陳　中, 唐浩然, 袁宇波, 周　濤, 李虎成, 許　揚

(1. 東南大學(xué)電氣工程學(xué)院, 江蘇省南京市 210096; 2. 江蘇省智能電網(wǎng)技術(shù)與裝備重點實驗室, 江蘇省南京市 210096; 3. 國網(wǎng)江蘇省電力有限公司, 江蘇省南京市 211103)

0　引言

隨著計算機網(wǎng)絡(luò)通信技術(shù)的不斷發(fā)展,廣域測量系統(tǒng)(wide area measurement system,WAMS)為分析區(qū)域間低頻振蕩及其抑制提供了新的手段[1-2]。在廣域附加阻尼控制器的應(yīng)用中延時的存在是不可避免的問題,延時是控制律失效、運行狀況惡化和系統(tǒng)失穩(wěn)的一種重要誘因[3]。廣域測量系統(tǒng)由多種通信媒質(zhì)組成,結(jié)構(gòu)復(fù)雜,傳輸裝置、傳輸媒介的不同,使得傳輸通道的通信延時具有不確定性[4]。

近年來,對固定延時下的系統(tǒng)穩(wěn)定性研究與控制器設(shè)計已有較多的研究[5],廣泛應(yīng)用的方法有Smith預(yù)測方法[6]以及Pade近似方法[7]。但是受網(wǎng)絡(luò)環(huán)境變化的影響,WAMS網(wǎng)絡(luò)中的通信延時往往是隨機的。文獻[8]通過對江蘇WAMS的實測指出,傳輸過程中可變延時的大小受數(shù)據(jù)量變化的影響,并且延時范圍的概率滿足近似正態(tài)分布。文獻[9-11]采用不同的預(yù)測算法對具有延時特性的廣域信號進行補償,從而使得在一定通信延時范圍內(nèi),廣域控制器能夠獲得近似于實時的信號數(shù)據(jù)。以上方法均是從信號預(yù)測補償?shù)慕嵌瘸霭l(fā)減少隨機延時對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。文獻[12-14]從模型出發(fā),通過不同方法構(gòu)造新型Lyapunov-Krasovskii泛函建立了時變時滯電力系統(tǒng)模型,并通過線性矩陣不等式(linear matrix inequalities,LMI)實現(xiàn)了系統(tǒng)最大允許時滯的求解與廣域阻尼控制器設(shè)計,如何減少判據(jù)保守性是研究難點。文獻[15]通過數(shù)學(xué)期望建模方法模擬了通信網(wǎng)絡(luò)隨機延時對廣域控制性能的影響,未進一步給出系統(tǒng)穩(wěn)定性分析方法。目前,在電力系統(tǒng)領(lǐng)域考慮隨機延時對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響的研究工作尚處于發(fā)展階段,因此需要深入研究WAMS系統(tǒng)中廣域信號的隨機延時特性對于電力系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定性的影響機制。

電力系統(tǒng)概率穩(wěn)定性分析最早由Burchett和Heydt于1978年提出[16]。現(xiàn)有研究主要考慮電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓撲與節(jié)點注入功率的不確定性[17],較少考慮通信系統(tǒng)的隨機性對電力系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。由于通信延時的不確定性,采用廣域測量信號的電力系統(tǒng)特征根將以一定的概率分布在某些區(qū)間內(nèi)。根據(jù)延時系統(tǒng)臨界特征根的概率分布,就能近似得到整個系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定的概率。

為研究廣域信號在通信系統(tǒng)傳輸過程中,延時的隨機分布特性對系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定的影響,本文采用半不變量與Gram-Charlier級數(shù)相結(jié)合的方法對具有隨機延時的廣域電力系統(tǒng)進行建模,并對不同延時分布參數(shù)下的電力系統(tǒng)小干擾概率穩(wěn)定性進行了分析。進而提出了一種基于置信區(qū)間的計及廣域信號隨機分布延時的電力系統(tǒng)穩(wěn)定器(PSS)參數(shù)魯棒性設(shè)計方法。

1　計及延時的小干擾概率穩(wěn)定計算模型

1.1　半不變量和Gram-Charlier級數(shù)

文獻[18]對貴州電網(wǎng)廣域控制系統(tǒng)中的信號延時進行分析后得出,可采用正態(tài)分布估計模型對實際廣域系統(tǒng)中的信號延時進行擬合,故本文采用正態(tài)分布建立信號延時的估計模型(為不失一般性,也可隸屬于其他任意分布形式)。信號延時的概率密度函數(shù)(probabilistic density function,PDF)為:

(1)

式中:μτ和στ分別為信號延時的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

針對式(1)所描述的信號延時,可通過Gram-Charlier級數(shù)展開的方法,獲得廣域控制系統(tǒng)臨界特征根的概率密度函數(shù),進而得出系統(tǒng)的小干擾概率穩(wěn)定性,具體步驟如下。

1)計算隨機變量的階距與半不變量

隨機變量延時可表示為τ=τ0+Δτ,其中τ0為隨機變量的期望值,Δτ為隨機擾動,其期望的表達式為:

E(Δτ)=E(τ-τ0)=E(τ)-E(τ0)=0

(2)

Δτ的一階原點矩(期望值)為零,從而得出:

E(Δτ-E(Δτ))k=E(Δτ)k=E(τ-τ0)k=

E(τ-E(τ))k

(3)

式(3)表明Δτ的各階原點矩都等于其中心距,而且等于τ的中心距。因而只要求出τ的各階中心距,就是Δτ的各階中心距。

半不變量γk是通過對隨機變量的特征函數(shù)取對數(shù)而得到的[19],可得到:

(4)

式中:αk和βk分別為隨機變量x的k階原點矩和k階中心距,其中k=1,2,…。

假設(shè)系統(tǒng)的特征根為λ=ξ±jω,則可得到式(5)所示的線性關(guān)系:

(5)

由概率論可知,隨機變量a倍的k階半不變量等于該變量的k階半不變量的ak倍。因此，根據(jù)式(5)可得出特征根實部隨機變化量Δξ的第k階半不變量:

(6)

Δξ的第k階中心距βk,Δξ可由其半不變量求得:

(7)

2)按Gram-Charlier級數(shù)展開確定特征根實部的概率密度函數(shù)

(8)

其中系數(shù)ci表示如下:

(9)

(10)

由于Δξ=ξ-ξ0,因此ξ的概率密度為:

fξ(x)=fΔξ(x-ξ0)

(11)

最后,可得到計及隨機通信延時的電力系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定概率為:

(12)

1.2　基于阻尼轉(zhuǎn)矩分析法的延時靈敏度計算

計算出式(6)中的參數(shù)?λ/?τ,即特征根對延時的靈敏度,是獲得fξ(x)的難點與關(guān)鍵。本文將利用阻尼分析法與Pade近似相結(jié)合的方法計算出該靈敏度參數(shù)。

輸入信號中含有延時的廣域阻尼控制器線性化方程為:

Δu=G(s)Δyτ

(13)

(14)

式中:Δyτ為含有延時的廣域阻尼控制器的輸入信號;G(s)為PSS的傳遞函數(shù)；K為放大環(huán)節(jié)的放大倍數(shù)；Ts為復(fù)位環(huán)節(jié)系數(shù)；T1和T2為相位補償環(huán)節(jié)系數(shù);Δu為輸出信號。

設(shè)PSS輸入信號Δyτ由L個廣域信號組成,則Δyτ可表示為:

(15)

式中:Xi為系統(tǒng)具體的第i個廣域信號;Ci為廣域信號的權(quán)重;τi為第i個廣域信號的延時。

對于同一控制器不同輸入信號Xi,經(jīng)過WAMS所需要的傳輸時間各不相同,即延時各不一樣,但早到的信號需要等待同一時標(biāo)的所有信號到達,故可認為Δyτ的延時由最后到達的廣域信號的延時τmax決定,可表示為:

τmax=max(τi)i=1,2,…,L

(16)

(17)

將式(17)從時域變換到頻域可得:

(18)

因此,可將輸出信號Δu表示為:

(19)

(20)

式中:Gτ(s)為計及延時的控制器傳遞函數(shù),表明可將延時環(huán)節(jié)移動到控制器傳遞函數(shù)中;Δy為不含延時的控制器輸入信號。

由式(19)和式(20)可知,此時控制器傳遞函數(shù)改變,但輸入信號中已不包含延時信息,故可采用標(biāo)準(zhǔn)的阻尼轉(zhuǎn)矩分析法(damping torque analysis,DTA)計算得到系統(tǒng)的阻尼轉(zhuǎn)矩系數(shù),進一步得到特征根相對于延時的靈敏度指標(biāo),具體推導(dǎo)過程如下。

阻尼轉(zhuǎn)矩分析法指標(biāo)的定義和計算公式為[20]:

(21)

式中:λi為加入廣域PSS后的第i個系統(tǒng)特征根;Δλi為第i個特征根的變化量;ΔGk(λi)為第k臺PSS的傳遞函數(shù)的變化量;Sij為第i個特征根對第j號發(fā)電機的機電振蕩回路提供的阻尼轉(zhuǎn)矩的靈敏度;Hij∠φij為廣域PSS對第j號發(fā)電機的機電振蕩提供的阻尼轉(zhuǎn)矩。

由式(20)和式(21)可得到:

(22)

進一步,可以得到第i個特征根λi關(guān)于延時τmax的靈敏度:

(23)

由式(23)可知,由于延時環(huán)節(jié)e-sτmax的存在,系統(tǒng)的特征方程變?yōu)橐粋€含有超越項的方程。本文采用Pade近似的方法將延時環(huán)節(jié)變化成一個高階多項式,從而將具有超越項的延時微分方程變?yōu)槠胀ǖ奈⒎帧鷶?shù)方程。文獻[21]指出采用2階Pade近似即可有較高的準(zhǔn)確性以及較快的計算速度,故本文對延時環(huán)節(jié)采用2階Pade近似模型,式(23)變換為:

(24)

由式(6)、式(8)、式(10)、式(11)、式(12)以及式(24)共同組成了計及延時隨機特性的電力系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定計算模型。

2　計及隨機延時的PSS魯棒性設(shè)計

不同延時模型下,系統(tǒng)特征根實部具有不同的統(tǒng)計特性。概率特征根的統(tǒng)計特性可用相應(yīng)的均值、方差描述,并可由Gram-Charlier級數(shù)展開計算確定。

考慮到PSS參數(shù)的限制,可定義參數(shù)優(yōu)化問題為:

(25)

T表示控制器中超前校正環(huán)節(jié)的時間常數(shù)T1至T4。PSS的增益環(huán)節(jié)設(shè)計與勵磁系統(tǒng)相同,故僅需對補償角度進行參數(shù)設(shè)計,使得PSS能夠向系統(tǒng)提供最大的阻尼。對本文采用基于模擬退火的粒子群優(yōu)化 (simulated annealing particle swarm optimization,SAPSO)算法對PSS控制器參數(shù)進行優(yōu)化,模擬退火算法在搜索過程中具有概率突跳的能力,可在粒子搜索過程中克服標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法容易陷入局部最優(yōu)這一缺點。

3　算例分析

3.1　計及隨機延時的小干擾概率穩(wěn)定計算方法驗證

兩區(qū)四機系統(tǒng)是由兩個區(qū)域經(jīng)長距離輸電線路相互連接構(gòu)成的一個弱互聯(lián)系統(tǒng)[22]。其中含有WAMS的系統(tǒng)模型圖見附錄A圖A1,系統(tǒng)詳細參數(shù)見附錄A表A1至表A6。該系統(tǒng)的振蕩模式中既包含了區(qū)域間振蕩模式,也存在局部振蕩模式。

以PSS安裝在G1,相量測量單元(phasor measurement unit,PMU)安裝在G1和G3,PMU將發(fā)電機轉(zhuǎn)子信號傳輸?shù)较嗔繑?shù)據(jù)集中器(phasor data concentrator,PDC)后,取反饋信號Δω1-Δω3傳輸?shù)綇V域PSS用以抑制系統(tǒng)區(qū)域間振蕩。取控制器參數(shù)K=10,T2=T4=0.05,T1=T3=0.2。由于信號延時估計模型的參數(shù)可通過實測獲得,本文以τ～N(0.1,0.052)為例,其中N(0.1,0.052)表示均值為0.1、標(biāo)準(zhǔn)差為0.05的正態(tài)分布,下同。

當(dāng)τ=0.1時,經(jīng)過確定性計算可知本系統(tǒng)共有3對反映系統(tǒng)低頻振蕩的復(fù)數(shù)根。采用式(24)計算特征根相對于延時的靈敏度,結(jié)果見表1。

表1　特征根與延時靈敏度Table 1　Eigenvalues and time delay sensitivities

由表1可知,反映局部振蕩的特征根1和特征根2對延時的靈敏度指標(biāo)遠小于反映區(qū)域間振蕩的特征根3對延時的靈敏度指標(biāo)。表明在延時波動時,特征根3將發(fā)生較大的變化,故將特征根3認為是系統(tǒng)的臨界特征根,其在隨機延時下實部的分布概率可近似地表達整個系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。

采用本文所提方法對考慮隨機延時的廣域系統(tǒng)臨界特征根的概率密度進行計算。具體半不變量與階距參數(shù)以及Gram-Charlier級數(shù)的系數(shù)見附錄B。為了驗證計算結(jié)果的正確性,提高仿真結(jié)果的可信度,本文在搭建的信息物理融合電網(wǎng)系統(tǒng)(cyber-physical power system,CPPS)仿真平臺上使用蒙特卡洛模擬進行檢驗。本文在通信網(wǎng)絡(luò)仿真軟件OPENT中搭建兩區(qū)四機通信系統(tǒng)模型(見附錄A圖A2),在其中的廣域網(wǎng)絡(luò)模塊中設(shè)定通信延時τ～N(0.1,0.052),在MATLAB中搭建對應(yīng)的電力系統(tǒng)模型并設(shè)定蒙特卡洛模擬次數(shù)為5 000,從而對通信環(huán)節(jié)中具有隨機延時的電力信息融合系統(tǒng)進行模擬仿真。在聯(lián)合仿真過程中,為了避免不同軟件接口傳輸延時對仿真計算結(jié)果的影響,本文在OPNET與MATLAB仿真程序之間采用完全同步的方式進行聯(lián)合仿真。采用完全同步的仿真方式時,當(dāng)MATLAB仿真過程中處于需要獲得廣域信號延時信息的階段時向OPNET發(fā)送通信請求,此時MATLAB暫停在當(dāng)前仿真時刻,OPNET開始執(zhí)行仿真計算,當(dāng)OPNET獲得該次傳輸數(shù)據(jù)的延時信息并將所有信息傳輸給OPNET自帶的ESYS接口后,暫停OPNET仿真在當(dāng)前時刻。ESYS向MATLAB發(fā)起通信請求,MATLAB從ESYS的發(fā)送結(jié)果中獲得數(shù)據(jù)的延時信息后,完成當(dāng)次計算。保存結(jié)果并繼續(xù)運行到下一次需要用到數(shù)據(jù)延時信息的時刻,直到結(jié)束5 000次蒙特卡洛模擬。

基于Gram-Charlier級數(shù)展開的計算方法和采用OPNET-MATLAB聯(lián)合仿真平臺進行5 000次蒙特卡洛模擬仿真,所獲得的系統(tǒng)臨界特征根實部的概率密度曲線結(jié)果如圖1所示。

圖1　特征根實部的概率密度函數(shù)曲線Fig.1　Probabilistic density function curves of real part of eigenvalue

圖1顯示,使用Gram-Charlier級數(shù)展開方法得到的臨界特征根實部的概率密度函數(shù)曲線和蒙特卡洛模擬得到的結(jié)果較為吻合,驗證了本文所提計算方法的正確性。

3.2　不同延時特性對小干擾穩(wěn)定的影響分析

應(yīng)用本文所提方法對具有不同延時特性的采用廣域阻尼控制器的兩區(qū)四機系統(tǒng)進行小干擾概率穩(wěn)定計算,得到臨界特征根實部的累積分布函數(shù)(cumulative distribution function,CDF)的圖像,進而分析不同延時特性對系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定的影響。

延時服從正態(tài)分布時,不同均值、方差下,系統(tǒng)臨界特征根實部的概率累積分布曲線的關(guān)系分別如圖2(a)和(b)所示。延時服從均勻分布時,不同分布參數(shù)下的概率累積分布曲線見附錄C圖C1。延時服從正態(tài)分布(方差為0.05)時,小干擾穩(wěn)定概率隨正態(tài)分布均值變化的曲線如圖3所示。對圖中的結(jié)果進行分析后可得到如下結(jié)論。

圖3　不同延時均值下系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定概率Fig.3　Probability of system small-signal stability with different time delay mean values

1)延時均值對系統(tǒng)臨界特征根實部的概率分布有較大影響,且延時均值越大,系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定概率越低,與常規(guī)物理理解一致。

2)延時模型的方差變化主要影響了概率累積分布曲線的斜率,即表明當(dāng)通信延時的波動程度越大時,系統(tǒng)臨界特征根實部的分布范圍越廣,對系統(tǒng)的小干擾穩(wěn)定越不利。

3)當(dāng)通信系統(tǒng)隨機延時的均值與方差增大時系統(tǒng)的小干擾穩(wěn)定概率(P(ξ<0))降低,由圖3可知,當(dāng)延時均值為0.735 s時P(ξ<0)=0,此時系統(tǒng)已完全失去小干擾穩(wěn)定。

3.3　計及隨機延時的PSS魯棒性設(shè)計方法驗證

使用本文提出的計及隨機延時的PSS魯棒性設(shè)計的方法對兩區(qū)四機系統(tǒng)的廣域阻尼控制器進行參數(shù)設(shè)計。SAPSO優(yōu)化計算過程中取群落大小為30,學(xué)習(xí)因子均設(shè)置為2.05,退火常數(shù)和迭代次數(shù)分別取0.5和100。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)環(huán)境處于τ～N(0.15,0.052)的情況下,阻尼控制器的參數(shù)設(shè)計考慮延時隨機特性時,優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為式(25),求解得到J=-0.062 5,此時控制器參數(shù)為T1=T3=0.763 2,T2=T4=0.246 9。如果控制器設(shè)計僅考慮延時的均值,即SAPSO的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為固定延時(延時為正態(tài)分布的均值)下系統(tǒng)的臨界特征根具有最小的實部,計算得到控制器參數(shù)為T1=T3=0.853 6,T2=T4=0.274 8。若控制器的設(shè)計不考慮延時,即SAPSO的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)傳輸延時為0時,系統(tǒng)的臨界特征根具有最小的實部,此時控制器參數(shù)為T1=T3=0.420 2,T2=T4=0.081。

上述3種情況臨界特征根實部的概率密度函數(shù)曲線和累積分布函數(shù)曲線分別如圖4和圖5所示。

圖4　臨界特征根實部的概率密度函數(shù)曲線Fig.4　Probabilistic density function curves of real part of critical eigenvalue

圖5　臨界特征根實部的累積分布曲線Fig.5　Cumulative distribution function curves of real part of critical eigenvalue

由圖5可得,在輸入信號具有隨機延時的情況下,控制器參數(shù)設(shè)計不考慮延時,系統(tǒng)臨界特征根實部為負的概率為71.88%,系統(tǒng)有28.12%的概率失去小干擾穩(wěn)定。如果控制器參數(shù)僅考慮固定延時,系統(tǒng)臨界特征根實部為負的概率為94.1%,系統(tǒng)有5.9%的概率失去小干擾穩(wěn)定。由此可知,在隨機延時情況下,控制器參數(shù)設(shè)計僅考慮信號固定延時相比于完全不考慮延時,系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定概率已經(jīng)有較大幅度的提升。進一步,采用本節(jié)提出的考慮隨機延時的控制器設(shè)計方法后,相比于僅考慮固定延時的設(shè)計方法,系統(tǒng)的臨界特征根實部的均值增大,即此時系統(tǒng)阻尼有所下降,但方差大幅度減小,使得系統(tǒng)臨界特征根實部均位于左半平面,此時可認為系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定的概率為100%。這證明了本文提出的計及隨機延時的PSS魯棒性設(shè)計方法有效地提高了具有隨機延時的電力系統(tǒng)的小干擾穩(wěn)定性。

4　結(jié)語

本文研究了傳輸延時的隨機性對系統(tǒng)小干擾概率穩(wěn)定的影響,基于阻尼轉(zhuǎn)矩分析法推導(dǎo)了特征根對廣域信號延時的靈敏度計算方法,并利用Gram-Charlier級數(shù)的方法計算出了系統(tǒng)臨界特征根實部的概率密度函數(shù)。在獲得特征根概率密度函數(shù)的基礎(chǔ)上,對隨機延時下系統(tǒng)的小干擾概率穩(wěn)定進行了分析。結(jié)果表明,當(dāng)廣域信號隨機延時具有較大的均值和方差時對系統(tǒng)的穩(wěn)定性極為不利。最后,對廣域阻尼控制器的參數(shù)進行了魯棒性設(shè)計,從而提升了系統(tǒng)在隨機延時下保持小干擾穩(wěn)定的概率。在大規(guī)?；ヂ?lián)電網(wǎng)中應(yīng)用廣域阻尼控制器抑制區(qū)域間低頻振蕩時,采用本文提出的考慮隨機分布延時影響的系統(tǒng)小干擾概率穩(wěn)定性分析方法,可以快速計算出系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定概率,相比于蒙特卡洛模擬具有更好的適用性。

本文研究過程中未考慮多個廣域信號的傳輸延時,也尚未考慮電網(wǎng)拓撲以及運行方式的不確定性。如何利用半不變量的可加性,同時考慮多個相互獨立的不確定單元對系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定的影響,以及設(shè)計出更好的廣域阻尼控制器,都值得進一步研究。

感謝國網(wǎng)江蘇省電力有限公司科技項目(J2016015)對本研究的支持與資助。

附錄見本刊網(wǎng)絡(luò)版(http://www.aeps-info.com/aeps/ch/index.aspx)。