1≤x1

由x1,x2∈N*得x1=1,x2=2,此時(shí) 1+2+x3=1·2·x3，所以x3=3，故S={1,2,3}.

(3)n=4時(shí)，有x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4<4x4，所以x1x2x3<4. 由x1,x2,x3∈N*，知n=4時(shí)不成立，S不存在.

(4)類似地，n≥5時(shí)，猜想S也不存在.

以上內(nèi)容多數(shù)學(xué)生可以做出，此時(shí)再進(jìn)一步提出：n≥5時(shí)S一定不存在嗎？如何證明？讓學(xué)生進(jìn)一步探究.

解設(shè)S={x1,x2,…,xn}，其中xn∈N*,n≥2,不妨設(shè)1≤x1

則x1x2…xn=x1+x2+…+xn

當(dāng)n≥2時(shí)，x1x2…xn-1

①

又n≥2時(shí)x1x2…xn-1≥(n-1)!.

②

由①和②，n>(n-1)!≥(n-1)(n-2) (n≥2).

所以n>(n-1)(n-2)，即n2-4n+2<0.

當(dāng)n=2時(shí)，由①知x1<2，

于是x1=1,此時(shí)1+x2=1·x2不成立.故S不存在.

當(dāng)n=3時(shí)，由①知x1x2<3，

于是x1=1,x2=2，此時(shí)1+2+x3=1·2·x3.

所以x3=3，故S={1,2,3}.

綜上所述，所求S有唯一解S={1,2,3}.

點(diǎn)評(píng)：通過由特殊(具體)到一般(抽象)的逐步深入，使問題得到圓滿解決，培養(yǎng)了學(xué)生的探究精神與能力.

不少同學(xué)是這樣做的：

點(diǎn)評(píng)：上述證明雖然沒有錯(cuò)誤，但是沒有得到題目的結(jié)論.問題出在哪兒？如果教師追求“效率”，便直接給出了下面的證法.

故1≥4ab,于是

=4(a2+1)(b2+1)

=4(a2b2+a2+b2+1).

由a+b=1得a2+b2=1-2ab，于是

≥4(a2b2+1-2ab+1)

=4[(ab-1)2+1].

點(diǎn)評(píng)：上面的證明聽懂不難，難在“思路”，特別是幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是如何想到的，這樣的教學(xué)收獲不大，為此，可調(diào)整我們的教學(xué)設(shè)計(jì).

思維受阻怎么辦？

上面的種種分析十分重要，由此引出了下面的多種解法.

證法三(接上)：設(shè)t=ab>0，

可分解為(4t-1)(t-4)≥0，

則

證法五由于

此外，還有更簡(jiǎn)捷的證法.

說明：當(dāng)年這道全國(guó)高考題出臺(tái)時(shí)，多數(shù)省市并未學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)，因此只會(huì)用初等方法解答.

解法一任取x1,x2∈[0,+∞)，且x1

(1)當(dāng)a≥1時(shí)，

又x1-x2<0，所以f(x1)-f(x2)>0，

即f(x1)>f(x2).

因此當(dāng)a≥1時(shí)，f(x)在區(qū)間[0,+∞)上是減函數(shù).

(說明：以上部分學(xué)生完成并不困難，難點(diǎn)在下面.下面是當(dāng)年高考題的解答.)

由于f(x1)=1,f(x2)=1，即f(x1)=f(x2).

因此當(dāng)0

反思: 當(dāng)0

為此我們引導(dǎo)學(xué)生深入的探究，去突破這個(gè)疑點(diǎn).讓學(xué)生考慮函數(shù)單調(diào)性的幾何意義.

其圖象為開口向上的雙曲線的上支，

又y=ax(a>0)的圖像是過原點(diǎn)的直線.

設(shè)直線x=m(m≥0)與雙曲線及直線y=ax(a>0)分別交于點(diǎn)M,N(如圖1).在區(qū)間[0,+∞)上，f(x)的單調(diào)性的幾何意義是：

當(dāng)x從0開始，逐漸變大時(shí)，縱差yM-yN是變大？還是變?。窟€是有時(shí)變大有時(shí)變?。?/p>

圖1

(1)當(dāng)a=1時(shí)，由圖1顯然有：縱差yM-yN越來越小，故f(x)在[0,+∞)上單調(diào)減；

(2)當(dāng)a>1時(shí)，設(shè)雙曲線與直線y=ax交于A.在A點(diǎn)左側(cè)，當(dāng)x從0開始逐漸變大時(shí)，觀察圖1可得：縱差為正，且越來越小；在A點(diǎn)右側(cè)，縱差為負(fù)，絕對(duì)值越來越大，其值越來越小，故f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減；

(3)當(dāng)0

即f(x1)=f(x2)=1.

因此，當(dāng)0

說明：對(duì)于(3)中0

圖2

解法三學(xué)過導(dǎo)數(shù)之后，我們可以有下面的簡(jiǎn)捷解法，并可獲得更多的收獲.

因此當(dāng)a≥1時(shí)，f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減.

因此，f(x)在[0,+∞)上不是單調(diào)函數(shù).