秦欣云 許道云

摘 要：在量子力學(xué)中，密度算子作為量子系統(tǒng)的混合狀態(tài)表示，其表達(dá)能力和性質(zhì)得到廣泛應(yīng)用。本文基于矩陣和密度算子基礎(chǔ)理論，利用Bloch向量表示單量子比特，得到純態(tài)和混合態(tài)的密度矩陣的奇異值分解表達(dá)式和冪形式。通過(guò)分析密度矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形，得到密度算子的一些特殊性質(zhì)。利用密度算子的基本性質(zhì)，通過(guò)選取二進(jìn)制點(diǎn)作為量子比特的基矢，分析了由密度矩陣表示的多量子比特系統(tǒng)中量子疊加態(tài)的相干性，并研究了密度算子作為量子態(tài)可區(qū)分的數(shù)學(xué)理論。

關(guān)鍵詞：密度算子；奇異值分解；若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形；相干性；可區(qū)分性

中圖分類號(hào)：O413.1

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A

隨著量子計(jì)算和量子計(jì)算機(jī)等相關(guān)領(lǐng)域的研究發(fā)展[1-5]，量子力學(xué)已成為量子理論發(fā)展中一門重要的基礎(chǔ)學(xué)科，密度算子作為量子力學(xué)的一個(gè)重要概念，簡(jiǎn)化了某些具體問(wèn)題的計(jì)算。同時(shí)，量子測(cè)量作為量子力學(xué)基本假設(shè)之一，它聯(lián)系著經(jīng)典世界和量子世界，而密度算子作為量子測(cè)量中的一種重要量子態(tài)，其基本性質(zhì)為研究量子態(tài)的可區(qū)分性提供了理論工具。

密度算子的概念是Von Neumann等人在1927年為了描述量子力學(xué)中的統(tǒng)計(jì)概念首次提出的。近年來(lái)它被廣泛用于描述量子力學(xué)中的混合狀態(tài)和復(fù)合系統(tǒng)，在描述過(guò)程中，密度算子有多種表示形式。如李靜[6]證明了任意密度矩陣都可以被ρ=I+r→·σ2唯一表示，但此形式在分析密度矩陣的具體分解形式時(shí)有局限性，不便于具體運(yùn)算。丁巍巍等人[7]首先利用特殊酉群SU（R）的典型生成元構(gòu)造矩陣空間的兩組Hamel基，然后在這兩組基底下描述了多體量子系統(tǒng)中密度矩陣的表示，此表示方法僅對(duì)特殊酉群中的基底有效。最近的工作是楊瑩等人[8]于2015年采用內(nèi)積的方法給出的二階、四階、八階、2n階密度矩陣的表示形式，但在基底中使用張量積不便于展開(kāi)分析密度矩陣。

更具挑戰(zhàn)的是在不同的表達(dá)形式下，會(huì)得到不同的密度算子性質(zhì)。為了進(jìn)一步完善密度算子的性質(zhì)理論，本文將根據(jù)性質(zhì)的研究需要來(lái)選取最合適的密度算子的表達(dá)形式。

1 基礎(chǔ)知識(shí)

在量子計(jì)算中，密度算子作為描述量子狀態(tài)的一般表示被引入。在密度算子性質(zhì)的研究過(guò)程中需要一些矩陣和密度算子的基礎(chǔ)理論，更詳細(xì)的知識(shí)請(qǐng)參見(jiàn)文獻(xiàn)[9]和[10]。

1.1 矩陣?yán)碚?/p>

矩陣分解是矩陣?yán)碚撝兄匾慕M成部分之一。本文主要涉及到矩陣的奇異值分解。

定理[10]（奇異值分解） 令A(yù)是一個(gè)方陣，則必定存在酉矩陣U、V和一個(gè)非負(fù)對(duì)角陣D，使得A=UDV，其中D的對(duì)角元素稱為A的奇異值。

實(shí)際上，奇異值分解是譜分解和極式分解的結(jié)合。用密度算子語(yǔ)言表示奇異值分解：密度算子ρ是一個(gè)方陣，則必定存在酉矩陣U、V和一個(gè)非負(fù)對(duì)角陣D，使得ρ=UDV，其中D的對(duì)角元素稱為ρ的奇異值。

2 密度矩陣的分解性

矩陣分解就是將矩陣“分而治之”為數(shù)個(gè)簡(jiǎn)單矩陣的運(yùn)算?？梢岳梅纸夂蟮臄?shù)個(gè)簡(jiǎn)單矩陣特性來(lái)研究原矩陣本身的結(jié)構(gòu)特征和性質(zhì)。

3 密度算子性質(zhì)的應(yīng)用

3.1 量子疊加態(tài)的相干性

量子計(jì)算機(jī)在實(shí)現(xiàn)高效率的并行運(yùn)算過(guò)程中，需要用到量子疊加態(tài)的相干性。本部分主要是從一個(gè)新的角度來(lái)分析量子疊加態(tài)的相干性。

定理3.1[11] 混合態(tài)不存在相干性，如果單量子體系中的量子比特的純態(tài)密度矩陣的非對(duì)角元素不等于零，混合態(tài)的密度矩陣非對(duì)角元素為零。

基于定理3.1，進(jìn)一步來(lái)分析多體量子比特系統(tǒng)中量子疊加態(tài)的相干性。

定理3.2 由復(fù)合系統(tǒng)的密度矩陣可得到子系統(tǒng)的約化密度矩陣，則子系統(tǒng)不具有相干性，如果在任意兩體量子比特系統(tǒng)中，子系統(tǒng)的約化密度矩陣平方的跡小于1。

從定理3.1、定理3.2和定理3.3可以得出：對(duì)于單量子比特系統(tǒng)，可用密度矩陣的對(duì)角元素直接分析量子疊加態(tài)的相干性；對(duì)于多量子比特系統(tǒng)，可用子系統(tǒng)的約化密度矩陣分析量子疊加態(tài)的相干性。

3.2 密度算子可區(qū)分的數(shù)學(xué)理論

量子態(tài)的可區(qū)分性是量子信息理論中量子測(cè)量的一個(gè)重要應(yīng)用。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)研究密度矩陣的奇異值分解和若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形，得出純態(tài)和混合態(tài)的密度矩陣的奇異值分解形式以及密度矩陣的一些基本性質(zhì)，這些結(jié)果不僅有助于更好的理解密度算子，而且為密度矩陣相關(guān)理論的更深層次研究提供了便利。其次，還將密度算子的性質(zhì)應(yīng)用到量子力學(xué)中其他性質(zhì)的證明上：分析了多量子比特系統(tǒng)中量子疊加態(tài)的相干性，并拓展了密度算子作為量子態(tài)可區(qū)分的數(shù)學(xué)理論。

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（責(zé)任編輯：曾 晶）