賈秀敏

(河北科技大學(xué) 理學(xué)院， 河北 石家莊 050018)

如圖1所示，由于長(zhǎng)直共軸共焦拋物導(dǎo)體柱板在空間產(chǎn)生的電場(chǎng)與軸無(wú)關(guān)，是垂直于軸的橫截面上的二維場(chǎng)問(wèn)題.文獻(xiàn)[1-3]分別采用拋物柱坐標(biāo)、高斯定理和復(fù)勢(shì)函數(shù)法對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行了研究；文獻(xiàn)[4]采用不同坐標(biāo)系的度規(guī)系數(shù)簡(jiǎn)化求解拉普拉斯方程.本文引入導(dǎo)體曲面函數(shù)，將解偏微分方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一般的積分運(yùn)算，簡(jiǎn)便直觀地導(dǎo)出了共軸共焦拋物導(dǎo)體柱板間的電場(chǎng)分布.

圖1 共焦共軸拋物柱板Fig. 1 Two confocal parabolic conductor plates

1 解拉普拉斯方程

設(shè)f(x,y,z)為具有連續(xù)一、二階偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，c為參數(shù)，則

f(x,y,z)=c

(1)

表示一空間曲面族[5].若任取2個(gè)滿(mǎn)足f(x,y,z)的薄導(dǎo)體曲面并帶電，則曲面間的電勢(shì)u滿(mǎn)足拉普拉斯方程，而該電勢(shì)在薄導(dǎo)體曲面上的取值為常量，說(shuō)明電勢(shì)u是f(x,y,z)的函數(shù).

因?yàn)?/p>

所以

積分2次得曲面間的電勢(shì)

(2)

其中，A、B為積分常數(shù).

2 拋物板間的電勢(shì)分布

(3)

其中拋物板l1對(duì)應(yīng)c=c1，電勢(shì)為u1；拋物板l2對(duì)應(yīng)c=c2，電勢(shì)為u2，由于板間電勢(shì)u滿(mǎn)足拉普拉斯方程，故將相應(yīng)參量代入式(2)，即可計(jì)算拋物板間的電勢(shì).

(4)

所以

(5)

式(5)給出的兩拋物導(dǎo)體柱板間的電勢(shì)分布與文獻(xiàn)[1] 結(jié)果相同.

3 拋物板間的電場(chǎng)強(qiáng)度

(6)

由式(6)可得電場(chǎng)線(xiàn)滿(mǎn)足微分方程:

(7)

兩邊積分得

即

(8)

式(8)即為拋物柱板間的電場(chǎng)線(xiàn)方程.

由式(6)可知，柱板間電場(chǎng)強(qiáng)度大小為

(9)

故拋物板上電荷面密度為

(10)

說(shuō)明拋物導(dǎo)體板上的電荷分布是不均勻的，越靠近拋物柱弧頂，電荷密度越大，而在較遠(yuǎn)處，電荷密度幾乎為0.

通過(guò)導(dǎo)體曲面函數(shù)，利用積分導(dǎo)出了共軸共焦的拋物導(dǎo)體柱板間的電場(chǎng)分布，并給出了導(dǎo)體板上的電荷分布情況.該方法為計(jì)算等勢(shì)面規(guī)范的帶電導(dǎo)體產(chǎn)生的電場(chǎng)提供了新思路，有利于對(duì)靜電問(wèn)題的研究.